אלגברה ליניארית

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

שלושה מישורים במרחב שהחיתוך ביניהם הוא ישר. הנקודות בכל מישור מבין השלושה הן הפתרונות של משוואה ליניארית בשלושה נעלמים, ונקודות הישר הכחול הן הפתרונות של שתי המשוואות יחדיו.

אלגברה ליניארית (נהגה: לִינֵאָרִית) היא ענף של האלגברה העוסק במערכות של משוואות ליניאריות כמו $a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b$ ובהעתקות ליניאריות כמו $(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}$ והצגותיהן בעזרת מטריצות ומרחבים וקטוריים (בהתאמה).

אלגברה ליניארית היא תחום מרכזי במתמטיקה שחיוני לתחומים רבים אחרים. למשל, אלגברה ליניארית חיונית להצגה מודרנית של גאומטריה, שכן היא מגדירה את מונחי היסוד של נקודה, ישר ומישור. נעשה שימוש נרחב באלגברה ליניארית במסגרת האלגברה המופשטת, האנליזה הפונקציונלית והגאומטריה האנליטית. כמו כן נעשה שימוש באלגברה ליניארית גם במסגרת מדעי הטבע, מדעי המחשב, הנדסה ומדעי החברה.

היסטוריה

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

אחד מיסודות האלגברה הליניארית הונחו על ידי רנה דקארט שפיתח את מערכת הצירים הקרטזית (הקרויה על שמו) ב-1637 לתיאור המישור והשתמש בה במסגרת הגאומטריה האנליטית לתקוף בעיות של הגאומטריה הקלאסית. על מנת לציין נקודה במישור, השתמש בסימון של זוג סדור $(x,y)$.

עוד יסוד של האלגברה הליניארית הונח על ידי גוטפריד וילהלם לייבניץ, שהשתמש במושג הדטרמיננטה לפתירת מערכות משוואות ב-1693. לאחר מכן, ב-1750, פיתח גבריאל קרמר נוסחה לחישוב פתרון של מערכת משוואות, הנקרא כיום כלל קרמר. מאוחר יותר, השתמש המתמטיקאי קרל פרידריך גאוס בשיטת החילוץ של גאוס (הנקראת גם שיטת הדירוג של גאוס) לפתירת מערכות משוואות.

האלגברה הליניארית המודרנית החלה את דרכה בשנים 1843 ו-1844. ב-1843 גילה ויליאם רואן המילטון (שטבע את המונח וקטור בהקשרו האלגברי) את אלגברת הקווטרניונים. ב-1844 פרסם הרמן גראסמן את ספרו "על אלגברה ליניארית". ב-1857 הגדיר ארתור קיילי את המטריצה - אחת מאבני היסוד של האלגברה הליניארית. אך למרות פיתוחים אלו, מרבית האלגברה הליניארית המודרנית פותחה במאה ה-20.

מושגי יסוד

שדה

ערך מורחב – שדה (מבנה אלגברי)

כל דיון באלגברה ליניארית מתחיל בקביעת שדה הגדרה מסוים, שלאיבריו קראים סקאלרים. הם משחקים תפקיד של מספרים. ואכן במקרים רבים שדה זה הוא אוסף המספרים מסוג מסוים, למשל שדה המספרים הממשיים, שדה המספרים המרוכבים או שדה המספרים הרציונליים.

שדה $F$ הוא מבנה אלגברי הכולל לפחות שני איברים, 0 ו-1 בעל שתי פעולות בינאריות, המסומנות ב-"$+$" ו-"$\cdot$" (חיבור וכפל) המקיים לכל $a,b,c$ ב-$\ F$:

• $a+b=b+a$ (קומוטטיביות, חוק החילוף)
• $(a+b)+c=a+(b+c)$ (אסוציאטיביות, חוק הקיבוץ)
• $a+0=a$ (0 הוא איבר נייטרלי)
• לכל $a$ קיים $b$ כך ש-$a+b=0$ (לכל איבר קיים נגדי)
• $a\cdot b=b\cdot a$
• $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
• $a\cdot 1=a$
• לכל $a$ שונה מ-0 קיים $b$ כך ש-$a\cdot b=1$(קיום הופכי)
• $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ (דיסטריבוטיביות, חוק הפילוג)

מאקסיומות אלה נובעות כמה תכונות בסיסיות, כדוגמת יחידות של האיברים הנייטרליים (כלומר, התכונה '$\ a+x=a$ לכל $a$' מייחדת את איבר האפס, וכן לאיבר היחידה), יחידות הנגדי וההפכי והעובדה שמכפלת כל איבר ב-0 שווה ל-0.

האלגברה הלניארית אינה עוסקת בשדות עצמם (לשם כך נועדה תורת השדות). רוב השאלות הבסיסיות באלגברה ליניארית אינן רגישות לשדה, וההתנהגות תהיה דומה למדי עבור שדות שונים. אולם חלק מההגדרות והתוצאות דורשות טיפול שונה בשדות עם מציין חיובי (בעיקר עבור מציין 2). כמו כן חלקים מתקדמים יותר של התורה תלויים בכך שהשדה סגור אלגברית, ושונים מהותית עבור שדות שאינם כאלה.

מערכת משוואות ליניאריות

ערך מורחב – מערכת משוואות ליניאריות

מערכת משוואות ליניארית זו מערכת משוואות מהצורה:

${\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}$

כאשר $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ הם המשתנים, $a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn}$ הם המקדמים של המשתנים ו-$b_{1},\ b_{2},...,b_{m}$ הם המקדמים החופשיים. כל אלה הם איברים בשדה $F$, ולרוב השדה הזה הוא המספרים הממשיים. אם $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ מקיימים את המשוואות, הם והצגתם כ-$(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ נקראים פתרון.

