לרשותכם שני פתילי השהיה, שכל אחד מהם בוער במשך שעה בדיוק. הפתילים אינם בוערים בקצב קבוע, ולכן אם נחתוך את הפתיל לשניים, שני החצאים לאו דווקא יבערו במשך חצי שעה כל אחד. כיצד ניתן בעזרת שני הפתילים למדוד 3/4 שעה?
פתרון
מדליקים פתיל אחד משני צדדיו, ומכאן ייקח לו חצי שעה לבעור. בו זמנית מדליקים את הפתיל השני מצד אחד, וברגע שהפתיל הראשון גומר לבעור מדליקים את הצד השני של הפתיל השני.
במשחק מגדלי האנוי נקרא לסידור של הדיסקיות 'מצב חוקי' אם אף דיסקית אינה מונחת מעל דיסקית קטנה ממנה. עבור מגדל עם n דיסקיות, כמה מצבים חוקיים ישנם? האם ניתן מהמצב ההתחלתי הנראה בציור, להגיע לכל מצב חוקי?
פתרון
עבור מצב חוקי יש 3 אפשרויות למיקום הנחת הדיסקית הגדולה ביותר, 3 אפשרויות לדיסקית השנייה הכי גדולה, וכך הלאה. לכן בסה"כ ישנם מצבים חוקיים. ניתן להגיע מהמצב ההתחלתי לכל מצב חוקי.
איך לחתוך ריבוע לחתיכות שאותן ניתן לסדר מחדש על מנת ליצור משולש שווה-צלעות? מה המספר הקטן ביותר של חיתוכים שמאפשר זאת?
פתרון
חידה זאת הינה חידת חיתוכים מפורסמת פרי עטו של החידונאיהנרי ארנסט דודני. הפתרון של דודני עושה שימוש בחיתוך ל-4 חתיכות בלבד ונראה באיור. פרטים נוספים על החידה והפתרון ניתן למצוא כאן.
במשחק נים ישנן ערמות גפרורים אחדות. כל שחקן בתורו יכול לקחת כמה גפרורים שהוא רוצה אבל רק מערמה אחת. מי שלוקח את הגפרור האחרון מנצח. עבור מצב התחלתי שבו יש שלוש ערמות שבהן 5 ,6 ,9 גפרורים, האם כדאי להיות השחקן הפותח, או לתת ליריב לשחק קודם? מה אסטרטגיית הניצחון במשחק?
למי שמכיר את החידה, או פתר אותה והתלהב, ישנה גם חידת בונוס.
פתרון
אסטרטגיית הניצחון בנים מבוססת על כך שכותבים כל אחד ממספרי הערמות בבסיס בינארי, ואז מבצעים XOR למספרים שיצאו (כל ספרה בנפרד) אם יצא 0, זהו מצב מפסיד. אם יצא משהו אחר, יש לקחת גפרורים כך שישארו מספרים שיוצרים 0, ואז השחקן השני יפסיד (כי בכל תור אפשר להחזיר ל-0, עד שלוקחים את הגפרור האחרון)
בדוגמה:
5 = 101
6 = 110
9 = 1001
XOR של כל המספרים יוצר 1010. כדי לאפס, יש לשנות לאחד המספרים את הספרה הרביעית והשנייה. זה חייב להיות ל-9 (אי אפשר להוסיף גפרורים) ולכן יש להפוך אותו ל-11, כלומר 3 גפרורים, ואז השחקן השני יקלע למצב מפסיד.
בחידת ה-15 המיוחסת לסם לויד (אם כי ייתכן והוא גנב אותה מדוור בשם נויס פלמר צ'פמן), המטרה היא להגיע למצב בו כל המספרים מסודרים בסדר עולה, כאשר במצב ההתחלתי, המופיע באיור, המספרים 14 ו-15 מוחלפים. בכל תור מותר להחליק מספר סמוך לתוך המשבצת הריקה. בכמה מהלכים ניתן לפתור את החידה?
פתרון
על החידה הזאת סם לויד הציע ב-1880 פרס כספי גדול, אך הפרס מעולם לא נגבה, מכיוון שלחידה אין פתרון. את ההוכחה לכך ניתן למצוא כאן.
בתמונה מופיעה מפה של הגשרים של קניגסברג. האם יש מסלול סגור העובר דרך כל אחד מהגשרים פעם אחת בלבד? אם כן, מהו?
פתרון
לא ניתן. למסקנה הזאת הגיע לאונרד אוילר בשנת 1736 כאשר היא הוצגה בפניו. במהלך המסלול כאשר עוברים דרך אחד האיים או דרך אחד מצידי הנהר, מגיעים דרך גשר אחד ועוזבים דרך אחר, ולכן בשני הגשרים הללו לא ניתן להשתמש יותר. לכן מספר הגשרים המובילים לכל פיסת אדמה חייב להיות זוגי, למעט נקודת ההתחלה ונקודת הסיום. בחידה מספר הגשרים המוביל לכל אחד מארבע פיסות האדמה הוא אי-זוגי ולכן לא ניתן לפתור את החידה
"ילדותו ארכה 1/6 מחייו, זקנו צימח לאחר עוד 1/12 מהם, אחרי עוד 1/7 נשא אישה, ובנו נולד 5 שנים לאחר מכן, הבן חי מחצית משנות חיי אביו, והאב מת ארבע שנים אחרי בנו".
