פולינום אופייני

באלגברה ליניארית, מתאימים לכל מטריצה ריבועית פולינום שנקרא הפולינום האופייני, והוא מקודד כמה תכונות חשובות של המטריצה.

אם $ A $ היא מטריצה ריבועית מסדר $ n $, הפולינום האופייני שלה מוגדר כפולינום $ p_{A}(\lambda )=\left|\lambda I-A\right| $, כאשר $ I $ היא מטריצת היחידה ו- $ |\cdot | $ מסמן את הדטרמיננטה. זהו פולינום מתוקן שמעלתו שווה למספר הרכיבים שבמטריצה (הסדר שלה שסומן ב-$ n $), ושורשיו הם הערכים העצמיים שלה.

כשכותבים $ p_{A}(\lambda )=\lambda ^{n}+t_{n-1}\lambda ^{n-1}+t_{n-2}\lambda ^{n-2}+\dots +t_{0} $, המקדם החופשי של הפולינום האופייני הוא $ t_{0}=(-1)^{n}|A| $, ואילו $ t_{n-1} $ שווה למינוס העקבה של $ A $. בפרט הפולינום האופייני של מטריצה 2x2 הוא מהצורה $ p_{A}(\lambda )=\lambda ^{2}-\operatorname {tr} (A)\cdot \lambda +\det(A) $. באופן כללי יותר, מקדמי הפולינום הם פונקציות סימטריות של הערכים העצמיים.

השורשים של הפולינום האופייני הם הערכים העצמיים של $ A $.

התכונה החשובה ביותר של הפולינום האופייני נתונה במשפט קיילי-המילטון, שלפיו $ A $ מאפסת את הפולינום האופייני שלה, כלומר $ p_{A}(A)=A^{n}+t_{n-1}A^{n-1}+\dots +t_{0}I=0 $. לכן הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני.

לשתי מטריצות דומות יש אותו פולינום אופייני, אם כי ההפך אינו תמיד נכון (אפילו מעל שדה סגור אלגברית).

ראו גם

• מטריצה
• פולינום
• פולינום מינימלי
• ערך עצמי
• דמיון מטריצות
• צורת ז'ורדן

קישורים חיצוניים

• פולינום אופייני, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פולינום אופייני31107402Q849705