הבעיה המכוננת של האלגברה הליניארית היא לתאר ולחקור את המבנה והסימטריות של אוסף הפתרונות למערכת משוואות כזאת. מערכת משוואות בה המקדמים החופשיים מתאפסים נקראת הומוגנית.

דירוג

ערך מורחב – דירוג מטריצות

שתי מערכות משוואות ליניאריות נקראות שקולות אם יש להן אותם פתרונות. אפשר "להגיע" ממערכת אחת למערכת שקולה באמצעות שימוש חוזר של 3 פעולות:

• החלפת השורות של שתי משוואות
• כפל בסקלר שונה מ-0 של כל המקדמים (גם החופשיים)
• הוספת שורה מוכפלת בסקלר לשורה אחרת

ביצוע של הפעולות הללו תביא מערכת משוואות שקולה.

נאמר שמערכת משוואות היא מדורגת קנונית אם:

• המקדם הפותח (האיבר הראשון בכל שורה שהוא לא 0) הוא 1, בכל שורה.
• האיבר הפותח של כל שורה נמצא משמאל לאיבר הפותח של השורה הבאה (מכאן המילה "מדורג").
• בכל עמודה בה אחד המקדמים הוא פותח, כל השאר שווים ל-0.

אחד המשפטים הבסיסיים של אלגברה ליניארית אומר שכל מערכת משוואות ליניארית ניתן להביא לצורה מדורגת קנונית (ראו שיטת הדירוג של גאוס), ומכאן נובעות הרבה תכונות של מערכות משוואות ליניאריות, ביניהן שלכל מערכת בשדה אינסופי יש 0, 1, או אינסוף פתרונות.

מרחב וקטורי

ערך מורחב – מרחב וקטורי

המרחב $F^{n}$

כאמור פתרון של מערכת משוואות ליניאריות הוא n-יה של מספרים ב-F. ניתן לאגד את אוסף כל הn-יות האלה לקבוצה אחת המסומנת ב-$F^{n}$. ניתן לחשוב על $F^{n}$ כאל אובייקט גאומטרי. למשל, עבור $F=\mathbb {R}$ ו - $n=1,2,3$ מקבלים את הישר, המישור והמרחב (בהתאמה). הקבוצה $F^{n}$ מהווה אבטיפוס בסיסי למרחבים הווקטוריים. ההגדרה של מרחב וקטורי ממצא מקבוצה זאת את המבנה והתכונות שלה והופכת אותם למושג מופשט.

אוסף הפתרונות של מערכת משוואת הומגנית

אוסף הפתרונות של מערכת משוואת הומגנית הוא תת-קבוצה של $F^{n}$ המהווה גם היא דוגמה למרחב וקטורי. דוגמה זאת מספקת צעד נוסף לקראת ההגדה הכללית של מרחב וקטורי.

הגדרה של מרחב וקטורי

מרחב וקטורי (או בשמו הנוסף מרחב ליניארי) $V$ מעל שדה $F$ (כגון שדה המספרים הממשיים או שדה המספרים המרוכבים) זהו מבנה אלגברי בעל 2 פעולות בינאריות "$+$" ו-"$\cdot$" המקיים מספר תכונות. איברי המרחב הווקטורי נקראים וקטורים ואיברי השדה נקראים סקלרים. הפעולה הראשונה נקראת "חיבור וקטורי" והשנייה נקראת "כפל בסקלר", מכיוון שהפעולה הראשונה היא $+:{V\times V}\to V$ והשנייה $\cdot :{F\times V}\to V$. התכונות הן:

• המבנה $\ (V,+,{\vec {0}})$ (עבור ${\vec {0}}$ כלשהו) הוא חבורה אבלית, כלומר: החיבור אסוציאטיבי וקומוטטיבי, ${\vec {0}}$ (הנקרא "וקטור האפס", לא האיבר הנייטרלי של $F$) הוא איבר נייטרלי של $V$, ולכל איבר יש נגדי;
• $a\cdot (v+u)=a\cdot v+a\cdot u$ לכל $a\in F,u,v\in V$
• $(a+b)\cdot v=a\cdot v+b\cdot v$ לכל $a,b\in F,v\in V$
• $a\cdot (b\cdot v)=(a\cdot b)\cdot v$ לכל $a,b\in F,v\in V$
• $1\cdot v=v$ לכל $v\in V$ כאשר 1 הוא איבר היחידה בשדה $F$.

לדוגמה, ${F}^{n}$ הוא מרחב וקטורי מעל $F$. כל מרחב וקטורי מממד סופי איזומורפי למרחב מצורה זו.

צירוף ליניארי, בסיס ותת-מרחב

ערכים מורחבים – צירוף ליניארי, בסיס (אלגברה), קבוצה פורשת, תלות ליניארית, ממד (אלגברה ליניארית)

תת-מרחב ליניארי, בצורה לא פורמלית, הוא מרחב וקטורי שנמצא בתוך מרחב וקטורי, ביחס לאותן הפעולות. כלומר, אם ניקח 2 איברים בתת-המרחב, סכומם בתת-המרחב יהיה בדיוק כמו סכום במרחב עצמו, ואותו דבר עבור כפל בסקלר. מכיוון שפעולות אלו הן אותו דבר, הן כבר מקיימות את כל האקסיומות של קומוטטביות, אסוציאטיביות, וכו', מה שאומר שהתכונות שצריכות להתקיים בתת-קבוצה של מרחב וקטורי $V$ כדי שהוא יהי תת-מרחב ליניארי $L$ זה שלכל $v,u\in L,\lambda \in F$ יתקיים $v+u,\lambda \cdot v\in L$ גם כן. תכונות אלו נקראות "סגירות ביחס לחיבור" ו"סגירות ביחס לכפל בסקלר" בהתאמה.

