שדה סגור אלגברית
קפיצה לניווט
קפיצה לחיפוש
במתמטיקה, שדה $ F $ הוא סגור אלגברית אם לכל פולינום לא קבוע עם מקדמים מ-$ F $ קיים שורש ב-$ F $.
דוגמאות
- שדה המספרים הממשיים $ \mathbb {R} $ הוא לא סגור אלגברית. הפולינום $ x^{2}+1 $, למשל, הוא פולינום עם מקדמים ממשיים (0 ו-1) שלא קיים לו שום שורש ממשי - לא קיים מספר ממשי $ x $ כך ש-$ x^{2}+1=0 $. בצורה דומה ניתן לראות שכל תת-שדה של שדה המספרים הממשיים (ובפרט, למשל, שדה המספרים הרציונליים) הוא אינו סגור אלגברית.
- כל שדה סופי $ F $ הוא לא סגור אלגברית. אם $ a_{1},\ldots ,a_{q} $ הם איברי השדה $ F $, אז הפולינום $ (x-a_{1})(x-a_{2})\cdots (x-a_{q})+1=x^{q}-x+1\in F[x] $ הוא פולינום שמקדמיו מ-$ F $ אבל לא קיים לו שורש ב-$ F $.
- בניגוד לדוגמאות הקודמות, לפי המשפט היסודי של האלגברה, שדה המספרים המרוכבים הוא סגור אלגברית (למשל, לפולינום $ x^{2}+1 $ קיים שורש מרוכב).
- דוגמה נוספת לשדה סגור אלגברית הוא שדה המספרים האלגבריים, שהוא הסגור האלגברי של שדה המספרים הרציונליים.
- הסגור האלגברי של שדה סופי ממאפיין $ p $ הוא האיחוד של כל השדות הסופיים מאותו מאפיין. לשדה המתקבל קוראים לפעמים $ GF(p^{\infty }) $.
הגדרות שקולות
שדה $ F $ הוא סגור אלגברית אם ורק אם הוא מקיים את אחת התכונות השקולות הבאות:
- אין לשדה הרחבה מממד סופי.
- אין לשדה הרחבה אלגברית לא טריוויאליות
- לכל פולינום מעל השדה (שאינו קבוע), יש שורשים בשדה.
- כל פולינום ממעלה גדולה מ-1 מעל השדה הוא פריק.
- כל פולינום שמקדמיו בשדה $ F $ מתפצל שם לגורמים ליניאריים.
- לכל מטריצה ריבועית ישנו ערך עצמי.
חשיבות גאומטרית
בגאומטריה אלגברית, כאשר חוקרים מערכות משוואות מנקודת מבט גאומטרית, עובדים תמיד מעל שדה סגור אלגברית; גישה זו מסירה את ההפרעות האריתמטיות (שנובעות מאי-קיום שורשים לפולינומים או למערכות של פולינומים), ומותירה רק את האופי הגאומטרי שלהם. לדוגמה, כאשר עוסקים במספרים רציונליים, הקו הישר $ y=x $ אינו נחתך עם המעגל $ x^{2}+y^{2}=1 $ (משום שנקודות החיתוך $ x=y=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}} $ אינן רציונליות). שתי נקודות החיתוך מופיעות כאשר עוברים לסגור האלגברי.
קישורים חיצוניים
- שדה סגור אלגברית, באתר MathWorld (באנגלית)
שדה סגור אלגברית34565249Q1047547