תבנית דיפרנציאלית

באנליזה וקטורית, תבנית דיפרנציאלית (מאנגלית - Differential form), היא הכללה של פונקציה ממשית המאפשרת "לפרק" פונקציה לכיוונים בלתי תלויים שונים. כמו כן, היא מאפשרת להכליל אינטגרלים ולחשבם על סוגים שונים של יריעות במרחב האוקלידי. תבניות דיפרנציאליות הן מושג בסיסי באנליזה מתמטית, ויש להן שימושים רבים בתחומים שונים, כמו גאומטריה ופיזיקה.

הגדרה

עבור שני מספרים טבעיים $k\leq n$ , נגדיר תבנית $k$ -דיפרנציאלית במרחב ${\mathbb {R} }^{n}$ , שתחומה הוא $\Omega \subset {\mathbb {R} }^{n}$ .

נאמר שפונקציה $f:{({\mathbb {R} }^{n})}^{k}\rightarrow \mathbb {R}$ היא חילופית, אם לכל ${v}_{1},\dots ,{v}_{k}\in {\mathbb {R} }^{n}$ ולכל $1\leq i<j\leq k$ מתקיים $f({v}_{1},\dots ,{v}_{i},\dots ,{v}_{j},\dots ,{v}_{k})=-f({v}_{1},\dots ,{v}_{j},\dots ,{v}_{i},\dots ,{v}_{k})$ .

נאמר ש- $f$ היא פונקציה מולטילינארית, אם לכל ${v}_{1},\dots ,{v}_{k},w\in {\mathbb {R} }^{n};a,b\in \mathbb {R}$ ולכל $1\leq i\leq k$ מתקיים $f({v}_{1},\dots ,a{v}_{i}+bw,\dots ,{v}_{k})=af({v}_{1},\dots ,{v}_{i},\dots ,{v}_{k})+bf({v}_{1},\dots ,w,\dots ,{v}_{k})$ .

נסמן את מרחב הפונקציות ה-k מולטילינאריות ומתחלפות ב- ${\Lambda }^{k}({\mathbb {R} }^{n})$ . קבוצה זו היא מרחב וקטורי מעל הממשיים.

אם כן, תבנית k-דיפרנציאלית ב- $\mathbb {R} ^{n}$ בעלת התחום $\Omega \subset {\mathbb {R} }^{n}$ היא פונקציה $\omega :\Omega \rightarrow {\Lambda }^{k}({\mathbb {R} }^{n})$ .

מבנה כללי

ההגדרה לעיל נראית מסובכת ולא פרקטית. אך בפועל, לתבניות יש מבנה נוח למדי.

לצורך מציאת מבנה זה, נכליל את ההטלות ממשתנה אחד לכמה משתנים, באופן הבא: לכל אינדקסים $1\leq i_{1}<i_{2}<\dots <i_{k}\leq n$ נגדיר תבנית k : $\pi _{i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}}(v^{1},\dots ,v^{k})=\det {\begin{pmatrix}{{v}^{1}}_{i_{1}}&\dots &{{v}^{k}}_{i_{1}}\\\dots &\dots &\dots \\{{v}^{1}}_{i_{k}}&\dots &{{v}^{k}}_{i_{k}}\end{pmatrix}}$

(כאשר det היא הדטרמיננטה), שתקרא ההטלה לפי האינדקסים $i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}$ ב- ${\mathbb {R} }^{n}$ . נהוג גם לסמן תבנית זו על ידי ${dx}_{i_{1}}\wedge {dx}_{i_{2}}\wedge \dots \wedge {dx}_{i_{k}}$ , כאשר $\wedge$ מכונה "wedge product" (ראו "פעולות על תבניות" בהמשך).

ניתן להוכיח כי הקבוצה $\{\pi _{i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}}:1\leq i_{1}<i_{2}<\dots <i_{k}\leq n\}$ היא בסיס ל $\Lambda ^{k}({\mathbb {R} }^{n})$ , ובפרט ממדו הוא המקדם הבינומי ${\tbinom {n}{k}}$ .

אם כן, כל תבנית k ניתן לרשום מהצורה $\omega =\sum {\omega _{i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}}\pi _{i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}}=\sum {\omega _{i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}}{dx}_{i_{1}}\wedge \dots \wedge {dx}_{i_{k}}}}$ כאשר הסכום הוא על כל האינדקסים הסדורים, ו- ${\omega }_{i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}}$ פונקציות ממשיות שתחומן הוא $\Omega$ .

דוגמאות

במקרה k=n=1, תבנית -1 כללית היא מהצורה $fdx$ , כאשר f פונקציה ממשית.
תבנית-1 כללית ב ${\mathbb {R} }^{n}$ היא מהצורה $f_{1}d{x}_{1}+\dots +f_{n}d{x}_{n}$ , כאשר $f_{1},\dots ,f_{n}$ פונקציות ממשיות.
תבנית-2 כללית ב ${\mathbb {R} }^{3}$ היא מהצורה $p(x,y,z)dy\wedge dz+Q(x,y,z)dz\wedge dx+R(x,y,z)dx\wedge dy$ , כאשר P,Q,R פונקציות ממשיות.

