טרנספורמציה אפינית

תמונה של שרך פרקטלי, המציג דמיון אפיני. ניתן לקבל את כל אחד מעלי השרך מכל עלה אחר על ידי טרנספורמציה אפינית. כך, למשל, העלה האדום יכול להפוך לעלה הכחול-כהה על ידי שילוב של שיקוף, סיבוב, שינוי קנה מידה והזזה; בנוסף, הוא יכול להפוך באותה דרך גם לעלה הכחול הבהיר (הגדול).

בגאומטריה, טרנספורמציה אפינית או העתקה אפינית (מלטינית, affinis, "מחובר עם") היא פונקציה בין מרחבים אפינים אשר משמרת נקודות, קווים ישרים ומישורים. כמו כן, קבוצות של קווים מקבילים נשארים מקבילים לאחר טרנספורמציה אפינית. טרנספורמציה אפינית לא בהכרח שומרת על זוויות בין ישרים או מרחק בין נקודות אבל היא משמרת יחס מרחק בין נקודות שנמצאות על אותו ישר.

דוגמאות לטרנספורמציה אפינית כוללות: הזזה, שינוי קנה מידה, שיקוף, סיבוב, גזירה והרכבה שלהן בכל סדר שהוא.

אם X ו-Y הם מרחבים אפיניים, אז כל טרנספורמציה אפינית $f\colon X\to Y$ היא מהצורה $f(x)=Mx+b$, כאשר M היא העתקה ליניארית מ-X ל-Y, ו-b הוא וקטור ב-Y. כאשר $b\neq 0$, ההעתקה אינה משמרת את איבר האפס, וזאת בניגוד להעתקה ליניארית. מכך נובע שהעתקה אפינית היא הכללה של ההעתקה הליניארית.

כל המרחבים האוקלידיים הם אפיניים, אבל יש מרחבים אפיניים שאינם אוקלידיים. בקואורדינטות אפיניות, ובכללן קואורדינטות קרטזיות במרחבים אוקלידיים, כל קואורדינטת פלט של העתקה אפינית היא צירוף ליניארי של כל קואורדינטות הקלט וסקלר אחד. דרך נוספת להציג טרנספורמציה אפינית היא לבחור את נקודות המוצא, ואז כל העתקה אפינית שווה להעתקה ליניארית (של וקטורי המיקום במרחב) ואחריה ההזזה.

הגדרה מתמטית

העתקה אפינית $f\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ בין שני מרחבים אפיניים היא פונקציה על הנקודות שמתנהגות באופן ליניארי על הווקטורים (כלומר, וקטורים בין נקודות במרחב). למשל, $f$ מגדירה טרנספורמציה ליניארית $\varphi$, כך שעבור כל זוג של נקודות $P,Q\in {\mathcal {A}}$:

${\overrightarrow {f(P)~f(Q)}}=\varphi ({\overrightarrow {PQ}})$

או

$f(Q)-f(P)=\varphi (Q-P)$.

ניתן לתת מובן אינטואיטיבי יותר להגדרה זו אם נבחר את ראשית הצירים $O\in {\mathcal {A}}$, ו-$O'\in B$ הוא התמונה שלה, אז עבור כל וקטור ${\vec {x}}\in {\mathcal {A}}$:

$f\colon (O+{\vec {x}})\mapsto (O'+\varphi ({\vec {x}}))$.

כלומר, באופן אינטואיטיבי, $f$ מורכבת מהזזה ומהעתקה ליניארית.

הגדרה חלופית

בהינתן שני מרחבים אפיניים ${\mathcal {A}}$ ו-${\mathcal {B}}$ מעל אותו השדה, פונקציה $f\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ היא העתקה אפינית, אם ורק אם עבור כל משפחה $\{(a_{i},\lambda _{i})\}_{i\in I}$ של נקודות משוקללות ב-${\mathcal {A}}$ המקיימות

$\sum _{i\in I}\lambda _{i}=1$,

אז בהכרח

$f\left(\sum _{i\in I}\lambda _{i}a_{i}\right)=\sum _{i\in I}\lambda _{i}f(a_{i})$.

במילים אחרות, $f$ משמר מרכז כובד.