בן כמה היה דיופנטוס במותו?
פתרון
נסמן את גילו של דיופנטוס בזמן מותו ב-x ונקבל את המשוואה:
תרנגולת וחצי מטילה ביצה וחצי ביום וחצי. כמה ביצים מטילה תרנגולת אחת ביום אחד?
פתרון
האם עניתם ביצה אחת? לא כל כך פשוט. תרנגולת וחצי מטילה ביצה וחצי ביום וחצי, ולכן תרנגולת וחצי מטילה ביום אחד ביצה אחת, ותרנגולת אחת מטילה ביום אחד שני שלישים ביצה.
חידת מונטי הול: בשעשעון טלוויזיה ישנן שלוש דלתות. מאחורי אחת מהן ישנו פרס גדול, ומאחורי כל אחת משתי האחרות יש עז. המשתתף מתבקש לבחור אחת מהדלתות, אבל לאחר הבחירה מנחה התוכנית אינו פותח את הדלת שנבחרה, אלא את אחת משתי הדלתות האחרות, ומראה למשתתף שמאחוריה יש עז. עכשיו המשתתף יכול לדבוק בבחירה המקורית שלו או להחליף לדלת השלישית שנותרה. מה עדיף לו לעשות?
פתרון
למשתתף יש סיכוי של 2/3 לזכות בפרס הגדול אם יחליט להחליף לדלת השלישית, וסיכוי של 1/3 בלבד אם הוא נשאר בבחירתו המקורית. להרחבה ראו בעיית מונטי הול.
במשחק בין שני שחקנים, מטרתו של הכלוא לצאת ממעגל ברדיוס 100 מטר, ומטרתו של הסוהר למנוע ממנו את היציאה. על-פי חוקי המשחק, הכלוא מתחיל במרכז המעגל, ובכל שלב מותר לו לבחור כיוון שבו הוא מבקש לצעוד, וללכת צעד שאורכו מטר אחד. קודם לביצוע הצעד, הסוהר קובע האם הכלוא ילך בכיוון שבחר, או בכיוון המנוגד.
האם יצליח הכלוא לצאת מן המעגל? אם כן, כיצד, ובכמה צעדים; ואם לא - מדוע?
פתרון
הקווים השחורים הם חמשת הצעדים הראשונים, לפי סדרם. הקווים האדומים הם המרחק ממרכז המעגל בסוף כל צעד. למען הבהירות, כל הצעדים בתרשים זה הם באותו כיוון, אך קל לראות שהחלפת הכיוון בחלק מהצעדים לא הייתה משפיעה על התוצאה - התרחקות מהמרכז והתקרבות להיקף המעגל.
האסטרטגיה של הכלוא היא לשמור על סימטריה, כך שהכיוון שבו יבחר הסוהר לא ישפיע על ההתקדמות אל המטרה. במהלך הראשון לא חשוב באיזה כיוון הוא הולך, משום שהוא שומר על מרחק שווה מנקודת האמצע. במהלך השני הוא יפנה בזווית של 90 מעלות מצעדו הראשון, כך שתיווצר זווית ישרה. אם נשרטט קו בין המקום בו נמצא הכלוא לבין מרכז המעגל (שהוא נקודת המוצא), יתקבל משולש ישר-זווית שמקיים את משפט פיתגורס, ובו הקו הדמיוני הוא היתר, ולכן אורכו שווה לשורש הריבועי סכום ריבועי הניצבים, כלומר השורש הריבועי של 2 (). בכל צעד מכאן ואילך יפנה הכלוא כך שתיווצר זווית ישרה עם הקו המחבר אותו למרכז המעגל (כלומר היתר של הצעד הקודם משמש כניצב בצעד הבא). בהתאם לכך, בצעד השלישי יגיע מרחקו ממרכז המעגל ל- , ובצעד ה-n יגיע מרחקו ממרכז המעגל ל- . בהתאם לכך, הכלוא יצא מהמעגל לאחר 10,000 מהלכים - 100 הוא שורש ריבועי של 10,000.
הליכת 10,000 צעדים כאלה היא עניין מייגע במקצת, אך בשפת התכנות לוגו קל לכתוב סימולציה שמציגה מסלול אפשרי להליכתו של הכלוא, תוך שימוש בפונקציות בסיסיות של השפה.
דוב הולך קילומטר דרומה, קילומטר מזרחה וקילומטר צפונה, ומוצא עצמו בנקודה שממנה יצא. מה צבע הדוב? לאחר פתרון החידה, נסו למצוא פתרון נוסף.