במרחב וקטורי $V$ מעל שדה $F$, הווקטור $v$ מוגדר להיות צירוף ליניארי של אוסף הווקטורים $v_{1},v_{2},...,v_{n}$ אם ${\lambda }_{1}v_{1}+...+{\lambda }_{n}v_{n}=v$ עבור ${\lambda }_{1},...,{\lambda }_{n}\in F$ כלשהם (המקדמים). הפרישה (span) של סדרת (אוסף) וקטורים כזו היא אוסף כל הצירופים הליניאריים שלה, מה שיוצר תת-מרחב. בהינתן סדרת וקטורים $v_{1},v_{2},...,v_{n}$, ניתן להציג את ${\vec {0}}$ כצירוף ליניארי שלהם על ידי מקדמי 0. עם זאת הדרך היחידה שבה ניתן להציג את ${\vec {0}}$ כצירוף ליניארי של הסדרה, הסדרה תיקרא בלתי תלויה ליניארית. בסיס של מרחב וקטורי $V$ זו סדרת וקטורים בת"ל (בלתי תלויה ליניארית) שפורשת את $V$. בסיסים מקיימים את התכונה שכל סדרה פורשת ניתן לצמצם לבסיס וכל סדרה בת"ל ניתן להשלים לבסיס.

לכל שני בסיסים (בהנחה והם סופיים) של מרחב וקטורי $V$ יש אותו גודל, המוגדר להיות המימד של $V$, ומסומן ב-$\dim(V)$ או ב-$\dim {V}$. בהינתן בסיס $v_{1},...,v_{n}$ של מרחב וקטורי $V$ מעל שדה $F$, נוכל ליצור קואורדינטות: הווקטור עם הקואורדינטות $(a_{1},a_{2},...a_{n})$ יהיה הווקטור $a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+...+a_{n}v_{n}$. לכל וקטור יש קואורדינטות מפני שהסדרה פורשת, והקורדינטות הן יחידות בגלל שהסדרה בת"ל. לכן, קורדינאטות מוגדרות ביחידות לכל וקטור, מה שנותן דרך לייצג כל וקטור כ-$\dim {V}$ סקלרים.

עבור שני תת-מרחבים של $V$, $M_{1}$ ו-$M_{2}$, נגדיר את סכומם להיות $M_{1}+M_{2}=\{v_{1}+v_{2}:v_{1}\in M_{1},v_{2}\in M_{2}\}$, ובצורה כללית יותר, עבור $s$ תתי מרחבים, סכומם יהיה $M_{1}+...+M_{s}=\{v_{1}+...+v_{s}:v_{i}\in M_{i}\forall {1\leq i\leq s}\}$. נשים לב, כי סכום של תתי-מרחב הוא תת-מרחב בעצמו.

בניסיון לחישוב מימד של סכום תתי מרחבים, נמצאה נוסחה הנקראת משפט הממדים:

$\dim(U_{1}+U_{2})=\dim U_{1}+\dim U_{2}-\dim(U_{1}\cap U_{2})$.

העתקות ליניאריות

ערך מורחב – העתקה ליניארית

בהינתן שני מרחבים וקטוריים $V$ ו-$W$ מעל אותו שדה $F$, העתקה ליניארית (הנקראת גם טרנספורמציה ליניארית או אופרטור ליניארי) מ-$V$ ל-$W$ היא פונקציה $T:V\to W$ שהיא סגורה ביחס לחיבור ולכפל בסקלר, כלומר:

$T(v+u)=T(v)+T(u)$

$T(\lambda \cdot v)=\lambda \cdot T(v)$

לכל $v,u\in V,\lambda \in F$.

אם העתקה ליניארית $T:V\to W$ היא חח"ע ועל, נאמר שהיא איזומורפיזם, ושהמרחבים $V$ ו-$W$ הם איזומורפיים זה לזה. אם שני מרחבים (מעל אותו שדה) הם איזומורפיים זה לזה, הדבר שקול להיותם שווי מימד.

לכל העתקה ליניארית מוגדרים שני תת-מרחבים: גרעין ההעתקה $\ker(T):=\{x\in V|T(x)={\vec {0}}\}$ (כל הווקטורים שנשלחים ל-0), ותמונת ההעתקה $Im(T):=\{T(x)|x\in V\}$ (כמו תמונה של פונקציה רגילה). לא קשה להוכיח ששניהם תת-מרחבים. יש קשר בין הממדים שלהם, הנקרא משפט הממדים:

$\dim Im(T)+\dim \ker(T)=\dim(V)$.

ההעתקה T היא חד-חד ערכית אם גרעינה מתאפס. היא על אםם תמונתה היא כל W.

מטריצות

ערכים מורחבים – מטריצה, כפל מטריצות, מטריצה הפיכה, דמיון מטריצות

מטריצה (מעל שדה $F$) היא מערך של סקלרים ב-$F$, בצורה של שורות ועמודות. דוגמה פשוטה למטריצה מעל הממשיים היא $A={\begin{bmatrix}1&2&3\\6&1&5\end{bmatrix}}$. שמותיהן לרוב מסומנות באותיות לטיניות גדולות.

