פעולה קומוטטיבית

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
(הופנה מהדף קומוטטיביות)
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

פעולה קומוטטיבית או פעולה חילופית היא פעולה בינארית המקיימת את התנאי $ \ a*b=b*a $ לכל a, b (כאשר * הוא הסימן לפעולה).

פעולת החיבור של מספרים, למשל, היא פעולה קומוטטיבית, משום שלכל שני מספרים a,b מתקיים $ \ a+b=b+a $. פעולת החיסור, לעומת זאת, אינה קומוטטיבית, משום שלמשל $ \ 3-5\neq 5-3 $.

קומוטטיביות (או העדרה) היא אחת התכונות הבסיסיות ביותר של מבנים אלגבריים. במבנים אלגבריים בעלי שתי פעולות בינאריות, כגון חוגים או שדות נהוג לסמן את הפעולה הקומוטטיבית הבסיסית בסימן + המשמש לחיבור מספרים. חבורה שבה הפעולה קומוטטיבית נקראת "חבורה אבלית" על שם המתמטיקאי נילס הנריק אבל שתרם לפיתוח תורת החבורות.

גם כאשר הפעולה $ * $ אינה חילופית, נאמר על שני איברים כי הם מתחלפים ביחס אליה אם מתקיים $ \ a*b=b*a $.

היעדר תלות באסוציאטיביות

אין קשר ישיר בין קומוטטיביות לתכונה אחרת של פעולות בינאריות, אסוציאטיביות:

  • ישנן פעולות שהן גם קומוטטיביות וגם אסוציאטיביות (לדוגמה: חיבור וכפל במספרים, AND, OR, XOR, XNOR).
  • ישנן פעולות שהן קומוטטיביות אבל לא אסוציאטיביות (למשל: הערך המוחלט של ההפרש, NOR ,NAND).
  • ישנן פעולות שהן לא קומוטטיביות אבל כן אסוציאטיביות (למשל: הפעולה המוגדרת לפי $ \ a\#b=a $ או $ \ a\$b=b $, או כפל מטריצות).
  • ישנן פעולות שהן לא קומוטטיביות ולא אסוציאטיביות (לדוגמה: חיסור וחילוק).

ראו גם

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא פעולה קומוטטיבית בוויקישיתוף
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פעולה קומוטטיבית38720647Q165474