תבנית ריבועית

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, תבנית ריבועית היא תבנית מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q(x) = b(x,x)} , כאשר $b$ היא תבנית ביליניארית; במילים אחרות, תבנית ריבועית היא פולינום בכמה משתנים שכל האיברים בו הם מדרגה 2. לדוגמה, $x^{2}+8xy-4xz+5z^{2}$ היא תבנית ריבועית אבל הפונקציה $x^{2}+yx+3x$ לא, משום שהאיבר האחרון, $3x$ הוא מדרגה 1. תבניות ריבועיות מופיעות בהקשרים אלגבריים (בחקר מהן התבניות, עד כדי איזומורפיזם), גאומטריים (איזו צורה מתארת המשוואה $x^{2}+8xy-4xz+5z^{2}=1$) ואריתמטיים (האם יש פתרונות שלמים למשוואה $x^{2}+8xy-4xz+5z^{2}=3$), והן מהוות נושא למחקר פורה.

הגדרה

יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} מרחב וקטורי מעל שדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} . תבנית ביליניארית היא פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b \colon V \times V \to F} המהווה העתקה ליניארית בכל אחד מהרכיבים שלה. הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (V,b)} נקרא מרחב ביליניארי. התבנית היא סימטרית אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b(x,y)=b(y,x)} לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x,y \in V} .

תבנית ריבועית היא פונקציה המתקבלת מההצבה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q(x) = b(x,x)} בתבנית ביליניארית $b$. תבנית כזו היא פולינום הומוגני מדרגה 2. מספר המשתנים בתבנית הוא הממד של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} , הקרוי גם הממד של התבנית. צורתה הכללית היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q(x_1,...,x_n)=\sum_{i,j}{a_{i,j}x_ix_j}} , עם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{i,j} \in F} . הזוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (V,q)} נקרא מרחב ריבועי.

אומרים ששני מרחבים ריבועיים הם איזומטריים אם קיים איזומורפיזם של מרחבים וקטוריים, המשמר את התבנית.

תבניות ריבועיות וביליניאריות

במאפיין שונה מ-2, כל תבנית ריבועית מושרית מתבנית ביליניארית סימטרית. גם ההפך נכון, כלומר כל תבנית ביליניארית סימטרית מוגדרת על ידי תבנית ריבועית, לפי הזהות הפולרית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b(x,y)=\frac{1}{2} (q(x+y)-q(x)-q(y))} . מזהות זו נובע כי התבנית הבילינארת הסימטרית המשרה את התבנית הריבועית היא יחידה. במאפיין 2 הקשר מעט יותר מסובך, והקורא שאינו מעוניין במקרה זה יכול לדלג על שאר הסעיף.

נקבע מרחב וקטורי מעל שדה ממאפיין כלשהו. נסמן ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{Bil}} את מרחב התבניות הביליניאריות. כל תבנית ביליניארית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} , לאו דווקא סימטרית, משרה כאמור תבנית ריבועית, לפי $q_{b}(x)=b(x,x)$, וכל תבנית ריבועית מתקבלת באופן כזה. תבנית ביליניארית המקיימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b(x,x) = 0} נקראת תבנית מתחלפת (alternating); את מרחב התבניות המתחלפות מסמנים ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{Alt}} . יש התאמה חד-חד-ערכית על בין מרחב התבניות הריבועיות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{Quad}} , לבין מרחב המנה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{Bil}/\mathrm{Alt}} . מאידך, כל תבנית ריבועית מגדירה תבנית ביליניארית סימטרית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b_q(x,y) = q(x+y)-q(x)-q(y)} ; זוהי העתקה מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{Quad}} אל $\mathrm {Sym}$ (מרחב התבניות הסימטריות), וההרכבה היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b_{q_b}(x,y) = b(x,y)+b(y,x)} .

