מטריצת תמורה

בתורת המטריצות, מטריצת תמורה היא מטריצה ריבועית בינארית שמכילה בדיוק אחדה אחת בכל שורה ובכל עמודה ואפסים בכל המקומות האחרים. כל מטריצה $P$ כזאת מייצגת תמורה של $m$ איברים, וכאשר מכפילים אותה במטריצה אחרת $A$, גורמת לערבוב השורות (בכפל מלפני, כלומר $PA$) או העמודות (בכפל מאחרי, כלומר $AP$) של המטריצה $A$.

כיוון שבמטריצת תמורה יש בדיוק אחדה אחת בכל שורה או עמודה, ניתן להיעזר בדימוי מתחום השחמט כדי להבין איך היא נראית; אוסף מטריצות התמורות נמצא בהתאמה חד-חד ערכית עם אוסף ההעמדות של $m$ צריחים על לוח בגודל $m\times m$ כך שאף אחד לא יאיים על השני, כאשר מיקומי הצריחים מתאימים למיקומי האחדות במטריצות התמורה. מקומבינטוריקה עולה שיש $m!$ מטריצות תמורה, כגודל החבורה הסימטרית $S_{m}$.

הגדרה

בהינתן תמורה $\pi$ של $m$ איברים,

$\pi :\lbrace 1,\ldots ,m\rbrace \to \lbrace 1,\ldots ,m\rbrace$

המיוצגת בסימון שתי שורות כ-

${\begin{pmatrix}1&2&\cdots &m\\\pi (1)&\pi (2)&\cdots &\pi (m)\end{pmatrix}}$

ישנן שתי דרכים טבעיות לקשר בין תמורה למטריצת תמורה; כאשר מתחילים ממטריצת הזהות מסדר $m\times m$, כלומר $I_{m}$, אז ניתן לבצע תמורה על עמודות או שורות המטריצה, בהתאם ל-$\pi$. מאמר זה ידון רק באחת מההצגות הללו, כאשר האחרת תוזכר רק אם יש הבדל ביניהן שיש להיות מודעים אליו.

למטריצת התמורה מסדר $m\times m$, כלומר $P_{\pi }=(p_{ij})$, המתקבלת מערבוב העמודות של מטריצת הזהות $I_{m}$, כלומר הפועלת כך שלכל $i$, מתקיים $p_{ij}=1$ אם $j=\pi (i)$ ו-0 אחרת, נתייחס כהצגת העמודות בערך זה. כיוון שהאיברים בשורה $i$ כולם 0 למעט ה-1 שמופיע בעמודה $\pi (i)$, ניתן לכתוב

$P_{\pi }={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{\pi (1)}\\\mathbf {e} _{\pi (2)}\\\vdots \\\mathbf {e} _{\pi (m)}\end{bmatrix}}$

כאשר $\mathbf {e} _{j}$, וקטור בסיס סטנדרטי, מסמן וקטור שורה באורך $m$ עם 1 במיקום ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j} ו-0 בכל מיקום אחר.

לדוגמה, מטריצת התמורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{\pi}} המתאימה לתמורה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 2 & 5 & 3 \end{pmatrix},} , היא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_\pi = \begin{bmatrix} \mathbf{e}_{\pi(1)} \\ \mathbf{e}_{\pi(2)} \\ \mathbf{e}_{\pi(3)} \\ \mathbf{e}_{\pi(4)} \\ \mathbf{e}_{\pi(5)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{e}_{1} \\ \mathbf{e}_{4} \\ \mathbf{e}_{2} \\ \mathbf{e}_{5} \\ \mathbf{e}_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}. }

ניתן להבחין בכך שהעמודה ה-$j$ של מטריצת הזהות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_5} מופיעה כעת כעמודה ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi(j)} של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{\pi}} .

תכונות אלגבריות

הכפלת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{\pi}} בווקטור עמודה g תערבב את השורות של הווקטור:

$P_{\pi }\mathbf {g} ={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{\pi (1)}\\\mathbf {e} _{\pi (2)}\\\vdots \\\mathbf {e} _{\pi (n)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}g_{1}\\g_{2}\\\vdots \\g_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g_{\pi (1)}\\g_{\pi (2)}\\\vdots \\g_{\pi (n)}\end{bmatrix}}.$

שימוש חוזר בתוצאה הזאת מראה שאם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} היא מטריצה במידות מתאימות, המכפלה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{\pi} M} היא פשוט תמורה של השורות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} .

המטריצה ההופכית של מטריצה תמורה שווה למטריצה המשוחלפת שלה, כלומר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{\pi}^{-1} = P_{\pi^{-1}} = P_{\pi}^{\mathsf T}} .

העקבה של מטריצת תמורה היא מספר נקודות השבת של התמורה. אם למטריצה יש נקודות שבת, אז היא ניתנת לכתיבה בצורה ציקלית כ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi = (a_1)(a_2)\dots(a_k)\sigma} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma} היא תמורה ללא נקודות שבת, ו-$e_{a_{1}},e_{a_{2}},\dots ,e_{a_{k}}$ הם וקטורים עצמיים של מטריצת התמורה (אלו הם וקטורי השבת).

כדי לחשב את הערכים העצמיים של מטריצת תמורה נתונה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{\sigma}} , נכתוב את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma} כמכפלה של תמורות ציקליות, כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma= C_{1}C_{2} \cdots C_{t}} . יהיו האורכים של המחזורים הללו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle l_{1},l_{2}...l_{t}} בהתאמה, ויהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_{i} (1 \le i \le t)} אוסף הפתרונות המרוכבים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^{l_{i}}=1} (כלומר שורשי היחידה מסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle l_{i}} ). אז האיחוד של כל ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_{i}} -ים הוא אוסף הערכים העצמיים של מטריצת התמורות המתאימה. הריבוב הגאומטרי של כל ערך עצמי שווה למספר ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_{i}} -ים שמכילים אותו.

מתורת החבורות ידוע שכל תמורה ניתנת להצגה כהרכבה של חילופים. לפיכך כל מטריצת תמורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} ניתנת לפירוק כמכפלה של מטריצות אלמנטריות המחליפות שתי שורות, אשר לכל אחת יש דטרמיננטה 1-. לפיכך, מכפליות הדטרמיננטה מקבלים שהדטרמיננטה של כל מטריצת תמורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} היא 1 או 1- בהתאם לזוגיות התמורה.

ראו גם

• תמורה (מתמטיקה)

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מטריצת תמורה בוויקישיתוף

• מטריצת תמורה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

32714907מטריצת תמורה