מרחב טופולוגי

בטופולוגיה, מרחב טופולוגי הוא מושג שמאפשר להכליל מושגים כמו התכנסות, קשירות, רציפות והפרדה בין נקודות. המרחבים הטופולוגיים מהווים הכללה והפשטה של המרחבים המטריים.

הגדרה פורמלית

מרחב טופולוגי הוא קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\displaystyle X}} הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} ומשפחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau} של תת קבוצות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} המקיימת שלושה תנאים:

1. הקבוצה הריקה והקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} שייכים ל־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau} .
2. הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau} סגורה תחת איחוד: איחוד של כל אוסף קבוצות מ־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau} שייך ל־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau} .
3. חיתוך של שתי קבוצות מ־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau} שייך גם הוא ל־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau} . (אין הכרח שחיתוך מספר אינסופי של קבוצות ממשפחה זו שייך למשפחה. מתכונה זו נובע שכל חיתוך סופי של קבוצות מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau} שייך לה, ויש המגדירים מראש כך).

הקבוצות השייכות ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau} ייקראו קבוצות פתוחות. הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau} נקראת הטופולוגיה על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} . קבוצה שמשלימתה פתוחה תיקרא קבוצה סגורה. איברי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} יקראו "נקודות".

פורמלית, ניתן להסתפק בתנאי השני והשלישי בלבד להגדרת הטופולוגיה. אלו גוררים את התנאי הראשון מכיוון שהטופולוגיה סגורה לאיחוד ריק (הקבוצה הריקה) וחיתוך ריק (המרחב כולו).

הערות

כאמור, כל מרחב מטרי הוא גם מרחב טופולוגי, מאחר שהקבוצות הפתוחות המושרות על ידי המטריקה במרחב המטרי מקיימות את התנאים המובאים בהגדרת טופולוגיה.

אוסף של קבוצות פתוחות, כך שכל קבוצה פתוחה במרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} יכולה להיכתב כאיחוד של קבוצות השייכות לאוסף ייקרא "בסיס". לעיתים נוח יותר לתאר מרחב טופולוגי באמצעות בסיס שלו. למשל, כל הכדורים הפתוחים במרחב מטרי מהווים בסיס לטופולוגיה שלו. יש להעיר שלא כל קבוצת קבוצות חלקיות למרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} מהווה בסיס לטופולוגיה כלשהי.

אוסף של קבוצות מ־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau} כך שהקבוצה של כל החיתוכים הסופיים של קבוצות מהאוסף מהווה בסיס למרחב נתון, ייקרא "תת בסיס" למרחב. תת-בסיס הוא קבוצה מצומצמת אף מבסיס, אך כמו הבסיס יכול לספק ייצוג נוח יותר לטופולוגיה נתונה. על אף שלא כל משפחת קבוצות מהווה בסיס לטופולוגיה, כל משפחה כזו מהווה תת-בסיס לטופולוגיה כלשהי.

ממרחבים טופולוגיים קיימים ניתן לבנות מרחבים חדשים על ידי מכפלה ומנה.

דוגמאות

מרחב טריוויאלי

לכל מרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} ניתן להגדיר טופולוגיה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau =\{X, \varnothing\}} .

קל לראות שקבוצה זו מקיימת את כל התכונות הנדרשות מטופולוגיה.

ניתן להבחין שלכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} בן יותר מנקודה אחת, מרחב זה אינו מטריזבילי. (למשל, כיוון שאינו מרחב האוסדורף)

מרחב דיסקרטי

טופולוגיה נוספת אשר ניתן להגדיר על כל מרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} היא הטופולוגיה הדיסקרטית - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (X,\mathcal{P}(X))} . כלומר, טופולוגיה בה כל תת-קבוצה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} היא קבוצה פתוחה.

גם במקרה זה, ניתן לראות ללא קושי רב שמדובר במרחב טופולוגי.

בשונה מהמרחב הטריוויאלי, מרחב זה לעולם מטריזבילי. (כיוון שהוא מתקבל על ידי המטריקה הדיסקרטית - מטריקה עבורה לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\ne y} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d(x,y)=c} ).

הטופולוגיה הקו־סופית

דוגמה מעט יותר מורכבת לטופולוגיה היא הטופולוגיה הקו-סופית מעל מרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} כלשהו. בטופולוגיה זו, הקבוצות הפתוחות הן אלה שהמשלים שלהן סופי, והקבוצה הריקה. (ההוכחה לכך שמדובר במרחב טופולוגי נעשית תוך שימוש בכללי דה מורגן). בניסוח מתמטי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau_{\text{co-finite}} = \{A \subseteq X \mid |A^c| < \infty\} \cup \{\emptyset\}} .

עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} אינסופי, טופולוגיה זו עשירה מהטופולוגיה הטריוויאלית וענייה ממש מהטופולוגיה הדיסקרטית. (טופולוגיה אחת נקראת עשירה מאחרת אם כל הקבוצות הפתוחות לפי השנייה פתוחות גם לפי הראשונה). במרחב אינסופי, הטופולוגיה הקו-סופית אינה האוסדורף.

קישורים חיצוניים

• מרחב טופולוגי, באתר MathWorld (באנגלית)
• מרחב טופולוגי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מרחב טופולוגי32665555Q179899