דמיון מטריצות

דמיון הוא יחס שקילות בין מטריצות ריבועיות מאותו גודל, המוגדר באופן כזה ששתי מטריצות דומות זו לזו אם הן מייצגות את אותה טרנספורמציה לינארית, בבסיסים שונים.

המונח 'דמיון' בהקשר זה אינו מוצלח, משום שמדובר במקרה פרטי של יחס הצמידות מתורת החבורות, אלא שהמונח השתרש ללא תקנה. גם באנגלית מקובל לקרוא למטריצות דומות similar matrices, בעוד שצמידות היא conjugacy.

הגדרה

מטריצות ריבועיות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A, B} בגודל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n \times n} הן דומות אם קיימת מטריצה ריבועית הפיכה $\ P$, כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A = P^{-1}BP} .

יחס הדמיון הוא יחס שקילות, משום שהוא רפלקסיבי (כל מטריצה דומה לעצמה: קח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P=I} , מטריצת היחידה), סימטרי (אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A = P^{-1}BP} אז $\ B=PAP^{-1}$) וטרנזיטיבי (אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A = P^{-1}BP} וגם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ B = Q^{-1}CQ} אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A = P^{-1}(Q^{-1}CQ)P = (QP)^{-1}C(QP) } , כך ש-$\ A$ דומה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ C} ).

מטריצות והעתקות לינאריות

כל העתקה לינארית ממרחב וקטורי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,V} (בעל ממד סופי) אל עצמו, אפשר לייצג במטריצה ריבועית. הייצוג תלוי בבחירת בסיס למרחב, וכשמייצגים את אותה העתקה בשני בסיסים, מתקבלות מטריצות דומות. מטריצות דומות אינן אלא הצגות שונות לאותו אובייקט. זוהי הסיבה לחשיבות של בעיית המיון של מטריצות למחלקות דמיון, כלומר, מציאת דרך לקבוע מתי שתי מטריצות נתונות דומות זו לזו.

מאפיינים ומיון למחלקות

למטריצות דומות יש אותו פולינום אופייני (ולכן גם אותם דטרמיננטה, עקבה וערכים עצמיים), אותו פולינום מינימלי, ואותה דרגה. בדרך כלל תכונות אלו אינן מספיקות כדי להבטיח דמיון: אם לשתי מטריצות בגודל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2\times 2} או $\ 3\times 3$ יש אותם פולינום אופייני ופולינום מינימלי, אז הן דומות, אבל למטריצות גדולות יותר טענה זו אינה נכונה.

מטריצות הן דומות אם ורק אם יש להן אותה צורה רציונלית. כאשר הפולינום האופייני מתפרק לגורמים לינאריים (וזה תמיד כך מעל שדה סגור אלגברית), מטריצות הן דומות אם ורק אם יש להן אותה צורת ז'ורדן.

דמיון למטריצות מיוחדות

מטריצה הדומה למטריצה אלכסונית (מטריצה שכל איבריה שמחוץ לאלכסון הראשי שווים לאפס) נקראת "מטריצה לכסינה" (או: "מטריצה ניתנת ללכסון"). תנאי הכרחי ומספיק לכך הוא שכל הערכים העצמיים של המטריצה נמצאים בשדה המדובר, ושהריבוי הגאומטרי של כל אחד מהם שווה לריבויו האלגברי. בפרט, זה קורה כאשר למטריצה בגודל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n\times n} ישנם n ערכים עצמיים שונים.

אחד המשפטים החשובים באלגברה לינארית קובע שמעל שדה סגור אלגברית, כל מטריצה דומה למטריצת ז'ורדן אחת ויחידה (עד כדי סדר הבלוקים).

התלות בשדה הבסיס

א-פריורי, השאלה אילו מטריצות דומות זו לזו תלויה גם בשדה שמעליו הן מוגדרות. לכאורה, היה צריך לומר ששתי מטריצות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A} ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ B} בעלות רכיבים בשדה $\ \mathbb {F}$ הן 'דומות מעל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb F} ', אם קיימת מטריצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P} הפיכה, בעלת מקדמים באותו שדה, המקיימת את התנאי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A = P^{-1}BP} . נראה כאילו זה אפשרי שמטריצות תהיינה דומות מעל הרחבה של $\ \mathbb {F}$ (המאפשרת יותר חופש בבחירת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P} ), גם אם אינן דומות מעל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb F} . אלא שבפועל המצב פשוט יותר: אם שתי מטריצות המוגדרות מעל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb F} דומות מעל איזשהו שדה (גדול ככל שיהיה), אז הן דומות כבר מעל $\ \mathbb {F}$. ההוכחה לעובדה זו דורשת את התאוריה של צורות רציונליות של מטריצות.

ראו גם

• אלגברה לינארית
• מטריצה
• טרנספורמציה לינארית
• ערך עצמי