מאפיין (אלגברה)
המאפיין (או המציין) של שדה הוא המספר הטבעי הקטן ביותר השווה לאפס בשדה. ביתר פירוט, המספרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1, ...} הם איברים של השדה, ויש שתי אפשרויות: או שכולם שונים זה מזה, ואז אומרים שהשדה בעל מאפיין אפס, או שלא, ואז המאפיין הוא המספר הקטן ביותר של 1-ים שיש לחבר כדי לקבל 0. במקרה זה המאפיין הוא מספר ראשוני (משום שאין מחלקי אפס בשדה).
דוגמאות
שדה המספרים הרציונליים וכל ההרחבות שלו, כמו המספרים הממשיים והמספרים המרוכבים הם בעלי מאפיין אפס. שדה סופי אינו יכול להיות בעל מאפיין אפס.
בשדה ממאפיין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 0<p} מתקיים השוויון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (a+b)^p = a^p + b^p} , כלומר שהעלאה בחזקת p היא איזומורפיזם מהשדה אל עצמו. הומומורפיזם זה הוא תמיד חד-חד-ערכי, ומגדיר שיכון של השדה לתוך עצמו (שהוא על אם השדה סופי, ראו הומומורפיזם פרובניוס).
הכללות
אפשר להגדיר מאפיין של חוג עם יחידה R באותה דרך בה מגדירים מאפיין של שדה. ההעתקה מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n} לסכום של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n} פעמים 1, מהווה הומומורפיזם מחוג השלמים ל- R, שהגרעין שלו הוא האידיאל הנוצר על ידי המאפיין. לדוגמה, לכל מערכות המספרים יש מאפיין אפס.
המאפיין של תחום שלמות הוא תמיד אפס או מספר ראשוני, אבל לכל מספר טבעי n קיים חוג בעל מאפיין n: חוג המנה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} .
אפשר להגדיר מאפיין גם עבור חוג בלי יחידה: המאפיין של R הוא המספר המינימלי n כך שסכום n פעמים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a+a+a+...+a} שווה לאפס עבור כל איבר בחוג. המאפיין שווה לאקספוננט של החוג כחבורה קומוטטיבית.
ראו גם
במקרים רבים מפתחים תאוריות מתמטיות תוך כדי הנחות על המאפיין של השדה. למשל, בגאומטריה אלגברית ובתחומים רבים באנליזה מקובל לעבוד מעל שדה סגור אלגברית ממאפיין אפס. התאוריה של תבניות ריבועיות מסתבכת מעט במאפיין 2. בתורת גלואה הרחבות של שדות ממאפיין אפס הן תמיד ספרביליות, בעוד שהרחבות של שדות ממאפיין חיובי אינן בהכרח כאלה (ראו הרחבות ציקליות של שדות).
שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה
שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ] מאפיין (אלגברה)22312283