שחלוף (מתמטיקה)

באלגברה לינארית, שחלוף (לפעמים גם חילוף; אנגלית: Transpose) הוא פעולת ההחלפה בין השורות והעמודות של מטריצה נתונה. הפעולה מקבלת מטריצה בת n שורות ו-m עמודות, ומחזירה מטריצה בת m שורות ו-n עמודות, שבמקום ה-(i,j) שלה נמצא האיבר ה-(j,i) של המטריצה המקורית. השחלוף הוא דוגמה סטנדרטית לאינוולוציה מסוג ראשון. מטריצה ריבועית שפעולת השחלוף אינה משנה אותה נקראת מטריצה סימטרית.

השחלוף A^T של מטריצה A יכולה להתקבל על ידי שיקוף של מקדמי המטריצה לאורך האלכסון הראשי. חזרה על הפעולה מחזירה את המקדמים למקומם המקורי.

הגדרה פורמלית

תהא $ \!\,A $ מטריצה מסדר $ \!\,n\times m $. המטריצה המשוחלפת שלה, $ \!\,A^{t} $ (מקובלים גם הסימונים $ \ A^{T},A^{\top },{}^{t}A,A^{tr},A' $) היא מטריצה מסדר $ \!\,m\times n $ שמוגדרת כך: $ \!\,(A^{t})_{ij}=(A)_{ji} $, עבור כל $ \!\,1\leq i\leq m,1\leq j\leq n $.

דוגמאות:

$ {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{t}\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}\qquad $

$ \qquad {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{t}\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\; $

תכונות

פעולת השחלוף מהווה, כאמור, אינוולוציה מסוג ראשון. פירושו של דבר הוא שהפעולה שומרת על החיבור ועל הכפל בסקלר, הופכת את פעולת הכפל, ויש לה סדר 2:

• $ \!\,(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t} $.
• $ \!\,(\lambda A)^{t}=\lambda (A^{t}) $.
• $ \!\,(AB)^{t}=B^{t}A^{t} $
• $ \!\,(A^{t})^{t}=A $

מן התכונות האלה נובע גם שאם $ \!\,A $ הפיכה אז גם $ \ A^{t} $ הפיכה ו-$ \!\,(A^{t})^{-1}=(A^{-1})^{t} $.

הדטרמיננטה של מטריצה זהה לזו של המטריצה המשוחלפת שלה. מכאן נובע שגם הפולינום האופייני של $ \ A^{t} $ שווה לזה של $ \ A $ , ולכן יש להן גם אותם ערכים עצמיים. יתרה מזו, כל מטריצה דומה למטריצה המשוחלפת שלה.

מטריצות מיוחדות הקשורות בשחלוף

מטריצה ריבועית $ \ A $ נקראת סימטרית אם $ \ A=A^{t} $, כלומר $ \ A $ שווה למטריצה המשוחלפת שלה. $ \ A $ נקראת אנטי-סימטרית אם $ \ -A=A^{t} $.

אם $ \ A $ היא מטריצה ריבועית הפיכה ומתקיים $ \ A^{-1}=A^{t} $, אז $ \ A $ נקראת מטריצה אורתוגונלית. כלומר, מטריצה ריבועית $ \ A $ היא אורתוגונלית אם ורק אם $ \ AA^{t}=A^{t}A=I $, כאשר $ \ I $ היא מטריצת היחידה.

בדומה לפעולת השחלוף אפשר להגדיר גם פעולת הצמדה הרמיטית הכוללת בנוסף לשחלוף גם פעולת הצמדה של אברי השדה. הצמוד ההרמיטי של מטריצה $ \ A $ מסומן $ \ A^{*} $ וכאמור מוגדר לפי $ \ (A^{*})_{ij}={\overline {A_{ji}}} $. אם $ \ A $ מקיימת $ \ A^{*}=A $, היא נקראת מטריצה הרמיטית. מטריצה הרמיטית היא סימטרית בדיוק כאשר כל הרכיבים שלה ממשיים. בעניין זה, ראו גם אופרטור הרמיטי.

שחלוף של העתקה לינארית

ערך מורחב – מרחב דואלי#שחלוף של העתקה לינארית

אם $ \ V $ ו-$ \ W $ הם מרחבים וקטוריים מעל שדה $ \mathbb {F} $ ו-$ T:V\to W $ היא העתקה לינארית, ההעתקה המשוחלפת שלה היא העתקה $ T^{t}:W^{*}\to V^{*} $ בין המרחבים הדואליים של $ \ W $ ו-$ \ V $ המוגדרת באופן הבא:

$ \left(T^{t}g\right)\left(v\right)=g\left(T\left(v\right)\right) $ לכל $ v\in V $ ולכל $ g\in W^{*} $.

זוהי העתקה לינארית ודרגתה שווה לדרגת $ \ T $. הפונקציונל $ \ T^{t}g $ מכונה לעיתים המשיכה לאחור של $ \ g $ במקביל ל-$ \ T $.

אם $ \ V $ ו-$ \ W $ הם מרחבים וקטוריים סוף-ממדיים, $ {\mathfrak {B}} $ הוא בסיס סדור ל-$ \ V $ עם בסיס דואלי $ {\mathfrak {B}}^{*} $, $ {\mathfrak {B}}' $ הוא בסיס סדור ל-$ \ W $ עם בסיס דואלי $ {\mathfrak {B}}'^{*} $ ו-$ \ A $ היא המטריצה המייצגת של $ \ T $ ביחס לבסיסים $ {\mathfrak {B}},{\mathfrak {B}}' $, אז המטריצה המייצגת של $ \ T^{t} $ ביחס לבסיסים $ {\mathfrak {B}}'^{*},{\mathfrak {B}}^{*} $ היא בדיוק $ \ A^{t} $.