פעולות על תבניות

סכום - אם $\omega =\sum {\omega _{i_{1},\dots ,i_{k}}{dx}_{i_{1}}\wedge \dots \wedge {dx}_{i_{k}}};\tau =\sum {\tau _{i_{1},\dots ,i_{k}}{dx}_{i_{1}}\wedge \dots \wedge {dx}_{i_{k}}}$ שתי תבניות-k, אז החיבור ביניהן מוגדר באופן הטבעי - $\omega +\tau =\sum {(\omega _{i_{1},\dots ,i_{k}}+\tau _{i_{1},\dots ,i_{k}}){dx}_{i_{1}}\wedge \dots \wedge {dx}_{i_{k}}}$ .

מכפלה - אם $\omega =\sum {\omega _{i_{1},\dots ,i_{k}}{dx}_{i_{1}}\wedge \dots \wedge {dx}_{i_{k}}}$ תבנית- $k$ ו- $\tau =\sum {\tau _{j_{1},\dots ,j_{l}}{dx}_{j_{1}}\wedge \dots \wedge {dx}_{j_{l}}}$ תבנית- $l$ , אז מכפלת התבניות היא תבנית- $k+l$ המוגדרת כך:

$\omega \wedge \tau =\sum {\omega _{i_{1},\dots ,i_{k}}\tau _{j_{1},\dots ,j_{l}}{dx}_{i_{1}}\wedge \dots \wedge {dx}_{i_{k}}}\wedge {dx}_{j_{1}}\wedge \dots \wedge {dx}_{j_{l}}$

למשל, ב- ${\mathbb {R} }^{3}$ מתקיים $(xdy+zdx)\wedge dz=xdy\wedge dz+zdx\wedge dz$ .

דיפרנציאל - פעולה זו מכלילה את הדיפרנציאל של פונקציה ממשית לתבניות דיפרנציאליות. נאמר שתבנית $\omega =\sum {\omega _{i_{1},\dots ,i_{k}}{dx}_{i_{1}}\wedge \dots \wedge {dx}_{i_{k}}}$ היא תבנית דיפרנציאבילית אם הפונקציות $\omega _{i_{1},\dots ,i_{k}}$ כולן דיפרנציאביליות. אם כך, מגדירים את הדיפרנציאל של התבנית להיות ה- $k+1$ תבנית הבאה:

$d\omega =\sum {d{\omega }_{i_{1},\dots ,i_{k}}{dx}_{i_{1}}\wedge \dots \wedge {dx}_{i_{k}}}=\sum {\sum _{t=1}^{n}{{\frac {{\partial \omega }_{i_{1},\dots ,i_{k}}}{\partial {x}_{t}}}{dx}_{t}\wedge {dx}_{i_{1}}\wedge \dots \wedge {dx}_{i_{k}}}}$ .

תבנית נקראת מדויקת, אם היא דיפרנציאל של תבנית אחרת. תבנית נקראת סגורה, אם הדיפרנציאל שלה שווה זהותית לאפס.

משיכה לאחור- בהינתן תבנית דיפרנציאלית $\omega =\sum {\omega _{i_{1},\dots ,i_{k}}{dx}_{i_{1}}\wedge \dots \wedge {dx}_{i_{k}}}$ על $U$ ופונקציה דיפרנצאבילית ברציפות $\varphi \colon U\to \mathbb {R} ^{m}$ . מגדירים את המשיכה לאחור של $\omega$ על ידי $\varphi$ להיות תבנית דיפרנציאלית חדשה $\varphi ^{*}\omega ={\displaystyle \sum {\omega _{i_{1},\dots ,i_{k}}\circ \varphi {d\varphi }_{i_{1}}\wedge \dots \wedge {d\varphi }_{i_{k}}}}$ כאשר $d\varphi _{i}=\Sigma _{j=1}^{n}{\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}dx_{j}$ .
אינטגרציה- עבור תבנית דיפרנציאלית $\omega$ מעל קבוצה פתוחה $U_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}$ , ופונקציה חלקה והפיכה $\varphi \colon U\to U_{1}$ עבור $U\subset \mathbb {R} ^{k}$ , נגדיר $\int _{\varphi (U)}\omega =\int _{U}\varphi ^{*}\omega$ , ועבור $\eta =fdx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{k}$ נגדיר $\int _{V}\eta =\int _{V}f$ .

תכונות

חילופיות החיבור - $\omega +\tau =\tau +\omega$ .
אנטי סימטריות הכפל - ${dx}_{i}\wedge {dx}_{j}=-{dx}_{j}\wedge {dx}_{i}$ ${dx}_{i}\wedge {dx}_{j}=-{dx}_{j}\wedge {dx}_{i}$ .
- לכן: ${dx}_{i}\wedge {dx}_{i}=0$ .
אם $\omega$ תבנית-k ו- $\tau$ תבנית-l, אז $\omega \wedge \tau ={(-1)}^{kl}\tau \wedge \omega$ . בפרט, אם k=l מספר אי זוגי, מתקבל ${\omega }^{2}=0$ .
אם $\omega$ תבנית-k ו- $\tau$ תבנית-l שתיהן דיפרנציאביליות, מתקיים כלל לייבניץ המוכלל לתבניות - $d(\omega \wedge \tau )=\tau d\omega +{(-1)}^{k}\omega d\tau$ .
אם $\omega$ תבנית-k גזירה ברציפות פעמיים, מתקיים $d(d(\omega ))=0$ .
כל תבנית דיפרנציאבילית מדויקת היא סגורה. ההפך נכון בתחום כוכבי, לפי למת פואנקרה.