משפט קיילי-המילטון
משפט קיילי-המילטון הוא משפט באלגברה ליניארית, הקובע שכל מטריצה ריבועית A (מעל שדה) מאפסת את הפולינום האופייני שלה $ \ f(\lambda )=|\lambda I-A| $, כלומר, מתקיים $ \ f(A)=0 $. בפרט, הפולינום המינימלי של מטריצה מחלק את הפולינום האופייני שלה. המשפט קרוי על שמם של המתמטיקאים ארתור קיילי וויליאם המילטון. במאמר מ-1858 הראה קיילי שהמשפט נכון עבור מטריצות בגודל $ \ 2\times 2 $, והוא מדווח כי בדק את הטענה גם עבור מטריצות בגודל $ \ 3\times 3 $; עם זאת, הוא כותב, "לא מצאתי לנכון לטרוח על הוכחה פורמלית של המשפט עבור מטריצה מכל גודל". מעט אחר-כך גילה המילטון את המשפט עבור מטריצות בגודל 4, במהלך מחקריו על אלגברת הקווטרניונים. את המקרה הכללי הוכיח פרדיננד גאורג פרובניוס, ב- 1878.
המשפט תקף כאשר מקדמי המטריצה מגיעים מחוג קומוטטיבי כלשהו, ונובע ממנו שכל חוגי המטריצות $ \ \operatorname {M} _{n}(C) $ הם חוגי זהויות פולינומיות.
הוכחת המשפט
נסמן $ f(x)=\Sigma _{k=0}^{n}C_{k}x^{k} $. ראשית ידוע כי לכל מטריצה $ \ A $ מתקיים כי $ \qquad A\,\mathrm {adj} (A)=\mathrm {adj} (A)\,A=\det(A)\,I $, ולכן עבור $ C=xI-A $ מתקיים כי $ f(x)I=|xI-A|I=|C|I=C\mathrm {adj} (C)=(xI-A)\mathrm {adj} (C)=xI\mathrm {adj} (C)-A\mathrm {adj} (A) $ ומכיוון שאיברי המטריצה $ C $ הם פולינומים ממעלה ראשונה ולכן גם כן איברי $ \mathrm {adj} (C) $ פולינומים אכן ממעלה גדולה או שווה ל-$ n-1 $. לכן ניתן לכתוב את $ \mathrm {adj} (C) $ כפולינום על מקדמים שהם מטריצות, $ \mathrm {adj} (C)=\Sigma _{k=0}^{n}B_{k}x^{k} $. מכיוון ש-$ f(x)I=xI\mathrm {adj} (C)-A\mathrm {adj} (A) $ אז מתקיים כי $ f(x)I=\Sigma _{k=1}^{n}C_{k}Ix^{k} $ ו- $ \mathrm {adj} (C)-A\mathrm {adj} (A)=\Sigma _{k=1}^{n}B_{k-1}-AB_{k} $ ולכן על ידי השוואת מקדמים לפולינומים זהים נקבל כי $ C_{k}I=B_{k-1}-AB_{k} $ אז אם נכפול ב-A נקבל כי $ C_{k}A^{k}=A^{k}B_{k-1}-A^{k-1}B_{k} $ ולכן על ידי הצבה בפולינום המציין נקבל טור טלסקופי שמתאפס.
הוכחה עבור מטריצות לכסינות
אם מניחים שהמטריצה לכסינה, ההוכחה קלה יותר:
- הפעלת המטריצה הריבועית $ f(A) $ (המטריצה המתקבלת מהצבת המטריצה המקורית A בפולינום האופייני שלה) על כל אחד מהוקטורים העצמיים של A מחזירה את הווקטור העצמי $ v_{i} $ כפול סקלר מסוים $ \alpha _{i} $ (זה נובע מהגדרה של וקטור עצמי).
- הסקלר הזה שווה לערך הפולינום האופייני כאשר מציבים בו את הערך העצמי $ \lambda $ אליו משויך הווקטור העצמי; בכתיב מתמטי:
- $ f(A)\cdot v_{i}=A^{n}\cdot v_{i}+c_{n-1}A^{n-1}\cdot v_{i}+\cdots +c_{1}A\cdot v_{i}+c_{0}I_{n}\cdot v_{i}=\lambda ^{n}v_{i}+c_{n-1}\lambda ^{n-1}v_{i}+\cdots +c_{1}\lambda v_{i}+c_{0}v_{i}=f(\lambda )v_{i} $
- מהגדרת הפולינום האופייני נובע שכל ערך עצמי של המטריצה המקורית הוא שורש שלו; לפיכך המטריצה $ f(A) $ שולחת את כל אחד מהווקטורים העצמיים של A לאפס ($ \alpha _{i}=0 $ לכל i).
- מכיוון ש-A לכסינה, אוסף הווקטורים העצמיים שלה, $ {v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}} $, הוא בסיס למרחב עליו היא פועלת. מכיוון ששתי מטריצות הפועלות באופן זהה על כל אחד מוקטורי בסיס של מרחב ליניארי הן בהכרח זהות, מקבלים ש-$ f(A) $ שווה זהותית למטריצת האפס.
מקורות
- אלגברה א', חלק שלישי, 259-262, ש. עמיצור
- אלגברה א', חלק ראשון, 167, ש. עמיצור
- היסטוריה של מטריצות ודטרמיננטות
משפט קיילי-המילטון30769553Q656772