דמיון מטריצות

דמיון הוא יחס שקילות בין מטריצות ריבועיות מאותו גודל, המוגדר באופן כזה ששתי מטריצות דומות זו לזו אם הן מייצגות את אותה טרנספורמציה לינארית, בבסיסים שונים.

המונח 'דמיון' בהקשר זה אינו מוצלח, משום שמדובר במקרה פרטי של יחס הצמידות מתורת החבורות, אלא שהמונח השתרש ללא תקנה. גם באנגלית מקובל לקרוא למטריצות דומות similar matrices, בעוד שצמידות היא conjugacy.

הגדרה

מטריצות ריבועיות $\ A,B$ בגודל $\ n\times n$ הן דומות אם קיימת מטריצה ריבועית הפיכה $\ P$, כך ש-$\ A=P^{-1}BP$.

יחס הדמיון הוא יחס שקילות, משום שהוא רפלקסיבי (כל מטריצה דומה לעצמה: קח $\ P=I$, מטריצת היחידה), סימטרי (אם $\ A=P^{-1}BP$ אז $\ B=PAP^{-1}$) וטרנזיטיבי (אם $\ A=P^{-1}BP$ וגם $\ B=Q^{-1}CQ$ אז $\ A=P^{-1}(Q^{-1}CQ)P=(QP)^{-1}C(QP)$, כך ש-$\ A$ דומה ל-$\ C$).

מטריצות והעתקות לינאריות

כל העתקה לינארית ממרחב וקטורי $\,V$ (בעל ממד סופי) אל עצמו, אפשר לייצג במטריצה ריבועית. הייצוג תלוי בבחירת בסיס למרחב, וכשמייצגים את אותה העתקה בשני בסיסים, מתקבלות מטריצות דומות. מטריצות דומות אינן אלא הצגות שונות לאותו אובייקט. זוהי הסיבה לחשיבות של בעיית המיון של מטריצות למחלקות דמיון, כלומר, מציאת דרך לקבוע מתי שתי מטריצות נתונות דומות זו לזו.

מאפיינים ומיון למחלקות

למטריצות דומות יש אותו פולינום אופייני (ולכן גם אותם דטרמיננטה, עקבה וערכים עצמיים), אותו פולינום מינימלי, ואותה דרגה. בדרך כלל תכונות אלו אינן מספיקות כדי להבטיח דמיון: אם לשתי מטריצות בגודל $\ 2\times 2$ או $\ 3\times 3$ יש אותם פולינום אופייני ופולינום מינימלי, אז הן דומות, אבל למטריצות גדולות יותר טענה זו אינה נכונה.

מטריצות הן דומות אם ורק אם יש להן אותה צורה רציונלית. כאשר הפולינום האופייני מתפרק לגורמים לינאריים (וזה תמיד כך מעל שדה סגור אלגברית), מטריצות הן דומות אם ורק אם יש להן אותה צורת ז'ורדן.

דמיון למטריצות מיוחדות

מטריצה הדומה למטריצה אלכסונית (מטריצה שכל איבריה שמחוץ לאלכסון הראשי שווים לאפס) נקראת "מטריצה לכסינה" (או: "מטריצה ניתנת ללכסון"). תנאי הכרחי ומספיק לכך הוא שכל הערכים העצמיים של המטריצה נמצאים בשדה המדובר, ושהריבוי הגאומטרי של כל אחד מהם שווה לריבויו האלגברי. בפרט, זה קורה כאשר למטריצה בגודל $\ n\times n$ ישנם n ערכים עצמיים שונים.

אחד המשפטים החשובים באלגברה לינארית קובע שמעל שדה סגור אלגברית, כל מטריצה דומה למטריצת ז'ורדן אחת ויחידה (עד כדי סדר הבלוקים).

התלות בשדה הבסיס

א-פריורי, השאלה אילו מטריצות דומות זו לזו תלויה גם בשדה שמעליו הן מוגדרות. לכאורה, היה צריך לומר ששתי מטריצות $\ A$ ו- $\ B$ בעלות רכיבים בשדה $\ \mathbb {F}$ הן 'דומות מעל $\ \mathbb {F}$', אם קיימת מטריצה $\ P$ הפיכה, בעלת מקדמים באותו שדה, המקיימת את התנאי $\ A=P^{-1}BP$. נראה כאילו זה אפשרי שמטריצות תהיינה דומות מעל הרחבה של $\ \mathbb {F}$ (המאפשרת יותר חופש בבחירת $\ P$), גם אם אינן דומות מעל $\ \mathbb {F}$. אלא שבפועל המצב פשוט יותר: אם שתי מטריצות המוגדרות מעל $\ \mathbb {F}$ דומות מעל איזשהו שדה (גדול ככל שיהיה), אז הן דומות כבר מעל $\ \mathbb {F}$. ההוכחה לעובדה זו דורשת את התאוריה של צורות רציונליות של מטריצות.

ראו גם

• אלגברה לינארית
• מטריצה
• טרנספורמציה לינארית
• ערך עצמי