באופן כללי, מטריצה היא דרך טובה מאוד להציג אינפורמציה. שני שימושים בולטים הם הצגה של העתקה ליניארית באמצעות מטריצות, והצגה של תבנית ריבועית באמצעות מטריצה סימטרית.

לכל $T:V\to W$ העתקה ליניארית, כך ש-$\dim {V}=n$ ו-$\dim {W}=m$, בהינתן שני בסיסים קבועים ל-$V$ ו-$W$, אפשר להתאים להעתקה הליניארית מטריצה מסדר $m\times n$ באמצעות שימושים בקואורדינטות. ברוב המקרים, מתעניינים בהעתקות $T:V\to V$ ומשתמשים באותו הבסיס פעמיים, כדי ליצור מטריצה ריבועית. באופן הזה, כל מושג שמוגדר להעתקות ליניאריות ניתן להגדיר למטריצות ולהפך.

נשים לב, שהתאמה בין העתקות למטריצות תלויה בבסיס, מה שיוצר מצב שבו העתקה אחת יכולה להתאים להרבה מטריצות, ומטריצה אחת יכולה להתאים להרבה העתקות. כדי להתמודד עם הבעיה הזאת, הוגדר מושג נוסף: 2 מטריצות ריבועיות נקראות דומות אם הן מייצגות אותה העתקה ליניארית בבסיסים שונים (אותו בסיס ל-$V$ פעמיים). בכל מקרה, הייצוג הזה יוצר קשר עמוק מאוד בין העתקות ליניאריות ומטריצות.

למשל, בהינתן $T:V\to W,S:W\to U$ כך שהמטריצה שמייצגת של $T$ היא $A$ ושל $S$ היא $B$, המטריצה $B\cdot A$ מוגדרת להיות המטריצה המייצגת של $S\circ T$ (ביחס לבסיסים הנתונים). אחרי חישוב קל, מוצאים גם נוסחה מפורשת עבור כפל מטריצות. אפשר להגדיר כפל מטריצות באמצעות הנוסחה המפורשת, אבל הרבה יותר פשוט לאמר שזו מטריצה מייצגת של הרכבת טרנספורמציות.

דטרמיננטה

ערך מורחב – דטרמיננטה

חלק מרכזי מתורת המטריצות היא הדטרמיננטה. דטרמיננטה היא פונקציה מקבוצת המטריצות הריבועית לשדה מעליו הן מוגדרות. מבחינה גאומטרית, אם ניקח מטריצה $n\times n$ ונשרטט את $n$ הווקטורים (שורות המטריצה) ב-${F}^{n}$, נוכל להשלים אותם למקבילון. הדטרמיננטה של המטריצה היא "הנפח המכוון של המקבילון" (זוהי ההגדרה של נפח מכוון).

לדטרמיננטה יש תכונות רבות. במקרים רבים, כשמנסים לברר משהו מסוים בפיזיקה, מדעי מחשב או תחומי מדע שונים, אפשר לחשב דטרמיננטה ולמצוא תשובה. קודם כל, היא מקיימת את התכונה שמטריצה ריבועית $A$ היא מטריצה הפיכה אם ורק אם $\det(A)\neq 0$. מזה נובע, שסדרת וקטורים (שאורכה הוא כמו גודל ממדה) היא בלתי תלויה ליניארית אם ורק אם הדטרמיננטה של מטריצה ששורותיה הן הווקטורים לא מתאפסת.

מרחב דואלי

בניה חשובה במרחבים ליניאריים היא "המרחב הדואלי". בניה זאת מתאימה לכל מרחב ליניארי מרחב אחר. הבניה מהווה ארכי-טופוס למושג דואליות שמופיע בתחומים רבים של המתמטיקה.

בהינתן מרחב V, נתן להגדיר מבנה טבעי של מרחב ליניארי על אוסף ההעתקות הליניאריונ מ-V לשדה F. מרחב זה נקרא המרחב הדואלי של V ומסומן ב $V^{*}$. ההתאמה המתאיה ל-V את המרחב $V^{*}$ היא פנקטור קונטרא-ווריאנטי. זאת אומרת שבהינתן ההעתקה בין מרחבים ליניאריים $\phi :V\to W$ להגדיר באופן טבעי את ההעתקה הדואלית $\phi ^{*}:V^{*}\to W^{*}$. אם נתון בסיס ל$V$ ניתן לבנות ממנו באופן טבעי בסיס ל-$V^{*}$ הנקרא הבסיס הדואלי. אם $\phi$ נתונה על ידי מטריצה $A$ (בבסיסים נתונים) אז $\phi ^{*}$ נתונה על ידי המטריצה המוחלפת $A^{t}$ בבסיסים הדואליים. המטריצה המוחלפת מתקבלת מהמטריצה המקורית על ידי החלפת סדר האינדקסים i,j של המטריצה.

אם V מממד סופי אז $(V^{*})^{*}$ איזומורפי (קנונית) ל-V. אחרת ניתן לראת ב-V תת-מרחב של $(V^{*})^{*}$. במילים אחרות קיים שיכון טבעי של פנקוטורים מהזהות להרכבת פנקטור הדואליות עם עצמו, ושיכון זה הוא איזומורפיזם עבור מרחבים מממד סופי.

