הרכבת פונקציות

$\ (g\circ f)(x)$ , **הרכבה** של $\ g$ על $\ f$

במתמטיקה, ההרכבה של פונקציות היא פונקציה המתקבלת מהפעלת פונקציות בזו אחר זו.

ובאופן פורמלי: אם $f$ פונקציה מ- $X$ ל- $Y$ ו- $g$ פונקציה מ- $Y$ ל- $Z$ , אז ההרכבה $g\circ f$ (בסדר זה, קרי: $g$ מורכבת על $f$ ) היא הפונקציה מ- $X$ ל- $Z$ המוגדרת לפי $\ (g\circ f)(x)=g(f(x))$ . ההרכבה מוגדרת בתנאי שהתמונה של הפונקציה הראשונה ( $f$ ) מוכלת בתחום של הפונקציה השנייה ( $g$ ).

תכונות

התכונה החשובה ביותר של הרכבת פונקציות היא האסוציאטיביות של הפעולה: אם אפשר להרכיב את $h$ על $g$ ואת $g$ על $f$ , אז $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ . בזכות תכונה זו, והעובדה שלמערכות של פונקציות יש תפקיד מרכזי כל-כך במתמטיקה, מרבית הפעולות במבנים אלגבריים, ובראשם החבורות, הם אסוציאטיביים. לדוגמה, אוסף כל הפונקציות מקבוצה $X$ לעצמה הוא מונויד. פונקציה $f\colon X\to Y$ שהיא פונקציה חד-חד-ערכית ועל היא הפיכה: קיימת $g\colon Y\to X$ כך ש- $g\circ f=\operatorname {id} _{X}$ וגם $f\circ g=\operatorname {id} _{Y}$ (דהיינו, ההרכבה $g\circ f$ היא פונקציית הזהות על $X$ , ובנוסף ההרכבה $f\circ g$ היא פונקציית הזהות על $Y$ ). למעשה, אם קיימת פונקציה $g$ שכזו היא יחידה, ולכן מכונה "הפונקציה ההופכית של $f$ " ולרוב מסומנת ב- $f^{-1}$ .

הרכבה של פונקציות ממשיות

הרוב המכריע של הפונקציות המופיעות בחישובים מדעיים מתקבלות כהרכבות של פונקציות יסודיות; הרכבות כאלה נקראות פונקציות אלמנטריות. למשל, הפונקציה $\ f(x)=e^{\sin(x^{2})}$ היא ההרכבה $f={\mathord {\exp }}\circ {\mathord {\sin }}\circ s$ כאשר $s(x)=x^{2}$ ו- $\exp(x)=e^{x}$ .

ניתן לדון גם בגבול של הרכבת פונקציות ממשיות: אם $f$ ו- $g$ פונקציות שעבורן $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=y_{0}$ וכן גם קיים הגבול $\lim _{y\rightarrow y_{0}}g(y)=L$ (עבור $x_{0},y_{0}$ כלשהם), אז הגבול של הרכבת הפונקציות $g\circ f$ כאשר $x\to x_{0}$ קיים ושווה ל- $\lim _{x\rightarrow x_{0}}(g\circ f)(x)=\lim _{y\rightarrow y_{0}}g(y)=L$ . אם מתקיים לפחות אחד משני התנאים הבאים, אז גם $g\left(\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)\right)=L$ מתקיים: $g$ רציפה ב- $y_{0}$ (כלומר $L=g(y_{0})$ ) או שקיימת סביבה מנוקבת של $x_{0}$ שבה $f(x)\neq y_{0}$ . שני תנאים אלו מספיקים אך לא הכרחיים.