המחשת משפט הקוסינוסים משפט הקוסינוסים הוא משפט טריגונומטרי שמציין את הקשר בין צלעות משולש לאחת מזוויותיו . המשפט הוא הכללה של משפט פיתגורס למשולש כלשהו.
עבור משולש שצלעותיו הן
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
c
{\displaystyle c}
γ
{\displaystyle \gamma }
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
(
γ
)
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )}
משפט פיתגורס מתקבל במקרה הפרטי שבו
γ
=
90
∘
{\displaystyle \gamma =90^{\circ }}
c
2
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}
היסטוריה משפט הקוסינוסים במשולש חד-זווית משפט הקוסינוסים מופיע כבר בספר 'יסודות' של אוקלידס מהמאה ה-3 לפנה"ס . הספר מכיל גרסה גאומטרית , ללא שימוש בפונקציות טריגונומטריות (כיוון שטרם הוגדרו).
המשפט מופיע בכרך 2 של ה'יסודות' כמשפט 12 עבור משולש קהה-זווית וכמשפט 13 עבור משולש חד-זווית.
בציור משמאל, גרסת המשפט עבור משולש חד-זווית:
B
C
2
+
A
C
2
=
A
B
2
+
2
S
D
H
I
C
{\displaystyle BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}+2S_{\color {blue}DHIC}}
מכיוון ש-
S
D
H
I
C
=
B
C
⋅
A
C
⋅
cos
(
A
C
B
)
{\displaystyle S_{\color {blue}DHIC}=BC\cdot AC\cdot \cos(ACB)}
ימי הביניים בעקבות פיתוחו של ענף הטריגונומטריה על ידי מתמטיקאים מוסלמים .
בתחילת המאה ה-10 האסטרונום והמתמטיקאי המוסלמי אל-בתאני הכליל את המשפט לגאומטריה ספירית . הכללה זו אפשרה לו לחשב את המרחק הזוויתי בין כוכבים.
המתמטיקאי ג'משיד אל-קאשי מסמרקנד בן המאה ה-15 חישב ערכים של פונקציות טריגונומטריות. חישוביו הפכו את משפט הקוסינוסים ממשפט תאורטי למשפט שימושי. בצרפתית משפט הקוסינוסים נקרא משפט אל-קאשי.
הוכחות הוכחה טריגונומטרית במשולש חד-זווית נעביר גובה לצלע
c
{\displaystyle c}
c
=
a
cos
(
β
)
+
b
cos
(
α
)
{\displaystyle c=a\cos(\beta )+b\cos(\alpha )}
(השוויון נכון גם עבור משולש קהה זווית. שם האנך חותך את
c
{\displaystyle c}
נכפיל את השוויון הקודם ב-
c
{\displaystyle c}
c
2
=
a
c
cos
(
β
)
+
b
c
cos
(
α
)
{\displaystyle c^{2}=ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )}
באותו אופן מקבלים
a
2
=
a
c
cos
(
β
)
+
a
b
cos
(
γ
)
,
b
2
=
b
c
cos
(
α
)
+
a
b
cos
(
γ
)
{\displaystyle a^{2}=ac\cos(\beta )+ab\cos(\gamma )\ ,\ b^{2}=bc\cos(\alpha )+ab\cos(\gamma )}
מחיבור שתי המשוואות הנ"ל נקבל
a
2
+
b
2
=
a
c
cos
(
β
)
+
b
c
cos
(
α
)
+
2
a
b
cos
(
γ
)
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )+2ab\cos(\gamma )}
לאחר העברת אגפים נקבלל
a
c
cos
(
β
)
+
b
c
cos
(
α
)
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
(
γ
)
{\displaystyle ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )}
לפי השלב השני בהוכחה, אגף שמאל של המשוואה האחרונה שווה ל-
c
2
{\displaystyle c^{2}}
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
(
γ
)
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )}
הוכחה זו כאמור, נכונה עבור משולש כלשהו. בהוכחות רבות הנעזרות בטריגונומטריה, נעשית הפרדה בין משולשים חדי-זווית למשולשים קהי-זווית.
