משפט ההתמדה של סילבסטר

באלגברה לינארית, משפט ההתמדה של סילבסטר קובע שסימנם של המקדמים בתבנית ריבועית אלכסונית מעל הממשיים אינו תלוי בבסיס שבו היא מתוארת. מבחינה גאומטרית, המשפט מתבטא בכך שהטיפוס של צורה המוגדרת על ידי תבנית ריבועית (כגון: אליפסה, פרבולה או היפרבולה) אינו משתנה כשמסובבים, מותחים או משקפים את המרחב שבו היא מוגדרת.

מבוא

אחד השימושים הנאים של תורת המטריצות הוא לתיאור ולטיפול בתבניות ריבועיות, שהן פונקציות כדוגמת $\ f(x,y,z)=4x^{2}-5y^{2}+z^{2}+8xy-2xz$. (נניח מעתה שהמאפיין של שדה הבסיס שונה מ-2). פונקציות כאלה אפשר לייצג על ידי מטריצה בצורה $\ f(v)=v^{tr}Av$ כאשר A היא מטריצה סימטרית, והוקטור הוא $\ v=(x,y,z)$. בייצוג כזה, החלפה לינארית של המשתנים שקולה להחלפת המטריצה A במטריצה $\ P^{tr}AP$ כאשר P מטריצה הפיכה.

כל מטריצה מן הצורה $\ P^{tr}AP$ (כאשר P הפיכה) "חופפת" למטריצה A, והגדרה זו קובעת יחס שקילות בין מטריצות, הנקרא יחס החפיפה. לדוגמה, סידור מחדש של השורות ושל העמודות של A (באותו אופן) מהווה חפיפה, המתארת החלפת משתנים. אפשר לסכם ולומר שמטריצות המצויות באותה מחלקת חפיפה מייצגות, עקרונית, את אותה תבנית ריבועית.

אפשר להוכיח שכל מטריצה סימטרית חופפת למטריצה אלכסונית; באופן דומה, אפשר להביא כל תבנית ריבועית לצורה אלכסונית, ללא גורמים מהצורה $\ xy$, שאותה קל יותר לנתח. לדוגמה, הצבת המשתנים $\ x'=x+y-z/4,y'=y-z/9,z'=z$ מביאה את התבנית f לצורה $\ f(x',y',z')=4(x')^{2}-9(y')^{2}+{\frac {31}{36}}(z')^{2}$.

כאשר נתונה תבנית אלכסונית, אפשר לבצע בה החלפת משתנים של מתיחה וכיווץ, כלומר, מן הצורה $\ x\mapsto cx$. החלפה כזו מכפילה את המקדם של $\ x^{2}$ בתבנית בסקלר $\ c^{2}$.

כאשר מדובר בתבנית שמקדמיה הם מספרים ממשיים, כל מספר שקול, עד כדי ריבוע, לאחד מבין המספרים $\ +1,-1,0$, ולכן אפשר להביא את התבנית לצורה שקולה, שאלו מקדמיה. לדוגמה, את התבנית f אפשר להעביר לצורה $\ f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}$. באופן דומה, כל תבנית ריבועית ממשית (בת n משתנים) שקולה לתבנית אלכסונית מן הצורה $\ x_{1}^{2}+\dots +x_{k}^{2}-x_{k+1}^{2}-\dots -x_{k+s}^{2}$.

משפט יעקובי מספק שיטה חישובית למציאת הצורה האלכסונית, שממנה אפשר להסיק גם על המבנה והתכונות של מטריצות חיוביות ומטריצות בעלות תכונות קרובות.

משפט סילבסטר

הצגנו הצבה המביאה את התבנית f לצורה אלכסונית שבה הסימנים הם $\ +,+,-$. לכאורה, ייתכן שהצבה אחרת תביא את אותה תבנית לצורה אלכסונית אחרת, שבה המקדמים הם $\ +,-,-$. משפט סילבסטר מבטיח שהדבר בלתי אפשרי.

משפט סילבסטר: אם f היא תבנית ריבועית ב- n משתנים מעל הממשיים, אז היא שקולה לתבנית אלכסונית אחת ויחידה מן הצורה $\ x_{1}^{2}+\dots +x_{k}^{2}-x_{k+1}^{2}-\dots -x_{k+s}^{2}$. במלים אחרות, כל מטריצה סימטרית ממשית חופפת למטריצה אלכסונית אחת ויחידה שבה אברי האלכסון הם 0, 1 או 1- (עד-כדי סדר).