מרחב מנה

בהינתן מרחב ליניארי V ותת מרחב שלו W ניתן להגדיר את מרחב המנה V/W. זהו מרחב ליניארי שאיבריו הם תתי-קבוצות של V מהצורה v+W, זאת אומרת תת-קבוצות שמתקבלים מ-W על ידי הזזה בווקטור מ-V.

דרך אחרת לראת בניה זאת היא אוסף כל אברי V כאשר אנו מזהים את כל עברי W עם 0, ובהתאם אנו מזהים שני וקטורים ב-V זה עם זה אם הפרשם נמצא ב-W.

וקטורים וערכים עצמיים

ערכים מורחבים – וקטור עצמי, ערך עצמי, מטריצה לכסינה

העתקות ליניאריות יכולות להיות מאוד מסובכות. בדיקה על ממדים קטנים מראה סוגים מרובים שלהם. וקטורים עצמיים מפשטים חישובים על העתקות ליניאריות ועל מטריצות.

בהינתן העתקה ליניארית $T:V\to V$, וקטור עצמי הוא וקטור ${\vec {0}}\neq {\vec {x}}\in V$ עם ערך עצמי $\lambda \in F$ המקיימים:

$T({\vec {x}})=\lambda \cdot {\vec {x}}$.

העתקה ליניארית תיקרא לכסינה אם קיים בסיס של וקטורים עצמיים. אם נייצג את ההעתקה במטריצה בבסיס של הווקטורים העצמיים, המטריצה תהיה מטריצה אלכסונית עם הערכים העצמיים באלכסון. עבור מטריצות, מטריצה תיקרא לכסינה אם היא מייצגת העתקה ליניארית לכסינה, כלומר, היא דומה למטריצה אלכסונית.

אם מטריצה או העתקה ליניארית היא לכסינה, זה יקל מאוד על חישובים. כפל מטריצות, דטרמיננטה ומטריצה הופכית הם דוגמאות לדברים שנוח לחשב כשמטריצה או העתקה ליניארית היא לכסינה. אפשר למשל, באמצעות לכסון, למצוא נוסחה מפורשת לאיברי סדרת פיבונאצ'י (ולמעשה כל סדרה רקורסיבית דומה).

מרחבי מכפלה פנימית

ערכים מורחבים – מרחב מכפלה פנימית

אלגברה ליניארית חוקרת גם מרחבים וקטוריים עם מבנה נוסף הנקרא מכפלה פנימית. המכפלה הפנימית היא מקרה פרטי של תבנית ביליניארית והיא נותנת למרחב הווקטורי מבנה גאומטרי בכך שהיא מאפשרת להגדיר אורך וזווית. עבור מרחב וקטורי מעל $\mathbb {R}$, מכפלה פנימית היא פונקציה

$\langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\rightarrow F$

המקיימת שלוש תכונות:

• סימטריה: $\langle u,v\rangle =\langle v,u\rangle$
• ליניאריות: $\langle au+bv,w\rangle =a\langle u,w\rangle +b\langle v,w\rangle$
• מוגדרת חיובית: $\langle v,v\rangle \geq 0$ שוויון אם ורק אם $v=0$.

עבור המרחב הווקטורי $\mathbb {R} ^{n}$, המכפלה הפנימית הסטנדרטית (שנקראת גם מכפלה סקלרית ואין לבלבל בינה לבין כפל בסקלר) ניתנת על ידי הנוסחה:

$.\left\langle {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}\right\rangle :=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}$

הנוסחה מקיימת את כל שלושת התנאים בבירור. עבור מכפלה פנימית זו, ניתן להוכיח באמצעות משפט הקוסינוסים כי למעשה $\langle u,v\rangle =|u|\cdot |v|\cdot cos\alpha$, כאשר $\alpha$ היא הזווית בין הווקטורים. הוכחה זו נעזרת באורך של וקטור וגם בזווית בין שני ווקטורים, דברים שמוגדרים ב-$\mathbb {R} ^{n}$ אך לא במרחב וקטורי כללי. אבל, גם אורך וגם זווית ניתנים להגדרה עבור מרחב וקטורי כללי.

מפה, ניתן להגדיר אורך של וקטור על ידי $\|v\|^{2}=\langle v,v\rangle$ ולהוכיח את אי-שוויון קושי-שוורץ האומר כי לכל שני וקטורים,

$.|\langle u,v\rangle |\leq \|u\|\cdot \|v\|$

ברישום אחר, האי-שוויון אומר כי $\left|{\frac {\langle u,v\rangle }{\|u\|\cdot \|v\|}}\right|\leq 1$, מה שנותן לנו את האפשרות לסמן גודל זה בקוסינוס בין הזוויות.

תוצאות מרכזיות

תורת הממד

• לכל מערכת משוואות ליניארית הומוגנית עם פחות משוואות מנעלמים יש פתרון לא טריוויאלי (לא כל הנעלמים אפסים). זוהי למה בסיסית באלגברה ליניארית, שניתן להוכיח למשל על ידי דירוג. משפטים רבים באלגברה ליניארית מתבססים על למה זאת.
• במרחב ליניארי, גודל קבוצת וקטורים בלתי תלויה לעולם לא יעלה על גודלה של קבוצת וקטורים פורשת. קל להסיק טענה זאת מהטענה הקודמת. כמו כן, מטענה זאת נובע שהמושג של ממד של מרחב ליניארי מוגדר היטב.
• מיון של מרחבים ליניארים עד כדי איזומורפיזם: כל מרחב ליניארי מממד n מעל שדה $F$ איזומורפי ל$F^{n}$. משפט זה מנוסח בדרך כלל עבור מרחבים ממד סופי אך תקף (בהנחת אקסיומת הבחירה) גם למרחבים מממד אינסופי.
• תכונות של ממד:
  • מונוטוניות: $W\subset V\Rightarrow \dim W\leq \dim V$.
  • אדיטיביות: $\dim V=\dim W+\dim(V/W)$.
  • משפט הממדים שהוזכר מעלה.