ייצוג

כאמור, טרנספורמציה אפינית היא ההרכבה של שתי פונקציות: הזזה והעתקה ליניארית. אלגברה וקטורית רגילה משתמשת בכפל מטריצות לייצג מיפוי ליניארי, והוספת וקטורים לייצוג הזזות. באופן פורמלי, במקרה בעל מספר סופי של ממדים, אם ההעתקה הליניארית מיוצגת ככפל במטריצה $A$ וההזזה מיוצגת כחיבור וקטור ${\vec {b}}$, ניתן לייצג העתקה אפינית $f$ הפועלת על וקטור ${\vec {x}}$ בצורה

${\vec {y}}=f({\vec {x}})=A{\vec {x}}+{\vec {b}}.$

מטריצה מורחבת

ניתן לבצע טרנספורמציה אפינית על מישור (דו-ממדי) כהעתקה ליניארית בשלושה ממדים. ההזזה מתבצעת על ידי הפעלת מאמץ גזירה בניצב לציר Z, והסיבוב מתבצע סביב ציר Z.

ניתן לייצג גם את ההזזה ואת המיפוי הליניארי באמצעות כפל מטריצות בודד, אם מרחיבים הן את הווקטורים והן את המטריצות: לווקטורים מוסיפים שורה אחרונה ובה המספר 1, ולכל המטריצות מוסיפים שורה של אפסים בתחתית, ועמודה נוספת (וקטור ההזזה) מימין, שבתחתיתה המספר 1. כך, למשל, אם $A$ מטריצה,

${\begin{bmatrix}{\vec {y}}\\1\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ccc|c}\,&A&&{\vec {b}}\ \\0&\ldots &0&1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}{\vec {x}}\\1\end{bmatrix}}$

שווה לפעולה

${\vec {y}}=A{\vec {x}}+{\vec {b}}.$

המטריצה המורחבת המוזכרת לעיל נקראת מטריצת טרנספורמציה אפינית.

ייצוג זה מציג את הקבוצה של כל הטרנספורמציות האפיניות ההפיכות כמו מכפלה חצי ישרה של $K^{n}$ ו-$GL(n,K)$. זו חבורה תחת פעולת ההרכבה של פונקציות, שנקראת החבורה האפינית.

כפל רגיל בין מטריצה לוקטור תמיד מעביר את הראשית לראשית, ולכן הוא אינו יכול לייצג הזזה, שכן הזזה מעבירה בהכרח את הראשית לנקודה אחרת. התוצאה של צירוף קואורדינטת "1" לכל וקטור היא שהמרחב שממפים אליו הופך להיות תת-מרחב של מרחב עם מימד נוסף. במרחב הזה, המרחב המקורי תופס תת-קבוצה שבה הקואורדינטה הנוספת היא 1. לפיכך הראשית של המרחב המקורי נמצאת ב. $(0,0,\dotsc ,0,1)$, ולכן הזזה בתוך המרחב המקורי על ידי העתקה ליניארית מממד גבוה יותר אפשרית.

היתרון בשימוש בקואורדינטות הומוגניות הוא שניתן להרכיב כל שילוב של טרנספורמציות אפיניות לטרנספורמציה אחת, על ידי הכפלה של המטריצות המתאימות. מאפיין זה משמש בהרחבה בגרפיקה ממוחשבת, בראייה ממוחשבת וברובוטיקה.

מטריצה מורחבת לדוגמה

אם הווקטורים ${\vec {x}}_{1},\dotsc ,{\vec {x}}_{n+1}$ הם הבסיס של המרחב של הטלי וקטור מקום, ואם ${\vec {y}}_{1},\dotsc ,{\vec {y}}_{n+1}$ הם הווקטורים המתאימים במרחב וקטורי נוסף אז המטריצה המורחבת $M$ שהיא הטרנספורמציה האפינית הזו:

$\left[{\begin{array}{c}{\vec {y}}\\1\end{array}}\right]=M\left[{\begin{array}{c}{\vec {x}}\\1\end{array}}\right]$

היא

$M=\left[{\begin{array}{ccc}{\vec {y}}_{1}&\ldots &{\vec {y}}_{n+1}\\1&\ldots &1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ccc}{\vec {x}}_{1}&\ldots &{\vec {x}}_{n+1}\\1&\ldots &1\end{array}}\right]^{-1}$.

הנוסחה הזו עובדת בלי להתחשב במספר הממדים של המרחב, המרחב הנוסף או התמונה. לדוגמה, טרנספורמציה אפינית של מישור וקטורי מוגדר ביחידות מהידע של המיקום של שלושה קודקודים של משולש ולאן הם ממופים.