ניקח משולש בעל צלעות
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
α
,
β
,
γ
{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }
β
{\displaystyle \beta }
b
{\displaystyle b}
c
2
=
(
a
sin
(
γ
)
)
2
+
(
b
−
a
cos
(
γ
)
)
2
=
a
2
sin
(
γ
)
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
(
γ
)
+
a
2
cos
(
γ
)
2
=
a
2
(
sin
(
γ
)
2
+
cos
(
γ
)
2
)
+
b
2
−
2
a
b
cos
(
γ
)
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
(
γ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&={\bigl (}a\sin(\gamma ){\bigr )}^{2}+{\bigl (}b-a\cos(\gamma ){\bigr )}^{2}\\&=a^{2}\sin(\gamma )^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )+a^{2}\cos(\gamma )^{2}\\&=a^{2}{\bigl (}\sin(\gamma )^{2}+\cos(\gamma )^{2}{\bigr )}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )\\&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )\end{aligned}}}
היות ש:
sin
(
γ
)
2
+
cos
(
γ
)
2
=
1
{\displaystyle \sin(\gamma )^{2}+\cos(\gamma )^{2}=1}
את
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
B
C
=
a
,
A
C
=
b
,
A
B
=
c
{\displaystyle BC=a,AC=b,AB=c}
נבנה
△
A
B
D
{\displaystyle \triangle ABD}
חופף למשולש המקורי:
A
D
=
B
C
,
B
D
=
A
C
{\displaystyle AD=BC,BD=AC}
C
,
D
{\displaystyle C,D}
גבהים החותכים את הצלע
A
B
{\displaystyle AB}
E
,
F
{\displaystyle E,F}
B
F
=
A
E
=
B
C
cos
(
∢
C
B
A
)
=
a
cos
(
∢
C
B
A
)
D
C
=
E
F
=
A
B
−
2
B
F
=
c
−
2
a
cos
(
∢
C
B
A
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&BF=AE=BC\cos(\sphericalangle CBA)=a\cos(\sphericalangle CBA)\\&DC=EF=AB-2BF=c-2a\cos(\sphericalangle CBA)\end{aligned}}}
כעת, ממשפט תלמי נקבל:
A
D
⋅
B
C
+
A
B
⋅
D
C
=
A
C
⋅
B
D
a
2
+
c
(
c
−
2
a
cos
(
∢
C
B
A
)
)
=
b
2
a
2
+
c
2
−
2
a
c
cos
(
∢
C
B
A
)
=
b
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&AD\cdot BC+AB\cdot DC=AC\cdot BD\\&a^{2}+c{\bigl (}c-2a\cos(\sphericalangle CBA){\bigr )}=b^{2}\\&a^{2}+c^{2}-2ac\cos(\sphericalangle CBA)=b^{2}\end{aligned}}}
איור להוכחה את המשפט קל להוכיח באמצעות חשבון וקטורים. וקטור הוא גודל לינארי מופשט הקיים במרחב וקטורי . על וקטורים במישור
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
חצים בעלי אורך וכיוון, ובאמצעותם לייצג צורות גאומטריות, ובפרט מצולעים כגון משולש .
קל לראות מהאיור כי
c
→
=
a
→
−
b
→
{\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}}
נשתמש במכפלה סקלרית ונקבל:
c
2
=
c
→
⋅
c
→
=
(
a
→
−
b
→
)
⋅
(
a
→
−
b
→
)
=
a
→
⋅
a
→
+
b
→
⋅
b
→
−
2
a
→
⋅
b
→
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
(
γ
)
{\displaystyle c^{2}={\vec {c}}\cdot {\vec {c}}=({\vec {a}}-{\vec {b}})\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )}
שכן הזווית
γ
{\displaystyle \gamma }
c
{\displaystyle c}
a
→
,
b
→
{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}}
ישרים מקבילים הנוצרים מהעתקה מקבילה של הווקטור
b
→
{\displaystyle {\vec {b}}}
ראו גם קישורים חיצוניים .gif)
