משפט קיילי-המילטון

משפט קיילי-המילטון הוא משפט באלגברה ליניארית, הקובע שכל מטריצה ריבועית A (מעל שדה) מאפסת את הפולינום האופייני שלה $\ f(\lambda )=|\lambda I-A|$ , כלומר, מתקיים $\ f(A)=0$ . בפרט, הפולינום המינימלי של מטריצה מחלק את הפולינום האופייני שלה. המשפט קרוי על שמם של המתמטיקאים ארתור קיילי וויליאם המילטון. במאמר מ-1858 הראה קיילי שהמשפט נכון עבור מטריצות בגודל $\ 2\times 2$ , והוא מדווח כי בדק את הטענה גם עבור מטריצות בגודל $\ 3\times 3$ ; עם זאת, הוא כותב, "לא מצאתי לנכון לטרוח על הוכחה פורמלית של המשפט עבור מטריצה מכל גודל". מעט אחר-כך גילה המילטון את המשפט עבור מטריצות בגודל 4, במהלך מחקריו על אלגברת הקווטרניונים. את המקרה הכללי הוכיח פרדיננד גאורג פרובניוס, ב- 1878.

המשפט תקף כאשר מקדמי המטריצה מגיעים מחוג קומוטטיבי כלשהו, ונובע ממנו שכל חוגי המטריצות $\ \operatorname {M} _{n}(C)$ הם חוגי זהויות פולינומיות.

הוכחת המשפט

נסמן $f(x)=\Sigma _{k=0}^{n}C_{k}x^{k}$ . ראשית ידוע כי לכל מטריצה $\ A$ מתקיים כי $\qquad A\,\mathrm {adj} (A)=\mathrm {adj} (A)\,A=\det(A)\,I$ , ולכן עבור $C=xI-A$ מתקיים כי $f(x)I=|xI-A|I=|C|I=C\mathrm {adj} (C)=(xI-A)\mathrm {adj} (C)=xI\mathrm {adj} (C)-A\mathrm {adj} (A)$ ומכיוון שאיברי המטריצה $C$ הם פולינומים ממעלה ראשונה ולכן גם כן איברי $\mathrm {adj} (C)$ פולינומים אכן ממעלה גדולה או שווה ל- $n-1$ . לכן ניתן לכתוב את $\mathrm {adj} (C)$ כפולינום על מקדמים שהם מטריצות, $\mathrm {adj} (C)=\Sigma _{k=0}^{n}B_{k}x^{k}$ . מכיוון ש- $f(x)I=xI\mathrm {adj} (C)-A\mathrm {adj} (A)$ אז מתקיים כי $f(x)I=\Sigma _{k=1}^{n}C_{k}Ix^{k}$ ו- $\mathrm {adj} (C)-A\mathrm {adj} (A)=\Sigma _{k=1}^{n}B_{k-1}-AB_{k}$ ולכן על ידי השוואת מקדמים לפולינומים זהים נקבל כי $C_{k}I=B_{k-1}-AB_{k}$ אז אם נכפול ב-A נקבל כי $C_{k}A^{k}=A^{k}B_{k-1}-A^{k-1}B_{k}$ ולכן על ידי הצבה בפולינום המציין נקבל טור טלסקופי שמתאפס.

הוכחה עבור מטריצות לכסינות

אם מניחים שהמטריצה לכסינה, ההוכחה קלה יותר:

הפעלת המטריצה הריבועית $f(A)$ (המטריצה המתקבלת מהצבת המטריצה המקורית A בפולינום האופייני שלה) על כל אחד מהוקטורים העצמיים של A מחזירה את הווקטור העצמי $v_{i}$ כפול סקלר מסוים $\alpha _{i}$ (זה נובע מהגדרה של וקטור עצמי).
הסקלר הזה שווה לערך הפולינום האופייני כאשר מציבים בו את הערך העצמי $\lambda$ אליו משויך הווקטור העצמי; בכתיב מתמטי:

f(A)\cdot v_{i}=A^{n}\cdot v_{i}+c_{n-1}A^{n-1}\cdot v_{i}+\cdots +c_{1}A\cdot v_{i}+c_{0}I_{n}\cdot v_{i}=\lambda ^{n}v_{i}+c_{n-1}\lambda ^{n-1}v_{i}+\cdots +c_{1}\lambda v_{i}+c_{0}v_{i}=f(\lambda )v_{i}

מהגדרת הפולינום האופייני נובע שכל ערך עצמי של המטריצה המקורית הוא שורש שלו; לפיכך המטריצה $f(A)$ שולחת את כל אחד מהווקטורים העצמיים של A לאפס ( $\alpha _{i}=0$ לכל i).
מכיוון ש-A לכסינה, אוסף הווקטורים העצמיים שלה, ${v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}}$ , הוא בסיס למרחב עליו היא פועלת. מכיוון ששתי מטריצות הפועלות באופן זהה על כל אחד מוקטורי בסיס של מרחב ליניארי הן בהכרח זהות, מקבלים ש- $f(A)$ שווה זהותית למטריצת האפס.