שדה מקומי

במתמטיקה, שדה מקומי הוא שדה קומפקטי מקומית ביחס לערך מוחלט לא־טריוויאלי. לשדות מקומיים יש אריתמטיקה פשוטה במיוחד, ומכאן התפקיד המרכזי שיש להם בתורת המספרים, ובפרט באריתמטיקה של שדות גלובליים.

את משפחת השדות המקומיים אפשר למיין באופן מלא. ישנם בדיוק שני שדות מקומיים שהערך המוחלט שלהם ארכימדי – שדה המספרים הממשיים $\mathbb {R}$ ושדה המספרים המרוכבים $\mathbb {C}$ . השדות המקומיים עם ערך מוחלט לא ארכימדי שייכים (עד כדי איזומורפיזם) לשתי קבוצות:

• שדות מקומיים לא ארכימדיים בעלי מאפיין 0: הרחבות סופיות של שדה המספרים ה-p-אדיים $\mathbb {Q} _{p}$ .
• שדות מקומיים בעלי מאפיין $p>0$ : טורי לורן פורמליים $\mathbb {F} _{q}((T))$ מעל שדה סופי $\mathbb {F} _{q}$ ממאפיין p.

פעמים רבות מתייחס המונח "שדה מקומי" לשדות שהערך המוחלט שלהם לא־ארכימדי, הנקראים גם "שדות מקומיים לא־ארכימדיים".

שדות מקומיים לא־ארכימדיים

ערך מוחלט לא־ארכימדי של שדה מקומי אפשר להגדיר על ידי הערכה דיסקרטית, שהיא פונקציה $\ \nu :F^{\times }\rightarrow \mathbb {Z}$, המקיימת את האקסיומות $\ \nu (ab)=\nu (a)+\nu (b)$ ו- $\ \nu (a+b)\geq \min\{\nu (a),\nu (b)\}$. הערך המוחלט מוגדר במקרה כזה לפי הנוסחה $\ |a|=\gamma ^{\nu (a)}$, כאשר $\ 0<\gamma <1$ הוא קבוע.

בשדה מקומי בעל הערכה דיסקרטית F משתלבים כמה מושגים בסיסיים בטופולוגיה ובאלגברה:

• כדור היחידה הסגור $\,\{a\in F:\nu (a)\geq 0\}$, שהוא קבוצה קומפקטית, מהווה תת-חוג של השדה, הנקרא חוג השלמים $\,{\mathcal {O}}$. שדה השברים של $\,{\mathcal {O}}$ הוא F עצמו.
• חבורת האיברים ההפיכים בחוג השלמים $\,{\mathcal {O}}^{\times }$ שווה לספירת היחידה $\,\{a\in F:\nu (a)=0\}$.
• חוג השלמים הוא חוג מקומי, שהאידאל המקסימלי שלו $\,{\mathfrak {m}}$ שווה לכדור היחידה הפתוח $\,\{a\in F:\nu (a)>0\}$. זהו אידאל ראשי, ואם $\ \pi$ יוצר שלו, אז כל איבר שונה מאפס בשדה אפשר לכתוב, באופן יחיד, כמכפלה $\ \pi ^{n}u$ כאשר u הפיך בחוג השלמים. היוצר מקיים את התכונה $\ \nu (\pi )=1$.
• חוג המנה $\,{\bar {F}}={\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}$ הוא שדה סופי (מאחר שהוא קומפקטי ודיסקרטי), הנקרא שדה השאריות.
• כל כדור אפשר לפרק כאיחוד של $\ q=|{\bar {F}}|$ כדורים מרדיוס קטן יותר; לפיכך, השדה הוא מרחב טופולוגי לא קשיר לחלוטין.

חוג השלמים

חוג השלמים בשדה מקומי (עם הערכה) הוא תחום ראשי מקומי, והמנות שלו כולן סופיות. גם ההיפך נכון: כל חוג ראשי מקומי סופי הוא מנה של חוג שלמים בשדה מקומי מתאים.

