פירוק ז'ורדן (אלגברת לי)

באלגברה מופשטת, פירוק ז'ורדן של איבר של תת-אלגברת לי של אלגברת אנדומורפיזמים, הוא הצגת האיבר כסכום של איבר פשוט למחצה (או לכסין), ואיבר נילפוטנט. לפירוק זה חשיבות בתחום, והוא משמש ככלי להוכחת טענות אחרות, כמו קריטריון קרטן.

הגדרה פורמלית

תהי $L$ תת-אלגברת לי פתירה של אלגברת האנדומורפיזמים $GL(V)$ עבור מרחב וקטורי $V$ מממד סופי, מעל שדה סגור אלגברית.

איבר $x$ של $L$ הוא נילפוטנט אם חזקה מסוימת שלו היא אפס. $x$ היא פשוט למחצה אם הפולינום המינימלי שלה מתפרק לגורמים שונים, או בשקילות (מעל שדה סגור אלגברית) היא לכסינה.

המשפט קובע כי לכל איבר $x\in L$:

1. יש הצגה כסכום $x={x}_{s}+{x}_{n}$, כאשר ${x}_{s}$ פשוט למחצה, ${x}_{n}$ נילפוטנט, ומתקיים $[{x}_{s},{x}_{n}]=0$ (כלומר, הם מתחלפים). יותר מכך, הצגה זו יחידה.

2. בהצגה הנ"ל, את האיברים ${x}_{s},{x}_{n}$ ניתן להציג כפולינום ללא ערך חופשי במשתנה $x$.

3. האיברים ${x}_{s},{x}_{n}$ משמרים הכלות של $x$, כלומר אם $A\subseteq B\subseteq V$ ומתקיים $x(B)\subseteq A$, אז גם ${x}_{s}(B)\subseteq A$ ,${x}_{n}(B)\subseteq A$.

טענות נוספות

להלן תכונות נוספות של פירוק ז'ורדן, הקשורות גם למושגים אחרים בתאוריה של אלגברות לי.

• אם $x={x}_{s}+{x}_{n}$ היא צורת הז'ורדן של $x$, אז $\operatorname {ad} x=\operatorname {ad} {x}_{s}+\operatorname {ad} {x}_{n}$ היא צורת הז'ורדן של הייצוג הצמוד שלו.

• אם $L$ היא כל מרחב וקטורי עם אופרטור ביליניארי, אז לכל $\delta \in \operatorname {DerL}$ (קבוצת הנגזרות) עם פירוק ז'ורדן $\delta ={\delta }_{s}+{\delta }_{n}$, מתקיים גם ${\delta }_{s},{\delta }_{n}\in \operatorname {DerL}$.

פירוק ז'ורדן המופשט

אם בנוסף להנחות הנ"ל, $L$ היא גם אלגברת לי פשוטה למחצה, אז הנגזרות שלה מתלכדות עם ההצגה הצמודה שלה, כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Der}(L)=\operatorname{ad}(L)} . במקרה זה, יש איזומורפיזם בין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{ad}(L)} . כעת, לכל איבר ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{ad}(L)} יש פירוק ז'ורדן, ולפי הטענה לעיל חלקיו נשארים בתוך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Der}(L)} , שהיא בדיוק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{ad}(L)} . כלומר, לכל איבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ב-$L$ קיימים איברים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s} ,הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} , כך ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=s+n} (הם התמונות ההופכות של צורת ז'ורדן של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{ad}x} ). צורת זו נקראת צורת ז'ורדן המופשטת של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} , ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s} ,$n$ נקראים בהתאמה החלקים הנילפוטנטי והפשוט למחצה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} . חשוב גם לציין כי במקרה ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} היא מלכתחילה תת-אלגברה של אלגברת אנדומורפיזמים, אין סתירה בסימונים וביחידות הצורה.

לקריאה נוספת

• Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, James Humphreys, 17-19,24

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

26894907פירוק ז'ורדן (אלגברת לי)