המספר k+s נקרא "דרגת התבנית", והמספר k-s הוא "סימן סילבסטר של התבנית" (או של המטריצה המייצגת שלה).

שימושים בגאומטריה

חתכי חרוט, גופי הסיבוב שלהם, והכללות מממד גבוה, מתוארים כולם על ידי תבניות ריבועיות ומשוואות מן הצורה $\ f(x,y,z)=1$. משפט סילבסטר מראה שאפשר במקרה כזה להביא את התבנית הריבועית לצורה אלכסונית ולמיין את התבניות על-פי מספר הסימנים החיוביים והשליליים. לדוגמה: במרחב התלת-ממדי, כל משוואה הומוגנית מן הצורה הנזכרת לעיל אפשר להביא (על ידי שינוי בסיס, כלומר סיבוב, מתיחה ושיקוף) לאחת מבין הצורות הבאות: $\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ (כדור), $\ x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$ (היפרבולואיד חד-יריעתי), $\ x^{2}-y^{2}-z^{2}=1$ (היפרבולואיד דו-יריעתי), $\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=-1$ או $\ x^{2}+y^{2}=-1$ או $\ x^{2}=-1$ (קבוצה ריקה), $\ x^{2}+y^{2}=1$ (גליל), $\ x^{2}-y^{2}=1$ (יריעה היפרבולית לא קשירה), $\ x^{2}=1$ (זוג מישורים מקבילים), $\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=0$ (נקודה), $\ x^{2}+y^{2}-z^{2}=0$ (חרוט כפול), $\ x^{2}+y^{2}=0$ (ישר), $\ x^{2}=0$ (מישור) או $\ x^{2}-y^{2}=0$ (זוג מישורים נחתכים).

במעט יותר מאמץ אפשר לטפל גם ביריעות ריבועיות לא הומוגניות, כדוגמת $\ x^{2}+2yz+4z=1$. בדרך כלל, הזזה של המרחב מאפשרת להביא את היריעה המתוארת על ידי משוואה לא הומוגנית, לצורה הומוגנית.

הוכחת המשפט

נניח ש- $\ A,A'$ שתי מטריצות אלכסוניות מעל הממשיים, ושהן חופפות זו לזו, כלומר, קיימת מטריצה הפיכה T כך ש-$\ A'=T^{tr}AT$. אפשר להניח שאברי האלכסון בכל אחת מן המטריצות מסודרים - החיוביים קודמים לכל האחרים. נסמן ב- $\ k,k'$ את מספר המקדמים החיוביים בשני האלכסונים. מנקודת המבט של תבניות ריבועיות, אפשר לנסח הנחה זו כך: קיים בסיס $\ v_{1},\dots ,v_{n}$ כך ש- $\ v_{i}^{tr}Av_{i}>0$ עבור $\ i\leq k$, ו- $\ v_{i}^{tr}Av_{i}\leq 0$ אחרת; וכך גם עבור $\ A'$, בשינויים המתחייבים.

נסמן ב- $\ P$ את המרחב הנפרש על ידי $\ v_{1},\dots ,v_{k}$, וב- $\ ,N$ את המרחב הנפרש על ידי n-k הווקטורים האחרים בבסיס המתאים ל- A. באופן דומה, נגדיר $\ P',N'$ עבור המטריצה $\ A'$. קל לראות שכל וקטור שונה מאפס במרחב $\ P$ מקיים $\ x^{tr}Ax>0$, בעוד שלכל וקטור במרחב $\ N'$ מתקיים $\ x^{tr}T^{tr}ATx=x^{tr}A'x\leq 0$. לכן, לכל וקטור y במרחב $\ T(N')$ מתקיים $\ y^{tr}Ay\leq 0$. הוכחנו שהמרחבים מוכרחים להיחתך טריוויאלית: $\ P\cap T(N')$. לכן סכומם הוא סכום ישר, והממדים מקיימים $\ n-\dim(N)+\dim(N')=\dim(P)+\dim(N')=\dim(P+N')\leq n$; לכן $\ n-k=\dim(N)\geq \dim(N')=n-k'$. אבל טענה זו נכונה גם בחילופי התפקידים, ולכן $\ k=k'$. באופן דומה גם $\ s=s'$.

ראו גם

• תבנית ריבועית
• גופי סיבוב של חתכי חרוט
• אלגברה לינארית
• ג'יימס ג'וזף סילבסטר