איזומורפיזם

ערך זה עוסק בהתאמה בין מבנים מתמטיים. אם התכוונתם למשמעות אחרת, ראו איזומורפיזם (פירושונים).

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, אִיזוֹמוֹרְפִיזְם הוא התאמה בין שני מבנים מתמטיים באופן ששומר על המאפיינים המגדירים את המבנה. מבנים שיש ביניהם איזומורפיזם הם איזומורפיים זה לזה. קיומה של ההתאמה מראה ששני המבנים זהים מכל בחינה בעלת עניין במסגרת התורה העוסקת בהם, גם אם הם נקראים בשמות שונים. מקור המלה מיוונית: "אִיזוֹס" (שווה) ו"מוֹרפֶה" (מבנה).

בכמה מקרים קוראים למבנים איזומורפיים בשם מיוחד: איזומורפיזם של מרחבים טופולוגיים נקרא "הומיאומורפיזם", איזומורפיזם של יריעות דיפרנציאליות נקרא "דיפאומורפיזם", ואיזומורפיזם של מרחבים מטריים נקרא "איזומטריה". השם הייחודי מדגיש תכונות מסוימות של המבנה ומונע בלבול (למשל, בשאלה האם שני מרחבים מטריים איזומורפיים ככאלה, או רק כמרחבים טופולוגיים).

את המונח "איזומורפיזם" טבע המתמטיקאי הגרמני לאופולד קרונקר במאה ה-19 כדי לתאר קשר בין שני מבנים אלגבריים שהם "בעיקרם זהים". עם זאת, לרעיון האיזומורפיזם יש היסטוריה ארוכה יותר וניתן לייחסו לעבודותיהם של מתמטיקאים מוקדמים יותר כמו אווריסט גלואה ואוגוסטן לואי קושי, אף הם בני המאה ה-19.^[^{דרוש מקור]}

הגדרה כללית

אם $S_{1}$ ו- $S_{2}$ הם שני מבנים מתמטיים של אותה שפה $L$ של תחשיב היחסים, אז פונקציה $H\colon S_{1}\to S_{2}$ נקראת איזומורפיזם ביניהם אם:

לכל קבוע $a$ של השפה $L$ מתקיים $H(S_{1}(a))=S_{2}(a)$ .
עבור כל פעולה $n$ -מקומית $F$ של $L$ : לכל $a_{1},...,a_{n}\in S_{1}$ מתקיים $H(S_{1}(F(a_{1},...,a_{n})))=S_{2}(F(H(a_{1}),...,H(a_{n})))$ .
עבור כל יחס $n$ -מקומי $R$ של $L$ , לכל $a_{1},...,a_{n}\in S_{1}$ מתקיים $S_{1}(R(a_{1},...,a_{n}))$ אם ורק אם $S_{2}(R(H(a_{1}),...,H(a_{n})))$ .
$H$ חד-חד ערכית מ- $S_{1}$ על $S_{2}$ .

כשקיימת כזו פונקציה בין שני מבנים $S_{1}$ ו- $S_{2}$ , אומרים שהמבנים איזומורפיים ומסמנים $S_{1}\cong S_{2}$ .

פונקציה המקיימת את שלוש הדרישות הראשונות נקראת הומומורפיזם. אם $S_{1}=S_{2}$ , אז הומומורפיזם נקרא "אנדומורפיזם", ואיזומורפיזם נקרא אוטומורפיזם.

הגדרה במונחי תורת הקטגוריות

בתורת הקטגוריות, מורפיזם $f\colon a\to b$ בקטגוריה $C$ נקרא "איזומורפיזם", אם הוא הפיך בקטגוריה, כלומר, קיים מורפיזם $g\colon b\to a$ כך שמתקיים $f\circ g=1_{b}$ ו- $g\circ f=1_{a}$ .

בקטגוריות רבות ההגדרה הזו מתלכדת עם ההגדרה הקודמת, אך הדבר אינו נכון באופן כללי.

הגדרה באלגברה

איזומורפיזם בין חבורות

אם $A$ ו- $B$ הן שתי חבורות, וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל $f\colon A\to B$ כך שעבור כל צמד איברים $\alpha ,\beta \in A$ מתקיים $f(\alpha \cdot \beta )=f(\alpha )\cdot f(\beta )$ , אז $A$ ו- $B$ איזומורפיות זו לזו. אפשר להבין את ה"שוויון" בין החבורות, על ידי כך שנסמן את האיברים $f(\alpha ),f(\beta )\in B$ פשוט כ $\alpha ,\beta$ . לכן אפשר לראות שלכל מטרה מעשית, ההבדל בין החבורות הוא הבדל בסימון בלבד.

