פונקציית התפלגות
בתורת ההסתברות, פונקציית התפלגות, פונקציית הצטברות או פונקציית התפלגות מצטברת (פה"מ) (באנגלית: Cumulative distribution function, בראשי תיבות: CDF) של משתנה מקרי היא פונקציה של משתנה מקרי X, שערכיה קובעים את ההסתברות למאורעות מהצורה $ \ X\leq a $, לכל a ממשי. פונקציה זו מהווה הכללה של פונקציית הסתברות שעוסקת במשתנה מקרי בדיד, גם למשתנה מקרי רציף.
תכונות מופשטות והקשר למשתנים מקריים
אם X משתנה מקרי, פונקציית ההתפלגות המוגדרת על ידי: $ \ F_{X}(a)=\operatorname {Pr} (X\leq a) $ מקיימת בהכרח ארבע תכונות:
- הגבול $ \ \lim _{a\rightarrow -\infty }F_{X}(a) $ שווה ל-0.
- הגבול $ \ \lim _{a\rightarrow \infty }F_{X}(a) $ שווה ל-1.
- הפונקציה מונוטונית עולה (במובן החלש), כלומר $ \ F_{X}(a)\leq F_{X}(b) $ לכל $ \ a\leq b $.
- הפונקציה רציפה מימין.
ולהפך: אם F היא פונקציה המקיימת את ארבע התכונות האלה, אפשר להגדיר ממנה משתנה מקרי כך ש-F היא פונקציית ההתפלגות שלו. פורמלית, כדי להגדיר משתנה מקרי יש לתאר את ההסתברות לכך שהוא ישתייך לכל קבוצה A השייכת לאלגברת בורל על הממשיים. עם זאת, מכיוון שהקטעים יוצרים את האלגברה, מספיק להגדיר את ההסתברויות למאורעות $ \ a<X<b $. ואכן, אם דורשים ש- $ \ \operatorname {Pr} (X\leq a)=F(a) $, נובע שהגבול משמאל $ \ \lim _{x\rightarrow b^{-}}F(b) $ שווה להסתברות $ \ \operatorname {Pr} (X<b) $. מכאן אפשר לקבל את ההסתברויות לכל המאורעות מהצורה $ \ a<X<b $, $ \ a<X\leq b $, $ \ a\leq X<b $ ו- $ \ a<X<b $.
בפרט נובע ש-$ \ P(X=b)=F_{X}(b)-\lim _{x\rightarrow b^{-}}F_{X}(x) $, כך שהסיכוי למאורעות $ \ X=b $ הוא אפס אם ורק אם הפונקציה F רציפה. אם הפונקציה גזירה, אפשר לתאר אותה כאינטגרל של פונקציית צפיפות f:
- $ F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt. $
דוגמאות
קובייה
נניח ש-$ X $ הוא תוצאת ההטלה של קובייה הוגנת, כלומר הוא יכול לקבל כל אחד מהמספרים: 1, 2, 3, 4, 5, 6 בסיכוי שווה (סיכוי 1/6 כל אחד. למעשה זוהי התפלגות אחידה בדידה).
אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של $ X $ נתונה על ידי:
- $ F(x)={\begin{cases}0&:\ x<1\\1/6&:\ 1\leq x<2\\2/6&:\ 2\leq x<3\\3/6&:\ 3\leq x<4\\4/6&:\ 4\leq x<5\\5/6&:\ 5\leq x<6\\1&:\ x\geq 6.\end{cases}} $
התפלגות ברנולי
דוגמה נוספת: נניח ש-$ X $ הוא משתנה מקרי ברנולי, כלומר הוא יכול לקבל רק את הערכים 0 ו-1, והוא מקבל את הערך 1 בסיכוי $ p $, ואת הערך 0 בסיכוי $ 1-p $ (למשל: אם $ p=40\% $ אז $ 1-p=60\% $).
אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של $ X $ נתונה על ידי:
- $ F(x)={\begin{cases}0&:\ x<0\\1-p&:\ 0\leq x<1\\1&:\ x\geq 1.\end{cases}} $
כי ההסתברות ש-$ X $ יקבל ערך קטן מ-0 היא 0%, ההסתברות שהוא יקבל ערך קטן או שווה ל-1 היא 100%, וההסתברות שהוא יקבל ערך גדול-שווה מ-0 אך קטן מ-1 היא $ 1-p $.
התפלגות אחידה רציפה
נניח ש-$ X $ מתפלג באופן אחיד בקטע [0, 1]. אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של $ X $ נתונה על ידי:
- $ F(x)={\begin{cases}0&:\ x<0\\x&:\ 0\leq x<1\\1&:\ x\geq 1.\end{cases}} $
כי ההסתברות שהמשתנה המקרי $ X $ יקבל ערך קטן מ-0 היא 0%, ההסתברות שהוא יקבל ערך קטן מ-x היא 100% לכל x>1, וההסתברות למאורע $ \ X\leq x $ לכל מספר $ x $ בין 0 ל-1 היא $ x $.
קישורים חיצוניים
- פונקציית התפלגות, באתר MathWorld (באנגלית)
פונקציית התפלגות35609815Q386228