מישור (גאומטריה)

שני מישורים החותכים זה את זה

בגאומטריה, מישור הוא מושג יסודי, המשקף את העצם הדו־ממדי הבסיסי. ניתן לדמיין מישור כפיסת נייר אינסופית לכל הכיוונים.

חלק ניכר מן הגאומטריה, הטריגונומטריה ותורת הגרפים הוא דו־ממדי, כלומר, עוסק במישור.

המישור הוא מושג יסודי בגאומטריה האוקלידית וגם בגאומטריות אחרות. בהמשך מדובר במישור במסגרת הגאומטריה האוקלידית.

בהינתן מישור, ניתן להשליך עליו מערכת צירים קרטזית כדי להיות מסוגלים לציין כל נקודה במישור בעזרת שני ערכים – הקואורדינטות של הנקודה. ניתן לעשות דבר דומה עם קואורדינטות קוטביות, שבה כל נקודה מזוהה על־ידי שני ערכים – זוית ומרחק מהמרכז.

המישור בו עוסקת הגאומטריה נקרא המישור האוקלידי והוא מקרה פרטי של מרחב מכפלה פנימית ממשי, ונהוג לסמנו $\mathbb {R} ^{2}={\bigl \{}(x,y):x,y\in \mathbb {R} {\bigr \}}$ .

המישור האוקלידי הוא גם מרחב טופולוגי ובפרט מרחב מטרי עם המטריקה המושרית מהמכפלה הפנימית $d(x,y)={\sqrt {\langle x-y,x-y\rangle }}$ .

הצגות

הצגה אלגברית

במערכת צירים תלת־ממדית $xyz$ , אפשר להגדיר מישור כמקום הגאומטרי של כל פתרונות המשוואה

$ax+by+cz+d=0$

כאשר $a,b,c,d$ הם מספרים ממשיים ולא כל המקדמים שווים לאפס. אפשר לכתוב גם ${\vec {n}}\cdot {\vec {x}}+d=0$ , כאשר ${\vec {n}}=(a,b,c)$ (שלמעשה מהווה הנורמל של המישור), ${\vec {x}}=(x,y,z)$ .

אם ${\vec {x}}_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ היא נקודה על המישור ניתן להציגו על־ידי המשוואה ${\vec {n}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {x}}_{0})=0$ או בכתיב מפורש לפי קואורדינטות:

$S={\Big \{}(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0{\Big \}}$

במילים אחרות, המישור $S$ הוא קבוצת כל פתרונות המשוואה

$a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0$

המישור $S$ הוא תת־מרחב וקטורי אם ורק אם הוא עובר דרך הראשית (כלומר: ${\vec {0}}=(0,0,0)$ הוא פתרון של מערכת המשוואות המגדירה את המישור).

הצגה פרמטרית

בהצגה פרמטרית מגדירים מישור באמצעות נקודה על המישור וצירוף לינארי של שני וקטורים הפורשים את המישור

אפשר לתאר מישור גם באופן פרמטרי (הגדרה כזאת טובה לכל מרחב $n$־ממדי) כקבוצת כל הנקודות מהמשוואה ${\vec {x}}={\vec {u}}+t{\vec {v}}+s{\vec {w}}$ כאשר $s,t$ סקלרים ממשיים, ${\vec {u}}$ וקטור הקובע נקודה על המישור, ${\vec {v}},{\vec {w}}$ וקטורים הפורשים את המישור (בתנאי שאין סקלר $r$ המקיים $r{\vec {v}}={\vec {w}}$ , כי אחרת המשוואה תתאר ישר ולא מישור).

הצגות אלה מאפשרות לחשב בקלות תכונות של המישורים המתוארים, בדומה למצב בישרים.

לדוגמא, מרחק הנקודה $(x_{0},y_{0},z_{0})$ מן המישור $ax+by+cz+d=0$ הוא ${\frac {ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$ .

דרך נוספת להצגת מישור במרחב $n$־ממדי היא כצירוף של n-2 משוואות לינאריות.

דרכי הגדרה

בכל מרחב אוקלידי:

• דרך שלוש נקודות שאינן על ישר אחד – עובר מישור אחד ויחיד;
• דרך ישר ונקודה מחוץ לו – עובר מישור אחד ויחיד;
• דרך שני ישרים הנחתכים בנקודה או המקבילים זה לזה – עובר מישור אחד ויחיד;

נוסף לזה, במרחב האוקלידי התלת־ממדי:

• עבור כל ישר, וכל נקודה מחוץ לישר – יש מישור אחד ויחיד העובר דרך הנקודה ומאונך לישר.

במרחב תלת־ממדי, ישר שאינו מקביל למישור נתון חותך את המישור הזה בנקודה אחת. שני מישורים יכולים להיות מקבילים זה לזה או לחתוך זה את זה בישר. הזוית בין שני המישורים נקראת זווית דו-מישור.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מישור בוויקישיתוף

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0