מאפיינים

טרנספורמציה אפינית משמרת:

1. את הקשר בין נקודות על אותו קו; כלומר, שלוש נקודות (או יותר) אשר נמצאות על אותו קו ימשיכו להיות על אותו קו לאחר השינוי.
2. יחס של וקטורים לאורך קו; כלומר, עבור נקודות $p_{1},p_{2},p_{3},$ הנמצאות על אותו קו, היחס בין ${\overrightarrow {p_{1}p_{2}}}$ ובין ${\overrightarrow {p_{2}p_{3}}}$ זהה ליחס בין ${\overrightarrow {f(p_{1})f(p_{2})}}$ ובין ${\overrightarrow {f(p_{2})f(p_{3})}}$.
3. באופן כללי יותר, היא משמשת את מרכז הכובד של אוסף משוקלל של נקודות.

טרנספורמציה אפינית היא הפיכה אם ורק אם המטריצה המייצגת שלה A היא הפיכה וההמטריצה ההופכית היא

$\left[{\begin{array}{ccc|c}&A^{-1}&&-A^{-1}{\vec {b}}\ \\0&\ldots &0&1\end{array}}\right]$

הטרנספורמציות האפיניות ההפיכות (ממרחב אפיני לעצמו) הן החבורה האפינית. אם הממד של המרחב הוא n, החבורה הליניארית הכללית ממעלה n היא תת חבורה של החבורה האפינית, והחבורה האפינית עצמה היא תת-חבורה של החבורה הליניארית הכללית מממעלה n+1.

טרנספורמציות הדמיון מגדירות תת-חבורה שבה $A$ היא מטריצה אורתוגונלית המוכפלת בסקלר. לדוגמה, אם הטרנספורמציה האפינית פועלת על מישור, ואם הדטרמיננטה של $A$ היא 1 או ‎-1 אז ההעתקה משמרת שטח. העתקות אלו מגדירות תת-חבורה שנקראת החבורה האקווי-אפינית. טרנספורמציה שהיא גם אקווי-אפינית וגם טרנספורמציית דמיון היא קונגרואנציה של המישור עם מרחק אוקלידי.

לכל אחת מהחבורות שנמנו לעיל יש תת-חבורה של טרנספורמציות שמשמרות כיווניות: חבורות שבהן הדטרמיננטה של $A$ היא חיובית. עבור קונגרואציות של המרחב התלת-ממדי עם מטריקה אוקלידית, זוהי חבורת התנועות של גוף קשיח: הזזות במרחב וסיבובים.

אם קיימת נקודה קבועה במרחב, ניתן לבחור אותה כראשית הצירים, והטרנספורמציה האפינית מצטמצמת לטרנספורמציה ליניארית. בחירה כזו עשויה, כתלות בהקשר, להקל על סיווג והבנה של הטרנספורמציה. לדוגמה, תיאור של טרנספורמציה כסיבוב סביב ציר מסוים בזווית מסוימת יתן רעיון כללי טוב יותר להתנהגות הכללית של הטרנספורמציה מאשר לתאר את הטרנספורמציה כצירוף של הזזות וסיבוב.

טרנספורמציה אפינית על המישור

מרכזי התרחבות. המשולשים A1B1Z, A1C1Z, B1C1Z ממופה כדי A2B2Z, A2C2Z, B2C2Z, בהתאמה.

טרנספורמציה אפינית בשני ממדים כוללת

• הזזות
• שינוי קנה מידה בכיוון מסוים, ביחס לקו בכיוון אחר (לא בהכרח בניצב), בשילוב עם הזזה, שאינה בהכרח בכיוון שינוי קנה המידה. ניתן להכליל טרנספורמציות אלו, אם ניתן לקנה המידה להיות אפס (הקרנה) או שלילי; עבור קנה מידה שהוא בדיוק ‎-1, זהו שיקוף, ובשילוב עם הזזה, מתקבלת חבורה של שיקופי הזזה (Glide reflections),
• סיבוב בשילוב עם הזזה,
• גזירה בשילוב עם הזזה ושינוי קנה מידה, או
• סחיטה , בשילוב עם הזזה ושינוי קנה מידה.

להמחשת פעולתה של הטרנספורמציה האפינית הכללית של המישור האוקלידי, ניתן לבחור שתי מקביליות ABCD ו-A'B'C'D'. ללא תלות במיקומן של הנקודות, קיימת טרנספורמציה אפינית T של המישור, שמעבירה כל נקודה במקבילית הראשונה לנקודה המתאימה לה במקבילית השנייה. אם לא כוללים את המקרה המנוון שבו לABCD יש שטח 0, אז הטרנספורמציה האפינית T היא יחידה.