אפשר לראות שהאיזומורפיזם מקיים יחס שקילות:

רפלקסיביות - ניקח חבורה $A$ ונגדיר פונקציה חד-חד ערכית ועל $f\colon A\to A$ כך שעבור כל איבר $\alpha \in A$ מתקיים $f(\alpha )=\alpha$ . אפשר לראות שהפונקציה הזו מקיימת את תנאי האיזומורפיזם, ולכן $A\cong A$ .
סימטריות - עבור צמד חבורות איזומורפיות, $A$ ו- $B$ , כשפונקציית האיזומורפיזם ביניהן היא $f\colon A\to B$ , נגדיר פונקציה חד-חד ערכית ועל $f^{-1}\colon B\to A$ כך שעבור כל איבר $\alpha \in A$ מתקיים $f^{-1}(f(\alpha ))=\alpha$ . אפשר לראות שהפונקציה הזו מקיימת את תנאי האיזומורפיזם, ולכן גם $B\cong A$ .
טרנזיטיביות - אם עבור שלוש החבורות $A,B$ ו- $C$ , קיימות פונקציות $f_{A\to B}\colon A\to B$ ו- $f_{B\to C}\colon B\to C$ שמקיימות את תנאי האיזומורפיזם, אז אפשר להגדיר פונקציה שלישית $f_{A\to C}\colon A\to C$ כך שעבור כל איבר $\alpha \in A$ מתקיים $f_{A\to C}(\alpha )=f_{B\to C}(f_{A\to B}(\alpha ))$ . אפשר לראות שהפונקציה הזו מקיימת את תנאי האיזומורפיזם, ולכן $A\cong C$ .

דוגמאות לאיזומורפיזם של חבורות

החבורה $A\equiv \{1,-1,i,-i\}$ תחת פעולת הכפל, היא איזומורפית לחבורה $B\equiv \{0,1,2,3\}$ תחת פעולת החיבור מודולו 4. פונקציית האיזומורפיזם היא $f(0)=1,f(1)=i,f(2)=-1,f(3)=-i$ .
החבורה $C\equiv \left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}\right\}$ תחת פעולת הכפל איזומורפית ל- $A$ (ולכן, גם ל- $B$ ). פונקציית האיזומורפיזם היא $f\left({\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right)=1,f\left({\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\right)=i,f\left({\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}\right)=-i,f\left({\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\right)=-1$ .
עבור החבורה $A$ מתקיים אוטומורפיזם, כשפונקציית האוטומורפיזם היא $f(1)=1,f(-i)=i,f(-1)=-1,f(i)=-i$ . באופן דומה, גם עבור $B$ ו- $C$ מתקיים אוטומורפיזם.
חבורת כל המספרים השלמים ( $\mathbb {Z} =\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}$ ), תחת פעולת החיבור, איזומרפית לחבורת המספרים השלמים והחצי שלמים (כלומר $\left\{\dots ,-1{\frac {1}{2}},-1,-{\frac {1}{2}},0,{\frac {1}{2}},1,1{\frac {1}{2}},\dots \right\}$ ), פונקציית האיזומורפיזם היא $f(n)={\frac {n}{2}}$ .
הפונקציה $f(n)=-n$ עבור חבורת המספרים השלמים $\mathbb {Z}$ היא אוטומורפיזם.

איזומורפיזם בין חוגים

באופן דומה, אם $A$ ו- $B$ הם שני חוגים, וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל $f:A\mapsto B$ כך שעבור כל צמד איברים $\alpha ,\beta \in A$ מתקיים $f(\alpha \cdot \beta )=f(\alpha )\cdot f(\beta )$ , $f(\alpha +\beta )=f(\alpha )+f(\beta )$ וגם $f(1)=1$ (התנאי האחרון רלוונטי רק לחוגים עם יחידה) אז $A$ ו- $B$ איזומורפיים זה לזה.

איזומורפיזם בין מודולים

באופן דומה, אם $A$ ו- $B$ הם שני מודולים שמאליים מעל חוג $R$ , וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל $f\colon A\to B$ כך שעבור כל צמד איברים $\alpha ,\beta \in A$ מתקיים $f(\alpha +\beta )=f(\alpha )+f(\beta )$ , וגם עבור כל $r\in R$ מתקיים $f(r\alpha )=rf(\alpha )$ , אז $A$ ו- $B$ איזומורפיים זה לזה.

בנוסף, אם $A$ ו- $B$ הם שני מודולים שמאליים מעל שני חוגים $R_{A},R_{B}$ איזומורפיים, כשהאיזומורפיזם בין שני החוגים הוא $g\colon R_{A}\to R_{B}$ וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל $f\colon A\to B$ כך שעבור כל צמד איברים $\alpha ,\beta \in A$ מתקיים $f(\alpha +\beta )=f(\alpha )+f(\beta )$ , וגם עבור כל $r\in R_{A}$ מתקיים $f(r\alpha )=g(r)f(\alpha )$ אז $A$ ו- $B$ איזומורפיים זה לזה.

איזומורפיזם בין אלגברות

באופן דומה, אם $A$ ו- $B$ הן שתי אלגברות שמקיימות את תנאי האיזומורפיות כמודול עבור הפונקציה $f\colon A\to B$ ובנוסף עבור כל צמד איברים $\alpha ,\beta \in A$ מתקיים $f(\alpha \star \beta )=f(\alpha )\star f(\beta )$ , אז $A$ ו- $B$ איזומורפיות זו לזו.

איזומורפיזם בין גרפים

אם $(V_{1},E_{1})$ ו- $(V_{2},E_{2})$ הם שני גרפים, וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל $f\colon V_{1}\to V_{2}$ כך שקיימת קשת ב- $E_{1}$ בין $v\in V_{1}$ לבין $u\in V_{1}$ אם ורק אם קיימת קשת ב $E_{2}$ בין $f(v)\in V_{2}$ לבין $f(u)\in V_{2}$ אז הגרפים איזומורפיים זה לזה.