דוגמאות

1. המספרים הp-אדים: חוג השלמים של שדה המספרים ה-p-אדיים $\,\mathbb {Q} _{p}$ הוא חוג השלמים ה-p-אדיים $\,\mathbb {Z} _{p}$. האידאל הראשוני הוא $p\mathbb {Z} _{p}$ ושדה השאריות הוא $\,\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$, שדה מסדר p.
2. השדה $\ \{\sum _{n=-N}^{\infty }a_{n}t^{n}:a_{n}\in \mathbb {F} _{q}\}$ של טורי לורן הפורמליים מעל $\ \mathbb {F} _{q}$: חוג השלמים הוא האוסף טורי החזקות הפורמליים, $\ \{\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n}:a_{n}\in \mathbb {F} _{q}\}$. האידאל המקסימלי נוצר על ידי t, ושדה השאריות שווה ל- $\ \mathbb {F} _{q}$.
3. אוסף טורי לורן הפורמלים מעל שדה המספרים הממשיים אינם מהווים שדה מקומי - שדה השאריות של שדה זה הוא שדה המספרים הממשיים, שאינו שדה סופי.

הרחבות של שדה מקומי

אם E הרחבה מממד סופי מעל שדה מקומי לא ארכימדי F, אז יש המשכה יחידה של ההערכה המוגדרת על F, להערכה $\ \nu _{E}$ המוגדרת על E (כלומר, $\ \nu _{E}(x)=\nu (x)$ לכל איבר x של F), וגם E הוא שדה מקומי. את ההרחבות הסופיות ממיינים לפי שני אינווריאנטים מספריים חשובים, הנקראים באופן מסורתי e ו- f.

• קבוצת הערכים שההערכה החדשה מקבלת כוללת, כמובן מאליו, את כל המספרים השלמים, אבל היא עשויה להיות גדולה יותר, מן הצורה $\ {\frac {1}{e}}\mathbb {Z}$, כאשר e מספר טבעי. אם e>1, ההרחבה מסועפת.
• שדה השאריות של E הוא מרחב וקטורי מעל שדה השאריות של F; מסמנים את הממד ב- f.

הפרמטר e מודד את מידת הסיעוף (ramification) של ההרחבה, בעוד ש- f מודד את השינוי בשדה השאריות. מכפלת שני הפרמטרים האלה שווה תמיד לממד ההרחבה. שני הפרמטרים e ו-f כפליים, כלומר, אם $\ F\subset E\subset K$ שדות מממד סופי, אז $\ f(K/F)=f(K/E)f(E/F)$ (לפי נוסחת המכפלה לממדים של שדות), וכן ל- e.

הרחבה שבה e=1 נקראת הרחבה לא מסועפת של F - ויש בדיוק אחת כזו מכל מימד. כולן הרחבות גלואה. את ההרחבה הלא-מסועפת המקסימלית של F (שממדה אינסופי) מסמנים ב- $\ F_{nr}$, וחבורת גלואה של $\ F_{nr}/F$ איזומורפית לחבורת גלואה האבסולוטית של שדה השאריות של F, היינו להשלמה הפרו-סופית $\ {\widehat {\mathbb {Z} }}$.

הרחבות שבהן f=1 הן הרחבות מסועפות לחלוטין, והן נוצרות על ידי סיפוח שורשים לפולינום אייזנשטיין מעל חוג השלמים.

בכל הרחבה E של F יש תת-שדה לא מסועף מקסימלי, וההרחבה של E מעליו היא מסועפת לחלוטין.

תורת שדות המחלקה

תורת שדות המחלקה (class field theory) היא אחד מאבני היסוד של תורת המספרים האלגברית. עבור שדות מקומיים אפשר לסכם את עיקריה כדלקמן. לכל הרחבת גלואה K/F של שדות מקומיים, עם חבורת גלואה G מסדר n, חבורת הקוהומולוגיה השנייה $\ H^{2}(G,K^{\times })$ (שהיא חבורת בראוור היחסית של ההרחבה) היא ציקלית מסדר n. יש העתקה כפלית בשני המרכיבים $\ H^{2}(G,K^{\times })\times G\rightarrow F^{\times }/N_{K/F}(K^{\times })$, כך שאם קובעים יוצר של החבורה במרכיב הראשון, ההעתקה היא על, והגרעין ברכיב השני הוא תת-חבורת הקומוטטורים של G. בפרט $\ F^{\times }/N(K^{\times })$ איזומורפית לאבליניזציה $\ G/G'$ של $\,G$.

ראו גם

• למת הנזל