העתקות ומטריצות

• מיון של העתקות ליניאריות בין שני מרחבים נתונים: לאחר שבחרים בסיס בשני המרחבים, אוסף האלה מזדהה עם אוסף המטריצות מהגודל המתאים.
• נוסחאת החלפת בסיס: בהינתן שני מרחבים $V$ ו- $W$, הזיהוי מלע תלוי בבחירת בסיסים על $V$ ו- $W$. שינוי בסיס באחד המרחבים יגרום לכך שהמטריצה שמייצגת את ההאפרטור תוכפל מאחד הצדדים (בהתאם למרחב בו אנו משנים את הבסיס) במתריצה הנקראת מטריצת מעבר בין הבססים.
• מיון של העתוקות ליניאריות בין שני מרחבים נתונים עד כדי שינוי בסיס בכל אחד מהמרחבים. מיון זה מאפשר להבין את המבנה הפנימי של ההעתקות השונות. כל להסיק מיון זה מדירוג מטריצות. המבנה של ההעתקה במובן זה נקבע על ידי הדרגה שלה, זאת אומרת מממד התמונה שלה. במילים אחרות: שתי העתקות בעלות אותה דרגה מתקבלות זו מזו על ידי הכלפת בסיס בתחום ובטווח.
• תכונות של דרגה:
  • סב-אדיתיביות: $rk(A+B)\leq rk(A)+rk(B)$. הסימון rk מסמן דרגה.
  • $rk(A)=rk(A^{t})$
  • משפט הממדים עבור העתקות ליניאריות שהוזכר למעלה.
• מיון של העתוקות ליניאריות בין שני מרחבים נתונים עד כדי שינוי בסיס באחד מהמרחבים. מיון זה נובע בקלות מדירוג. המיון מאפשר להבין את אוסף תתי המרחבים של מרחב נתון.
• פרוק מטריצה למטריצות אלמנטריות: כל מטריצה (ריבועית) הפיכה ניתן לכתוב כמכפלה של מטריצות אלמנטריות (ריבועיות). באופן כללי יותר, כל מטריצה ניתן לכתוב כמכפלה של מטריצות אלמנטריות מטריצה מהצורה

$$\left({\begin{matrix}Id_{n\times n}&0_{n\times k}\\0_{l\times n}&0_{l\times k}\end{matrix}}\right)$$

ושוב, מטריצות אלמנטריות (ריבועיות). ניתן להסיק תוצאה זאת בקלות מדירוג.

• תכונות של דטרמינטה:
  • התנהגות תחת פעולות שורות: הוספה של שורה אחת לאחרת לא משנה את הדטרמינטה. כפל של שורה בסקלר מכפילה את הדטרמינטה באותו סקאלר. תכונה זאת (יחד עם הזהות $\det(Id)=1$) מגדירה את הדטרמינטה ביחידות.
  • כיפליות: $\det(AB)=\det(A)\det(B)$
  • $\det(A)=\det(A^{t})$
  • התנהגות תחת פעולות עמודות אנלגית לכלותין להתנהגות תחת פעולות שורות.
  • קריטריון הפיכות: מטריצה הפיכה אם"ם הדטרמינטה שלה לא מתאפסת.

את כל התכונות ניתן להסיק מהתחונה הראשונה ומפרוק מטריצה למטריצות אלמנטריות.

צורות קנוניות

• מיון של ההעתקות הליניאריות ממרחב ליניארי (מממד סופי) לעצמו, עד כדי שינוי בסיס. מיון זה מאפשר להבין את המבנה הפנימי של ההעתקות השונות. כאשר מחליפים בסיס במרחב ליניארי המטריצה של אפרטור ליניארי מהמרחב לעצמו עוברת הצמדה, קרי כפל במטריצה מימין ובהופכית שלה משמאל. מעל שדה סגור אלגברית מיון זה נתון על ידי צורת ז'ורדן. במקרה הכללי הוא נתון על ידי הצורה הרציונלית הקנונית.
• פרוק ז'ורדן-שבלייה: מעל שדה מושלם, כל אפרטור ניתן להציג באופן יחיד כסכום של שני אפרטורים מתחלפים, כאשר האחד פשוט למחצה (זאת אומרת ניתן לליכסון מעל הסגור האלגברי של השדה) והשני נילפוטנטי.
  • פרוק ז'ורדן-שבלייה הכפלי: מעל שדה מושלם, כל אפרטור הפיך ניתן להציג באופן יחיד כמכפלה של שני אפרטורים מתחלפים, כאשר האחד פשוט למחצה והשני יוניפוטנטי (ז"א אפרטור הזהות פלוס אופרטור נילפוטנטי).

מעל שדה סגור אלגברית ניתן להסיק בקולת את פרוק ז'ורדן-שבלייה (בשתי גרסאותיו) מצורת ז'ורדן. מעל שדה מושלם כללי ניתן לההסיק את הפרוק מהמקרה הסגור אלגברית.

