שדה סופי

באלגברה, שדה סופי הוא שדה שיש בו מספר סופי של איברים. הגודל של כל שדה סופי הוא חזקה שלמה של מספר ראשוני; ולכל חזקה כזו, יש שדה אחד ויחיד (עד כדי איזומורפיזם) מן הגודל המתאים. המבנה שלהם (לרבות תת-שדות, בסיסים וסדר של איברים) מוכר היטב.

לשדות סופיים יש שימושים רבים, בין היתר בתורת המספרים, קומבינטוריקה, גאומטריה, תורת הקודים וקריפטוגרפיה. את השדות הסופיים קל לפתח במסגרת תורת גלואה, ומשום כך הם קרויים שדות גלואה, על-שמו של אווריסט גלואה.

קיום ויחידות של שדות סופיים

לכל מספר ראשוני $p$ , קבוצת המספרים המתחלקים ב- $p$ היא אידיאל מקסימלי של חוג המספרים השלמים, והמנה $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ היא שדה בגודל $p$ . בשדה הזה, פעולות החיבור והכפל מחושבות מודולו $p$ .

יהי $F$ שדה סופי. לשדה יש מאפיין, שהוא בהכרח מספר ראשוני $p$ (ולא אפס). משום כך, השדה $F$ מכיל עותק של "השדה הראשוני", $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ . מכאן נובע ש- $F$ הוא מרחב וקטורי מעל $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ , ומכאן שמספר האיברים שלו הוא $|F|=p^{n}$ עבור מספר שלם $n$ .

קיום. יהי $K$ שדה הפיצול של הפולינום $f(t)=t^{p^{n}}-t$ מעל השדה $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ (לפי תורת גלואה, יש שדה יחיד כזה, עד-כדי איזומורפיזם). בשדה $K$ מתקיימות הזהויות $(ab)^{p}=a^{p}b^{p}$ ו- $(a+b)^{p}=a^{p}+b^{p}$ ; מכאן שאוסף הפתרונות $K_{0}=\{a\in K:a^{p^{n}}-a=0\}$ סגור לחיבור ולכפל; ולכן הוא מהווה תת-שדה של $K$ ; הפולינום $f$ מתפצל ב- $K_{0}$ (המכיל את כל השורשים של $f$ ), ולכן $K=K_{0}$ . אבל הפולינום $f$ הוא פולינום ספרבילי, ולכן יש לו בדיוק $\deg(f)=p^{n}$ פתרונות - מכאן ש- $K$ שדה בעל $p^{n}$ איברים.

יחידות. כל איבר בשדה בן $p^{n}$ איברים מקיים את הזהות $x^{p^{n}}=x$ , ולכן הוא מהווה שדה פיצול של $f$ ; מכאן שיש רק שדה אחד כזה. את השדה הזה מסמנים ב- $\mathbb {F} _{p^{n}}$ .

חבורת גלואה של הרחבה של שדות סופיים, $\mathbb {F} _{q^{n}}/\mathbb {F} _{q}$ כאשר $q$ חזקה של ראשוני, היא חבורה ציקלית מסדר $n$ , הנוצרת על ידי אוטומורפיזם פרובניוס $x\mapsto x^{q}$ . כל ההרחבות של שדות סופיים הן ספרביליות.

לפי המשפט הקטן של ודרברן, השדות הסופיים הם החוגים הסופיים היחידים ללא מחלקי אפס.

דוגמה

השדה $\mathbb {F} _{4}$ , קיים ויחיד, כי 4 הוא חזקה של מספר ראשוני, אבל הוא לא חוג המספרים השלמים מודולו 4, $\mathbb {Z} _{4}$ , כי חוג זה מכיל מחלק אפס.

נשים לב ש- $4=2^{2}$ , ו-2 הוא מספר ראשוני, ולכן $\mathbb {F} _{4}$ הוא הרחבה של השדה $\mathbb {F} _{2}=\mathbb {Z} _{2}$ , ומעלת ההרחבה היא 2. באופן כללי, ניתן ליצור הרחבה ממעלה n על ידי הוספת שורש של פולינום אי פריק ממעלה $n$ לשדה המקורי, ולכן הבעיה של יצירת שדה בן ארבעה איברים היא הבעיה של מציאת פולינום ריבועי אי פריק מעל $\mathbb {Z} _{2}$ . קל לראות שהפולינום הריבועי האי פריק היחיד בחוג הפולינומים $\mathbb {Z} _{2}[x]$ הוא $x^{2}+x+1$ - זהו פולינום אי פריק כיוון שהוא פולינום ריבועי בלי שורש בשדה, מה שאפשר לוודא על ידי בדיקת כל האפשרויות. נוסיף שורש של הפולינום לשדה, ונסמן את השורש ב- $c$ . קל לראות שמתקבל השדה $\mathbb {F} _{4}=\left\{0,1,c,c+1\right\}$ כאשר פעולות החיבור והכפל בו נקבעות לפי השיווינות $x+x=0$ לכל $x$ ו- $c^{2}+c+1=0$ . מכאן מתקבל לדוגמה השוויון $c^{2}=c^{-1}=c+1$ , ואת הביטוי ${\frac {c^{3}+c}{c+1}}$ אפשר לפשט לביטוי 1.

פולינומים אי-פריקים

אם $g$ הוא פולינום אי-פריק ממעלה $n$ מעל השדה $\mathbb {F} _{q}$ , אז הוא מחלק את $f(x)=x^{q^{n}}-x$ ; מצד שני, הפירוק של $f$ לגורמים אי-פריקים כולל את כל הפולינומים האי-פריקים המתוקנים, ממעלה המחלקת את $n$ . אם נסמן ב- $a_{d}(q)$ את מספר הפולינומים המתוקנים האי-פריקים ממעלה $d$ , מתקבלת מכאן הנוסחה $\sum _{d|n}da_{d}(q)=q^{n}$ . אפשר להפוך את הסדר בעזרת נוסחת ההיפוך של מביוס - $a_{n}(q)={\frac {1}{n}}\sum _{d|n}\mu (n/d)q^{d}$ . הגורם המשמעותי ביותר בסכום זה הוא הגורם המתאים ל- $d=n$ , ולכן $a_{n}(q)\approx {\frac {1}{n}}q^{n}$ .