פעולה אסוציאטיבית

במתמטיקה, פעולה אסוציאטיבית היא פעולה בינארית המקיימת את חוק הקיבוץ, כלומר, לכל $\ a,b,c$ מתקיים $\ a*(b*c)=(a*b)*c$. פעולות החיבור והכפל של מספרים הן דוגמאות חשובות לפעולות אסוציאטיביות. דוגמה כללית יותר היא פעולת ההרכבה של פונקציות (ראו להלן), שבזכותה קיימות עוד פעולות אסוציאטיביות רבות, כמו כפל מטריצות.

לפעולות אסוציאטיביות תפקיד מרכזי באלגברה מופשטת – מערכת הכוללת קבוצה עם פעולה אסוציאטיבית נקראת חבורה למחצה, והנחות נוספות על הפעולה מוליכות להגדרה של מונויד ושל חבורה. בכל חוג הכפל הוא אסוציאטיבי; באלגברה נלמדות גם מערכות שבהן הכפל אינו אסוציאטיבי.

פעולות בכמה אברים

הרכבה של פעולות מאפשרת להגדיר בעזרת פעולה בינארית גם פעולות במספר כלשהו של משתנים. למשל, בארבעה משתנים קיימות הפעולות $\ (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\mapsto x_{1}*(x_{2}*(x_{3}*x_{4})),\,x_{1}*((x_{2})*x_{3})*x_{4}),\,(x_{1}*x_{2})*(x_{3}*x_{4}),\,(x_{1}*(x_{2}*x_{3}))*x_{4},\,((x_{1}*x_{2})*x_{3})*x_{4}$. מספר הפעולות השונות שאפשר להגדיר באופן הזה, כאשר * היא פעולה בינארית, הוא מספר קטלן. אם הפעולה אסוציאטיבית, כל הפעולות מתלכדות.

הכללות

בדרך כלל המונח "פעולה אסוציאטיבית" מתייחס, כאמור, לפעולה בינארית, כלומר לפונקציה $\ A\times A\rightarrow A$. עם זאת למלה "פעולה" יש גם משמעות רחבה יותר, והיא עשויה לחול על כל פונקציה דו-מקומית $\ A\times B\rightarrow C$. במצב שבו מוגדרות פעולות $\ f:A\times B\rightarrow X$, $\ g:B\times C\rightarrow Y$, וכן $\ a:X\times C\rightarrow \Omega$ ו-$\ b:A\times Y\rightarrow \Omega$, אומרים שהמערכת אסוציאטיבית (או שאחת הפעולות אסוציאטיבית ביחס לאחרות) אם הדיאגרמה

$\ {\begin{array}{ccc}A\times B\times C&\longrightarrow ^{1\times g}&A\times Y\\\downarrow ^{f\times 1}&&\downarrow ^{b}\\X\times C&\longrightarrow ^{a}&\Omega \end{array}}$

קומוטטיבית. הרכבה של פונקציות היא אסוציאטיבית במובן הכללי הזה: לכל שלוש פונקציות $\ X{\stackrel {f}{\rightarrow }}Y{\stackrel {g}{\rightarrow }}Z{\stackrel {h}{\rightarrow }}U$ מתקיים $\ (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$. גם פעולת הכפל בסקלר של מודול M מעל חוג R היא אסוציאטיבית במובן דומה: לכל $\ a,b\in R$ ו-$\ v\in M$ מתקיים $\ a(bx)=(ab)x$.

העדר תלות בקומוטטיביות

אין קשר ישיר בין אסוציאטיביות לתכונה אחרת של פעולות בינאריות, קומוטטיביות:

• ישנן פעולות שהן גם קומוטטיביות וגם אסוציאטיביות (למשל: חיבור וכפל במספרים, AND, OR, XOR).
• ישנן פעולות שהן לא-קומוטטיביות ולא-אסוציאטיביות (למשל: חיסור וחילוק).
• ישנן פעולות שהן קומוטטיביות אבל לא-אסוציאטיביות (למשל: הערך המוחלט של ההפרש, NOR ,NAND).
• ישנן פעולות שהן לא-קומוטטיביות אבל כן אסוציאטיביות (למשל: הפעולה המוגדרת לפי $\ a\#b=a$ , או כפל מטריצות).

ראו גם

• אלגברה לא אסוציאטיבית