במאפיין שונה מ-2, תבנית היא מתחלפת אם ורק אם היא אנטי-סימטרית; אפשר לפרק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Bil} = \operatorname{Sym} \oplus \operatorname{Alt}} , וכך מתקבלת התאמה בין תבניות ריבועיות לתבניות ביליניאריות סימטריות; .

לעומת זאת במאפיין 2, מתקיים פירוק אחר לגמרי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Sym} = \operatorname{Alt} \oplus \operatorname{Diag}} (כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{Diag}} הוא מרחב התבניות האלכסוניות), המאפשר להציג תבנית ריבועית באופן יחיד דרך תבנית ביליניארית משולשית. מכיוון שבמאפיין 2 מתקיים $b_{q_{b}}(x,x)=2b(x,x)=0$, התבנית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b_q} היא תמיד מתחלפת. הגרעין של ההתאמה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Quad} \to \operatorname{Alt}} המוגדרת לפי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q \mapsto b_q} הוא אוסף המטריצות האלכסוניות.

מטריצות והצורה האלכסונית

לאחר שקובעים למרחב הווקטורי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} בסיס $B$, כל תבנית *ביליניארית* אפשר לייצג באופן יחיד על ידי מטריצה ריבועית, לפי הנוסחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b(x,y)=[x]_B^tM[y]_B} . בחירת בסיס שונה תוביל למטריצה מייצגת חופפת. לכן, מיון תבניות ביליניאריות עד כדי איזומורפיזם, שקול למיון של מטריצות עד כדי חפיפה. התבנית סימטרית אם ורק אם המטריצה סימטרית.

במאפיין שונה מ-2 כל מטריצה סימטרית חופפת למטריצה אלכסונית, ולכן כל תבנית ריבועית אפשר להציג בצורה אלכסונית : הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q(x_1,...,x_n)=a_1x_1^2+...+a_nx_n^2} , אותה מסמנים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q=\langle a_1,...,a_n \rangle} .

מעל הממשיים, המעבר לצורה אלכסונית קובע את סימן סילבסטר של התבנית, השווה למספר המקדמים החיוביים פחות מספר המקדמים השליליים. הסימן קובע את הגאומטריה של המשטח q=0, ואת ההתנהגות של התבנית בסביבת האפס. אם כל הסימנים באלכסון שווים, התבנית חיובית לחלוטין או שלילית לחלוטין. עובדה זו מאפשרת למיין נקודות קיצון של פונקציות בכמה משתנים: סוג הנקודה נקבע על ידי התבנית הריבועית שמשרות הנגזרות השניות (מטריצת הסיאן). אם הנגזרת השנייה בנקודה קריטית היא חיובית לחלוטין, זוהי נקודת מינימום; ואם הנגזרת השנייה שלילית לחלוטין, זוהי נקודת מקסימום.

הרדיקל

תהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} תבנית ביליניארית סימטרית, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U \subseteq V} תת-מרחב. נסמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U^{\perp}=\{x \in V:b(x,u)=0, \forall u \in U\}} , זהו המרחב הניצב ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U} ביחס ל- $b$. הרדיקל של התבנית הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{rad}(V)=V^{\perp}=\{x \in V| b(x,v)=0, \forall x \in V\}} . אומרים ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} רגולרית אם יש לה רדיקל טריוויאלי - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{rad}(V)={0}} , ואז המרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (V,b)} נקרא מרחב רגולרי. תבנית ביליניארית היא רגולרית אם ורק אם המטריצה המייצגת היא הפיכה.

הרדיקל של תבנית ריבועית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} מוגדר לפי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{rad}(q) = \{x \in \operatorname{rad}(b_q) : q(x) = 0\}} . במאפיין שונה מ-2, הרדיקל של תבנית ריבועית הוא הרדיקל של התבנית הביליניארית הסימטרית המייצגת אותה. במאפיין 2 בהחלט ייתכן ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{rad}(q) \subset \operatorname{rad}(b_q)} . תבנית ריבועית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} היא רגולרית אם ורק אם הרדיקל שלה הוא אפס. במאפיין שונה מ-2, תכונה זו שקולה לכך שהמטריצה המייצגת הפיכה.