• משפט קיילי-המילטון. המשפט אומר שהפולינום האופייני של מטריצה מאפס אותה. מכאן שהוא מתחלק בפולינום המינימלי שלה. למשפט שימושים רבים באלגברה. ניתן להסיק אותו בקלות מהצורה הקנונית, אך יש לו מספר הוכחות ישירות.

מרחבי מכפלה פנימית

• מיון של מרחבי מכפלה פנימית (מעל $\mathbb {R}$ או $\mathbb {C}$) עד כדי איזומורפיזם : לכל מרחבי מכפלה פנימית יש בסיס אורטונורמלי. מכאן שכל שני מרחבי מכפלה פנימית מאותו ממד איזומורפיים. האלגוריתם למציאת בסיס אורטונורמלי נקרא תהליך גרם-שמידט.
• המשפט הספקטרי להעתקות נורמליות: במרחב מכפלה פנימית מממד סופי כל אופרטור נורמלי ניתן לליכסון על ידי מטריצה אורטגונלית/יוניטרית. למשפט יש גרסאות כלליות יותר באנליזה פונקציאנלית

תבנית ביליניאריות

• מיון של תבניות ריבועיות (או באופן שקול תבנית ביליניאריות סימטריות) עד כדי חפיפה (אלגברה ליניארית): שתי תבניות נקראות חופפות אם אפשר לעבור מאחת לשנייה על ידי החלפת בסיס. במילים אחרות, אם יש איזומורפיזם שמעביר תבנית אחת לשנייה. מעל $\mathbb {R}$ משפט סילבסטר נותן מיון כזה. למשפט גם גרסאות לשדה כללי.
  • מיון של תבניות הרמיטיות: מיון זה אנלוגי למיון של תבנית ריבועיות.
• מיון של תבניות אנטיסימטריות עד כדי חפיפה: מעל כל שדה דרגה, של תבנות אנטיסימטרית חיבת להיות זוגית. כל שתי תבניות אנטיסימטריות בעלות אותה דרגה חופפות, וכל מספר זוגי הקטן מממד המרחב יכול להית דרגה של תבנית על מרחב זה.

פירוקי מטריצות

מלבד הפירוקים שהוזכרו מעלה, יש עוד מספר פירוקים חשובים ושימושיים של מטריוצות למכפלת מטריצות מצורה מסוימת. רובם מיתיחסים למטריצות ריבועיות אך לחלקם יש גרסאות גם למטריצות מלבניות.

• פירוק ברוהה (Bruhat) - כל מטריצה הפיכה אפשר לכתוב כמכפלה של מטריצה משולשית עליונה, מטריצת תמורה ומטריצה משולשית עליונה. פירוק זה הוא מקרה פרטי של פירוק בעל אותו שם התקף כאשר מחליפים את חבורת המטריצות ההפיכות בכל חבורה רדוקטיבית.
  • פירוק LU - מפירוק ברוהה קל להסיק שכמעט כל מטריצה נתנת להצגה כמכפלה של מטריצה משולשית תחתונה ומטריצה משולשית עליונה. בהקשר זה הביטוי "כמעט כל" אומר "עבור קבוצה זריצקי פתוחה וצפופה של מטריצות". אם שדה הבסיס הוא שדה מקומי (לדוגמה $\mathbb {R}$, $\mathbb {C}$ או $\mathbb {Q} _{p}$) אז מכאן נובע שהטענה מתקיימת עבור קבוצה פתוחה צפופה של מטריצות בטופולגיה "הרגילה" (ז"א בטופולוגיה המושרית מהשדה).
• פירוק QR - כל מטריצה מרוכבת (או ממשית) ניתן להציג כמכפלה של מטריצה משולשית ומטריצה יוניטרית (או אורתוגונלית, במקרה הממשי). קל להסיק פירוק זה מתהליך גרם-שמידט - לפירוק זה הכללות עבור חבורת רדוקטיביות מעל שדות מקומיים, הנקראות פירוק איווסווה ופירוק קרטן.
• פירוק לערכים סינגולריים - כל מטריצה ממשית אפשר לפרק למכפלה של מטריצה אורתוגונלית, מטריצה אלכסונית שעברי האלכסון בה עולים, ושוב מטריצה אורטוגונלית. לפירוק זה גם אנלוג למקרה המרוכב בעל אותו שם. הפירוק נקרה לעיתים בקיצור פירוק SVD (ראשי תיבות של השם באנגלית: Singular Value Decomposition). לפירוק גם גרסה כללית התקפה לחבורה רדוקטיבית מעל שדה מקומי, הנקראת פירוק קרטן.
• פירוק פולרי - כל מטריצה ממשית ניתן לפרק באופן יחיד למכפלה של מטריצה אורתוגונלית ומטריצה סימטרית חיובית לחלוטין. לפירוק גם גרסה למטריצות מרוכבות. ניתן לראות בפירוק זה הכללה של קואורדינטות קוטביות במישור המרוכב. קל להסיק את קיומו של פירוק SVD מפירוק זה.
  • פירוק פולרי למטריצות נורמליות - אם המטריצה היא נורמלית אז הפירוק הוא לשתי מטריצות מתחלפות.

שימושים

אלגברה ליניארית היא תחום בסיסי ביותר במתמטיקה. חלק ניכר מהמתמטיקה מתבסס על אלגברה ליניארית בצורה כזאת או אחרת. האלגברה הליניארית לצידה של החדו"א הם התחומים המתמטיים השימושיים ביתר מחוץ למתמטיקה.

