יריעת גרסמן

בגאומטריה אלגברית, יריעת גראסמן (או גרסמניאן; על-שם הרמן גראסמן) היא יריעה אלגברית פרויקטיבית חלקה ${\text{Gr}}(k,V)$ , שהנקודות שלה נמצאות בהתאמה למרחבים מממד (אפיני) קבוע $k$ במרחב וקטורי $V$ . למשל, ${\text{Gr}}(1,V)$ אינו אלא המרחב הפרויקטיבי ${\mathbb {P}}V$ . אם $V$ מרחב מממד $n$ , יריעת גראסמן (שמקובל לסמנה גם ב-${\mathbb {G}}^{n,k}$) מוכלת במרחב הפרויקטיבי ${\mathbb {P}}^{{\binom {n}{k}}-1}$ .

יריעות גראסמן מופיעות באופן טבעי במחקר של יריעות חלקות, משום שאם $M$ היא היריעה מממד $k$ ומשוכנת במרחב האפיני ה-$n$-ממדי, אז המרחב המשיק בכל נקודה הוא תת-מרחב $k$-ממדי של $\mathbb {R} ^{n}$ , כך שהמרחב המשיק מגדיר העתקה רציפה מ-$M$ אל יריעת גראסמן ${\text{Gr}}(k,n)$ . את הרעיון הזה אפשר להכליל לאגד משיק כללי.

דוגמאות

הדואליות בין מרחבים מממד $k$ למרחבים מממד $n-k$ (שהיא הדואליות בין קבוצות משוואות למרחבי פתרונות), מראה כי ${\text{Gr}}(n-k,n)\cong {\text{Gr}}(k,n)$ .

כאמור, אם $k=1$ אז ${\text{Gr}}(1,n)\cong {\mathbb {P}}^{n-1}$ . בפרט, אם $k=1,n=3$ , היריעה מקודדת את הישרים דרך הראשית במרחב התלת-ממדי, ואינה אלא המישור הפרויקטיבי. הדוגמה הפשוטה ביותר שאינה מרחב פרויקטיבי, היא היריעה ${\text{Gr}}(2,4)$ של המישורים דרך הראשית במרחב הארבעה-ממדי.

תיאור כמרחב הומוגני

החבורה הלינארית הכללית ${\text{GL}}_{n}(F)$ פועלת טרנזיטיבית על אוסף תת-המרחבים מממד $k$ . המייצב של תת-מרחב הוא תת-החבורה הפרבולית של מטריצות הבלוקים $H_{k}={\begin{pmatrix}*&*\\0&*\end{pmatrix}}$ (עם בלוקים אלכסוניים בגודל $k\times k,(n-k)\times (n-k)$), וכך מתקבלת הזהות ${\text{Gr}}(k,F^{n})={\text{GL}}_{n}(F)/H_{k}$ . בפרט, הממד של יריעת גראסמן הוא $k(n-k)$ .

אם $F^{n}$ מצויד במכפלה פנימית (או ביתר כלליות בתבנית ריבועית אנאיזוטרופית), אז הפעולה על תת-קבוצות אורתוגונליות מספקת את הזהות ${\text{Gr}}(k,F^{n})=O_{n}(F)/(O_{k}(F)\times O_{n-k}(F))$ . המעבר לחבורת האיזומטריות המיוחדות ${\text{SO}}_{n}$ מגדיר את יריעת גראסמן המכוונת ${\text{SO}}_{n}(F)/({\text{SO}}_{k}(F)\times {\text{SO}}_{n-k}(F))$ , שהיא כיסוי כפול של יריעת גראסמן מאותם ממדים.

מעל המרוכבים, הצגה דומה באמצעות חבורת המטריצות האוניטריות שהיא חבורה קומפקטית, מראה שיריעת גראסמן (הממשית או המרוכבת) היא קומפקטית.

נוכחות המכפלה הפנימית הופכת את יריעת גראסמן למרחב מטרי, אם מגדירים $d(W,U)=\|P_{W}-P_{U}\|$ , המרחק בין ההטלות של $W$ על $U$ ושל $U$ על $W$ , לפי הנורמה האופרטורית.

קואורדינטות פלוקר

קואורדינטות פלוקר של יריעת גראסמן מתקבלות מבחירת בסיס למרחב ה-$n$-ממדי, על ידי מעבר על כל תת-הקבוצות בגודל $k$ . הצגה בקואורדינטות אלה מספקת את השיכון ${\text{Gr}}(k,F^{n})\subset {\mathbb {P}}^{{\binom {n}{k}}-1}F$ , המוגדר על ידי משוואות ריבועיות. כך למשל

${{\text{Gr}}(2,F^{4})\cong {\Big \{}(y_{01}:y_{02}:y_{03}:y_{12}:y_{13}:y_{23})\in {\text{P}}^{5}F\mid y_{01}y_{23}-y_{02}y_{13}+y_{03}y_{12}=0{\Big \}}}$