בכל מרחב ריבועי יש תת-מרחב רגולרי מקסימלי, שהוא גם איזומורפי למרחב המנה המתקבל מחילוק ברדיקל. אפיון זה מוביל לחקירה של מרחבים ריבועיים רגולריים.

איזוטרופיות ומרחב היפרבולי

יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (V,q)} מרחב ריבועי רגולרי. וקטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v \in V} נקרא איזוטרופי אם $q(v)=0$. תת-מרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U \subseteq V} נקרא מרחב איזוטרופי (לחלוטין) אם כל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u \in U} איזוטרופי. מרחב בו אין וקטור איזוטרופי נקרא אנאיזוטרופי. לדוגמה, מעל הממשיים (או כל שדה סדור אחר), התבנית $q(x_{1},...,x_{n})=x_{1}^{2}+...+x_{n}^{2}$ היא אנאיזוטרופית.

המרחב הדו-ממדי עם התבנית הריבועית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ q(x_1,x_2) = x_1x_2} נקרא המישור ההיפרבולי (במאפיין שונה מ-2, אפשר להציג אותו גם בצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q(x_1,x_2) = x_1^2-x_2^2} ). סכום ישר של עותקים של המישור ההיפרבולי נקרא מרחב היפרבולי.

הממד של תת-מרחב איזוטרופי של V הוא לכל היותר חצי הממד של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} ; במאפיין שונה מ-2, אם יש ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} תת-מרחב איזוטרופי שממדו חצי הממד של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} , אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} מרחב היפרבולי. במאפיין שונה מ-2, המישור ההיפרבולי הוא המישור האיזוטרופי הרגולרי היחיד, וכל מרחב איזוטרופי מכיל עותק (איזומורפי) של מרחב היפרבולי.

המבנה של מרחב ריבועי

כל תבנית ריבועית (מממד סופי, בכל מאפיין) אפשר לפרק באופן יחיד לסכום ישר של שלושה חלקים: המרכיב הרדיקלי שהוא תבנית האפס, מרחב היפרבולי, ומרחב אנאיזוטרופי. התבנית היא רגולרית אם ורק אם המרכיב הרדיקלי שלה טריוויאלי. פירוק זה הוא הבסיס לבנייה של חוג ויט; אינדקס ויט של התבנית הוא מחצית הממד של המרכיב ההיפרבולי.

כל תבנית ריבועית אנאיזוטרופית אפשר לפרק לסכום ישר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [a_1,b_1] \perp \cdots \perp [a_t,b_t] \perp \langle c_1,\dots,c_s\rangle} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [a,b]} מייצג את התבנית הריבועית הדו-ממדית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q(x_1,x_2) = ax_1^2+x_1x_2+bx_2^2} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle c_1,\dots,c_s\rangle} הוא החלק האלכסוני. במאפיין שונה מ-2 אפשר להניח ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t = 0} . תבנית רגולרית, הנשארת רגולרית לאחר כל הרחבת סקלרים, נקראת לא-מנוונת. במאפיין שונה מ-2 כל תבנית רגולרית אינה מנוונת; במאפיין 2, התבנית אינה מנוונת אם ורק אם אפשר להציג אותה כסכום של מרחב היפרבולי ומרחב אנאיזוטרופי שבו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s = 0} או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s = 1} .

ראו גם

• תבנית ביליניארית
• חוג ויט
• תבנית פיסטר
• תבנית קילינג, שהיא תבנית ריבועית הקשורה לאלגברת לי, ומאפשרת לקבוע האם האלגברה פשוטה למחצה.

לקריאה נוספת

• The Algebraic and Geometric Theory of Quadratic Forms, E. Elman, N. Karpenko and A. Merkurjev, AMS Coll Pub 56, 2008.
• עוזי וישנה, מבוא לתבניות ריבועיות, 2014.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא תבנית ריבועית בוויקישיתוף

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

32654103תבנית ריבועית