באלגברה

אלגברה ליניארית משמשת דוגמה בסיסית לתחומים רבים באלגברה. ההתנהגות של מרחבים ליניאריים, פשוטה בהרבה מההתנהגות של אובייקטים אלגבריים אחרים, והיא מהווה צעד ראשון להבנתם. לדוגמה מודולים מעל חוג הם הכללה של מרחבים ליניאריים מעל שדה. חלק גדול מחקר מודולים מנסה לענות על השאלה "עד כמה הם שונים ממרחבים ליניאריים?". מאידך ניתן לחקור מודולים על ידי בניית מרחבים ליניאריים מהם (בדרך כלל על ידי להכפיל אותם טנזורית עם שדה מעל חוג ההגדרה).

רובה של תורת ההצגות מהווה חקר של הפעולה של אובייקטים אלגברייום על מרחבים ליניאריים.

בגאומטריה

מרחב ליניארי (בדרך כלל מממד סופי מעל $\mathbb {R}$) הוא אחד האובייקטים הגאומטריים הבסיסיים ביותר. אובייקטיים גאומטריים רבים נחקרים באמצעות מרחבים ליניאריים, למשל על ידי שיכונם לתוך מרחבים ליניאריים או הדבקתם ממרחבים ליניאריים.

ניתן לראות באלגברה הליניארית "גאומטריה אלגברית ממעלה 1": בעוד שהגאומטריה האלגברית עוסקת בקבוצות הפתרונות של מערכות משוואות פולינומיות, האלגברה הליניארית עוסקת בקוצות הפתרונות של מערכות משוואות פולינומיות ממעלה 1, זאת אומרת מערכות משוואות ליניאריות. מנקודת מבט זאת, האלגברה הליניארית היא צעד ראשון לקראת הגאומטריה האלגברית. למעשה חלקים באלגברה הליניארית עוסקים גם בפולינומים ממעלה יותר גבוהה. למשל תבניות ריבועיות הן פולינומים ממעלה שנייה, ולכן מיון של תבניות ריבועיות הוא חלק חשוב במיון השניניות.

באנליזה

אחד הרעיונות המכוננים באנליזה הוא הקירוב של פונקציה כללית על ידי פונקציה ליניארית. במקרה של פונקציות במשתנה אחד, פונקציה ליניארית מאופיינת על ידי השיפוע שלה, ולכן קירוב זה מוביל למושג הניגזרת. אולם במקרה של הרבה משתנים (והרבה ערכים) פונקציות ליניאריות הם מרכבות יותר, ולא ניתן לגלם אותם על ידי מספר אחד. חקר של פונקציות ליניאריות עם מספר ערכים במספר משתנים הוא למעשה האלגבה הליניארית.

שימוש נוסף של האלגברה הליניארית באנליזה הוא האנליזה הפונקציונלית. האנליזה הפונקציונלית חוקרת מרחבי פונקציות במקום להתמקד בפונקציה בודדת. מרחבי הפונקציות בהם עסקת האנליזה הפונקציונלית הם בדרך כלל מרחבים וקטוריים טופולוגיים אינסוף ממדיים. בכך אפשר לראות באנליזה פונקציאונלית הרחבה של האלגברה הליניארית העוסקת במרחבים וקטוריים שעליהם נתונה גם טופולוגיה.

במדעי המחשב התאורטיים

שאלות אלגוריתמיות רבות במדעי המחשב מתמקדות בבעיות חישוביות באלגברה ליניארית. דוגמה נפוצה לבעיות אלה היא ביצוע יעיל ומדיוק של פרוקי המטריצות השונים שהוזכרו מעלה. התחום העוסק בשאלות אלה נקרא אלגברה ליניארית חישובית שהוא חלק מתחום האלגריתמים המהווה את אחד מהתחומים המרכזיים במדעי המחשב התאורטיים.

אלגברה ליניארית מעל שדה סופי שימושית בקריפטוגרפיה, מיכיוון שאפשר להציג כל מידע בתור וקטור במרחב ליניארי מעל שדה סופי, ופעולות כמו הצפנה או קידוד הופכות לטרנספורמציות בין מרחבים ליניאריים מעל שדה סופי. אומנם לא תמיד די בטרנספורמציות ליניאריות, אך אלה מהוות נקודת התחלה טובה.

לקריאה נוספת

• אלגברה ליניארית, האוניברסיטה הפתוחה
• אלגברה ליניארית 2, האוניברסיטה הפתוחה, תשמ"ב
• שמשון עמיצור, אלגברה א', האוניברסיטה העברית, תש"ל
• אמנון יקותיאלי, מבוא לאלגברה ליניארית, המחלקה למתמטיקה, אוניברסיטת בן-גוריון
• בן ציון קון ואברהם ברמן, אלגברה ליניארית
• סיימור ליפשיץ, אלגברה ליניארית
• שלמה הבלין ויפית מעין, אלגברה ליניארית - תאוריה ותרגילים, אוניברסיטת בר-אילן

קישורים חיצוניים

• סדרת סרטונים על אלגברה ליניארית בערוץ 3Blue1Brown.
• Linear Algebra Toolkit
• אלגברה ליניארית - קורס שלם בווידאו (אנגלית)
• קורס שלם בווידאו (עברית)
• תוכנה חופשית לוויזואליזציה של מושגי יסוד באלגברה ליניארית.
• אלגברה ליניארית, באתר MathWorld (באנגלית)
• אלגברה ליניארית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• אלגברה ליניארית, דף שער בספרייה הלאומית

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

36846156אלגברה ליניארית