חבורה פשוטה

במתמטיקה, חבורה פשוטה היא חבורה $\ G\neq \{e\}$ שאין לה תת-חבורה נורמלית לא־טריויאלית, כלומר תת־החבורות הנורמליות היחידות שלה הן $\ G$ ו-$\ \{e\}$ .

לפי משפט ז'ורדן-הלדר ההצגה של חבורה סופית $\ G$ על ידי סדרה נורמלית היא יחידה, כאשר הגורמים של סדרת ההרכב הן חבורות פשוטות. מכאן החשיבות הרבה שיש לחבורות פשוטות בתור אבני הבניין של כל החבורות הסופיות, בדומה למספרים הראשוניים שמרכיבים את המספרים השלמים.

משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות הושלם ב־1982 לאחר מאמצים משותפים של מתמטיקאים רבים.

דוגמאות

• כל חבורה שהסדר שלה הוא ראשוני היא פשוטה, כי על־פי משפט לגראנז' הסדר של תת־חבורה צריך לחלק את הסדר שלה, ורק 1 והמספר עצמו (היוצרים את תת־החבורות הטריוויאליות) הם כאלה.
• כל חבורה אבלית פשוטה היא החבורה הציקלית מסדר ראשוני.
• בין החבורות הסימטריות $\ S_{n}$ , אם $\ n<5$ אז $\ S_{n}$ חבורה פתירה ואינה פשוטה.

למשל עבור $\ n=4$ קיימת הסדרה הנורמלית $\ S_{4}\triangleright A_{4}\triangleright V_{4}\triangleright \{e,(1\ 2)(3\ 4)\}\triangleright \{e\}$ כאשר $\ A_{4}$ חבורת התמורות הזוגיות מסדר 4 ו־$\ V_{4}$ חבורת הארבעה של קליין.

מאידך, עבור $\ n\geq 5$, $\ A_{n}$ פשוטה.

• חבורות המטריצות $\ \operatorname {PSL} _{n}(F)$ הן פשוטות, אלא אם n=2 והשדה F הוא בן 2 או 3 אברים.

לפי משפט פייט-תומפסון, כל חבורה מסדר אי־זוגי היא פתירה. משפט זה נחשב לצעד המשמעותי הראשון בהוכחת משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות. מן המיון השלם עולה כי הסדר של כל חבורה פשוטה, פרט לחבורות סוזוקי, מתחלק ב־3.

מושגים קרובים

אם G חבורה מושלמת (כלומר, $\ [G,G]=G$) וחבורת המנה $\ G/Z(G)$ פשוטה, אז החבורה G היא קוואזי־פשוטה (quasisimple). לחבורה פשוטה A, כל תת־חבורה של חבורת האוטומורפיזמים $\ \operatorname {Aut} (A)$ המכילה את כל האוטומורפיזמים של הצמדה נקראות חבורות כמעט פשוטות (almost simple).

למשל, כאשר $\ \operatorname {PSL} _{n}(F)$ פשוטה, החבורה $\ \operatorname {SL} _{n}(F)$ היא קוואזי־פשוטה, והחבורה $\ \operatorname {PGL} _{n}(F)$ כמעט פשוטה.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0