טרנספורמציות אפיניות לא משמרות אורכים או זוויות; הן מכפילות שטח בגורם קבוע, $S_{ABCD}/S_{A'B'C'D'}$.

טרנספורציה T נתונה עשוי להיות ישירה (משמרת אוריינטציה), או עקיפה (כיוון הפוך). ניתן לזהות את סוג האוריטציה, על ידי בחינת השפעתה על שטח בעל סימן (למשל, תוצאתה של מכפלה וקטורית).

דוגמאות של טרנספורמציות אפיניות

טרנספורמציות אפיניות מעל הממשיים

פונקציות $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=mx+c$ עם $m$ ו $c$ קבועים, הן טרנספורמציות אפיניות נפוצות.

טרנספורמציות אפיניות מעל שדה סופי

המשוואה הבאה מבטאת טרנספורמציה אפינית מעל GF (2⁸‎):

$\{a'\}=M\{a\}\oplus \{v\},$

כאשר $[M]$ היא מטריצה ו-$\{v\}$ הוא וקטור, והם מוגדרים כך: $M\{a\}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&1&1&1&1\\1&1&0&0&0&1&1&1\\1&1&1&0&0&0&1&1\\1&1&1&1&0&0&0&1\\1&1&1&1&1&0&0&0\\0&1&1&1&1&1&0&0\\0&0&1&1&1&1&1&0\\0&0&0&1&1&1&1&1\end{bmatrix}}$ :$\{v\}={\begin{bmatrix}1\\1\\0\\0\\0\\1\\1\\0\end{bmatrix}}.$

למשל, טרנספורמציה אפינית של אלמנט $\{a\}=y^{7}+y^{6}+y^{3}+y=\{11001010\}$ בסדר בתים בינארי מחושב כדלקמן:

$a_{0}'=a_{0}\oplus a_{4}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 1=0\oplus 0\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 1=1$

$a_{1}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 1=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 1=0$

$a_{2}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 0=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 0=1$

$a_{3}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{7}\oplus 0=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 0=1$

$a_{4}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{4}\oplus 0=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 0\oplus 0=0$

$a_{5}'=a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{4}\oplus a_{5}\oplus 1=1\oplus 0\oplus 1\oplus 0\oplus 0\oplus 1=1$

$a_{6}'=a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{4}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus 1=0\oplus 1\oplus 0\oplus 0\oplus 1\oplus 1=1$

$a_{7}'=a_{3}\oplus a_{4}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 0=1\oplus 0\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 0=1.$

לפיכך, $\{a\}=y^{7}+y^{6}+y^{5}+y^{3}+y^{2}+1=\{11101101\}=\{ED_{16}\}$.

טרנספורמציה אפינית במישור גאומטרי

טרנספורמציה אפינית פשוטה על מישור.

השפעות של מגוון טרנספורמציות אפיניות בדו מימד על ריבוע היחידה. שימו לב שמטריצות ההשתקפות הן מקרה מיוחד של מטריצות של שינוי קנה המידה

ב ℝ², השינוי שמוצג מימין מושג באמצעות ההעתקה הנתונה על ידי:

${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}0&1\\2&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-100\\-100\end{bmatrix}}$

העתקה של שלוש הנקודות במשולש המקורי (באדום) נותנת שלוש נקודות חדשות היוצרות משולש חדש (כחול). הטרנספורמציה הזו מעוותת ומזיזה את המשולש המקורי.

למעשה, ניתן לקבל כל משולש מכל משולש אחר על ידי טרנספורמציות אפיניות. זה נכון גם עבור כל המקביליות, אבל לא עבור כל המרובעים.

ראו גם

• מטריצת מעבר
• גאומטריה אפינית
• הקרנה תלת ממדית
• שטוחות (גאומטריה)
• בנט פונקציה

לקריאה נוספת

• Berger, Marcel (1987). Geometry I. Berlin: Springer. ISBN 3-540-11658-3.
• Nomizu, Katsumi; Sasaki, S. (1994), Affine Differential Geometry (New ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44177-3
• Sharpe, R. W. (1997). Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. New York: Springer. ISBN 0-387-94732-9.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא טרנספורמציה אפינית בוויקישיתוף

• טרנספורמציה אפינית, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

34185018טרנספורמציה אפינית