פונקציה על
בערך זה |
במתמטיקה, פונקציה מקבוצה $ A $ לקבוצה $ B $ היא על אם כל איבר בקבוצה $ B $ מתקבל כערך של הפונקציה. באופן פורמלי, פונקציה $ f:X\rightarrow Y $ היא על $ Y $, אם לכל איבר בטווח ($ Y $) של הפונקציה מתאים לפחות איבר אחד בתחום ($ X $) שלה. במילים אחרות: התמונה של $ f $ שווה לטווח שלה. בסימון מתמטי: לכל $ y\in Y $ קיים $ x\in X $ כך ש-$ f(x)=y $. במקרה זה לעיתים מסמנים: $ f:X\twoheadrightarrow Y $ כדי לציין ש-$ f $ היא על.
קיומה של התכונה תלוי בטווח עליו מוגדרת הפונקציה: כך למשל, הפונקציה המתאימה לכל אדם את אמו היא על אם הטווח הוא קבוצת הנשים שיש להן ילדים, אבל לא על אם הטווח שלה מוגדר כקבוצת כל הנשים (כי יש נשים שאין להן ילדים). מסיבה זו, מקובל לציין שפונקציה היא על קבוצה מסוימת (שפירושו: אם קבוצה זו תילקח כטווח הפונקציה, יתקיימו הדרישות לפונקציה על).
דוגמאות ודוגמאות נגד
- הפונקציה המתאימה לכל מצביע בבחירות 2006 את המפלגה שעבורה הצביע היא על קבוצת המפלגות שהתמודדו בבחירות אלה, כי לכל מפלגה הצביע לפחות אדם אחד (לא היו מפלגות שזכו לאפס קולות).
- תהי $ f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} $ הפונקציה המוגדרת לפי הנוסחה $ f(x)=2x+1 $ לכל x ממשי. פונקציה זו היא "על", משום שלכל $ y\in \mathbb {R} $, $ f({\frac {y-1}{2}})=y $.
- לעומת זאת, הפונקציה $ g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} $ המוגדרת להיות $ g(x)=x^{2} $ אינה על, כיוון שבעבור $ y=-1 $, למשל, לא קיים מקור $ x $ ממשי המקיים את המשוואה $ x^{2}=-1 $.
- תהי $ h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{+0} $ (פונקציה מקבוצת הממשיים לקבוצת הממשיים האי שליליים) המוגדרת באותה צורה, אזי $ h $ היא על, כיוון שלכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): x ממשי אי שלילי קיים המקור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \sqrt x .
-
דוגמה לפונקציה על – לכל האיברים יש מקור בתחום -
דוגמה לפונקציה שאינה על – לאיבר C שבטווח, אין מקור בתחום
תכונות
עבור קבוצות סופיות, אם קיימת פונקציה מקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): A לקבוצה $ B $ שהיא על, אזי מספר האיברים ב-$ B $ קטן או שווה למספר האיברים ב-$ A $. אם קיימת בין הקבוצות פונקציה שהיא חד-חד ערכית, אזי מספר האיברים ב-$ A $ קטן או שווה למספר האיברים ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): B ואם קיימת בין הקבוצות פונקציה שהיא חד-חד ערכית ועל, אזי מספר האיברים ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): A שווה למספר האיברים ב-$ B $.
על הבסיס הזה בנה גאורג קנטור שיטה להשוות קבוצות אינסופיות, המהוות נושא מרכזי בתורת הקבוצות. קנטור הציג את המושג עוצמה כך ששתי קבוצות שיש ביניהן פונקציה שהיא חד-חד ערכית ועל הן שוות עוצמה.
משפטים מתורת הקבוצות
- אם $ f:X\rightarrow Y $ על, אז עוצמת $ X $ גדולה או שווה לעוצמת $ Y $ ($ |X|\geq |Y| $). משפט זה דורש שימוש באקסיומת הבחירה.
- אם $ f\circ g $ על, אז $ f $ על.
- אם $ f $ ו-$ g $ שתיהן על, אזי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): f \circ g על גם היא.
אפימורפיזמים
בתורת הקטגוריות, מורפיזם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \,f:X \rightarrow Y נקרא אפימורפיזם אם לכל אובייקט הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): Z ולכל זוג מורפיזמים $ \,g,h:Y\rightarrow Z $ מתקיים שאם $ g\circ f=h\circ f $ אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): g=h . בקטגוריה של קבוצות, המושגים פונקציה על ואפימורפיזם מתלכדים, אך יש קטגוריות, כגון הקטגוריה של חוגים, שבהן יש אפימורפיזמים שאינם פונקציות על.
ראו גם
קישורים חיצוניים
- פונקציה על, באתר MathWorld (באנגלית)
- פונקציה על, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
- גדי אלכסנדרוביץ', תורת הקבוצות - פונקציות חד-חד-ערכיות, על והפיכות, באתר "לא מדויק", 15 במאי 2020
| נושאים בתורת הקבוצות | ||
|---|---|---|
| מושגי יסוד | תורת הקבוצות הנאיבית • תורת הקבוצות האקסיומטית • קבוצה • יחידון • הקבוצה הריקה • קבוצת החזקה | |
| פעולות | איחוד • חיתוך • משלים • הפרש סימטרי • מכפלה קרטזית | |
| יחסים | יחס • יחס רפלקסיבי • יחס סימטרי • יחס אנטי-סימטרי • יחס טרנזיטיבי • יחס שקילות • יחס הופכי | |
| פונקציות | פונקציה • פונקציה חד-חד-ערכית • פונקציה על • פונקציה חד-חד-ערכית ועל • פונקציית הזיווג של קנטור | |
| משפטים | האלכסון של קנטור • משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין • הלמה של צורן • משפט הסדר הטוב | |
| סדר | סדר חלקי • סדר מלא • סדר טוב • טיפוס סדר • מספר סודר | |
| עוצמות | עוצמה • קבוצה בת מנייה • קבוצה שאינה בת מנייה • עוצמת הרצף | |
| אקסיומות | אקסיומת ההיקפיות • אקסיומת האיחוד • אקסיומת הקבוצה האינסופית • אקסיומת ההחלפה • אקסיומת קבוצת החזקה • אקסיומת היסוד • אקסיומת הבחירה | |
| שונות | הפרדוקס של ראסל • השערת הרצף | |
פונקציה על39137186Q229102