צורה רציונלית

באלגברה לינארית, צורה רציונלית קנונית של מטריצה נתונה היא מטריצת בלוקים מסוימת הדומה לה. לכל מטריצה המוגדרת מעל שדה F קיימת צורה רציונלית קנונית יחידה מעל אותו שדה. הצורה הרציונלית מציגה באופן בולט את הפירוק לגורמים של הפולינום האופייני של המטריצה ואת היחס בינו לבין פעולת המטריצה על תתי מרחבים מסוימים הקשורים אליו.

בניגוד לצורת ז'ורדן, המוגדרת רק כאשר הפולינום האופייני מתפצל לגורמים לינאריים, הצורה הרציונלית מוגדרת מעל כל שדה. אם מרחיבים את השדה, עשויים להווסף לפולינום האופייני גורמים חדשים, ואז הצורה משתנה. כאשר צורת ז'ורדן של המטריצה מוגדרת, היא צמודה לצורה הרציונלית.

מטרה

אחד הרעיונות הבסיסיים באלגברה לינארית הוא הקשר בין מטריצות והעתקות לינאריות. מחד, כל העתקה ממרחב וקטורי (בעל ממד סופי) אפשר לייצג על ידי מטריצה ריבועית, לאחר שבוחרים בסיס למרחב. מאידך, כל המטריצות המייצגות את אותה העתקה עבור בסיס שונה דומות זו לזו.

כדי להקל על חישובים (מעשיים ותאורטיים) הקשורים בהעתקה לינארית המיוצגת על ידי המטריצה A, חשוב למצוא מטריצה דומה לה שתהיה נוחה יותר לטיפול. מטריצות בלוקים הן דוגמה טובה למטריצות כאלה. באופן טבעי מחפשים את מטריצת הבלוקים המוצלחת ביותר.

בעיה שכיחה אחרת היא ההכרעה האם שתי מטריצות נתונות מייצגות את אותה העתקה. לשם כך נדרש נציג "קנוני", יחיד, בכל מחלקת דמיון של מטריצות: אם שתי המטריצות דומות לאותו נציג, אז הן דומות; ואחרת, לא.

התאוריה של צורות רציונליות

נתונה מטריצה ריבועית A, בגודל n, מעל שדה F. אפשר ללמוד את המטריצה דרך המודול המשויך לה: זהו מודול מעל חוג הפולינומים במשתנה אחד $\ F[\lambda ]$, שיש לו מבנה של המרחב הווקטורי $\ F^{n}$, ובנוסף $\ \lambda \cdot v=Av$. מטריצת היחסים של המודול היא המטריצה $\ \lambda I-A$, ולכן אפשר ללמוד את המודול על ידי פעולות הפיכות על שורות ועמודות במטריצה זו.

אפשר להוכיח שכל מטריצה ריבועית מעל תחום ראשי (וחוג הפולינומים הוא כזה) אפשר להביא (על ידי פעולות הפיכות כאמור) לצורה קנונית, שהיא מטריצה אלכסונית, בה מחלק כל איבר של האלכסון את האיבר שבא אחריו. עובדה זו שקולה למשפט המרכזי של תורת המבנה של מודולים מעל תחומים ראשיים, שלפיו כל מודול נוצר סופית מעל חוג כזה הוא סכום ישר של מודולים ציקליים.

אברי האלכסון בצורה הקנונית של $\ \lambda I-A$ נקראים 'הגורמים האינווריאנטיים' של A, והצורה הרציונלית הקנונית של A היא מטריצת הבלוקים האלכסונית, שהבלוקים באלכסון הראשי שלה הם מטריצות מלוות של הגורמים האינוואריאנטים. יצויין שהגורם האינווריאנטי האחרון שווה לפולינום המינימלי של A, ומכפלת כל הגורמים היא הפולינום האופייני.