פתרון
המסע המתואר אינו אפשרי במישור, אך לשם פתרון החידה יש להיזכר שכדור הארץ הוא כדור (בקירוב), ומכך נובע שהדוב הוא דוב לבן, מפני שהוא נמצא בקוטב הצפוני. הוא הולך קילומטר דרומה, על קו אורך כלשהו, ממשיך קילומטר מזרחה על קו רוחב המרוחק קילומטר מהקוטב, והליכת קילומטר צפונה, על קו האורך שאליו הגיע, מחזירה אותו לקוטב הצפוני.
פתרון נוסף: הדוב נמצא בקרבת הקוטב הדרומי, בנקודה הנמצאת קילומטר מצפון לקו הרוחב שאורכו קילומטר. הדוב הולך קילומטר דרומה, ומגיע לקו הרוחב שאורכו קילומטר. הוא ממשיך קילומטר מזרחה על קו רוחב זה, ומבצע בדיוק הקפה שלמה אחת של קו הרוחב, כלומר חוזר לנקודה שבה התחיל את מסעו על-פני קו רוחב זה. בהליכתו קילומטר צפונה הוא חוזר על עקבותיו לנקודה שבה החל את טיולו.
פתרון מוכלל: במקום קו הרוחב שאורכו קילומטר, ניתן לקחת קו רוחב שאורכו חצי קילומטר (הדוב יתחיל את מסעו בנקודה הנמצאת קילומטר מצפון לקו רוחב זה, ויעבור לכל אורכו של קו רוחב זה פעמיים בדיוק), או קו רוחב שאורכו שליש קילומטר (הדוב יתחיל את מסעו בנקודה הנמצאת קילומטר מצפון לקו רוחב זה, ויעבור לכל אורכו של קו רוחב זה שלוש פעמים בדיוק), ובאופן כללי קו רוחב שאורכו קילומטר, שהדוב יקיף אותו פעמים בדיוק).
ארבע צפרדעים עומדות בארבע פינות של ריבוע שאורך צלעו מטר אחד. כל צפרדע יכולה לקפוץ מעל כל אחת מהצפרדעים האחרות - כך שהיא תנחת בדיוק באותו המרחק מצדה השני. הצפרדעים יכולות לקפוץ זו מעל זו בכל סדר שיבחרו ומספר בלתי מוגבל של פעמים. האם הצפרדעים יכולות להגיע למצב בו הן עומדות בארבע הפינות של ריבוע שאורך צלעו שני מטרים?
פתרון
לא. כל קפיצה שהצפרדעים מבצעות, ניתן לבצע גם בכיוון ההפוך, ולכן כל סדרה של קפיצות היא הפיכה. אם ניתן היה להגיע לריבוע גדול יותר - היה אפשר להגיע בסדר קפיצות הפוך גם לריבוע קטן יותר, אך הצפרדעים לעולם לא יתקרבו למרחק של פחות ממטר זו מזו.
ימאים מביאים לאי בודד זוג ארנבונים. בשנה הראשונה הזוג צעיר ולכן כל מה שהוא עושה זה מתבגר. בשנה הבאה, ובכל אחת מהשנים הבאות, זוג הארנבונים ימליט זוג ארנבונים נוסף. כל זוג ארנבונים נוסף גם הוא בשנה הראשונה יתבגר, וזוג בוגר כל שנה ממליט זוג ארנבונים נוסף. כמה זוגות ארנבונים יהיו באי לאחר 10 שנים?
פתרון
הפתרון לחידה הזאת היא סדרת פיבונאצ'י, שבה כל מספר הוא סכום שני המספרים הקודמים לו. למעשה לאונרדו פיבונאצ'י הציג את הסדרה במקור בשנת 1202 בספר 'Liber Abaci' כפתרון לחידה הזאת.
הסדרה היא: ...1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 ולכן אחרי 10 שנים יהיו באי 55 זוגות ארנבונים.
בעת שרטוט מפה מדינית, כל שתי מדינות בעלות קו גבול משותף נצבעות בצבעים שונים, כדי שיהיה קל להבחין ביניהן. כדי להוזיל את עלויות הדפוס, נרצה להשתמש במספר צבעים קטן ככל האפשר. לוח שחמט הוא דוגמה למפה שבה כל מדינה גובלת בארבע מדינות אחרות, אולם די בשני צבעים כדי לצבוע את המפה. האם יש מפה שלצביעתה נחוצים שלושה צבעים? ארבעה צבעים? חמישה צבעים?
פתרון
מפה שלצביעתה נדרשים ארבעה צבעים
במפה שבתרשים מופיעות ארבע מדינות, שכל אחת מהן גובלת בכל שלוש שכנותיה, ולכן נחוצים ארבעה צבעים לצביעתה. אם שתיים מהמדינות שבמפה זו יתאחדו, די יהיה בשלושה צבעים לצביעת המפה שתיווצר.
ומה בעניין חמישה צבעים? בכך עוסק משפט ארבעת הצבעים. ההשערה שדי בארבעה צבעים כדי לצבוע כל מפה, מסובכת ככל שתהיה, הועלתה על ידי פרנסיס גאטרי (Francis Guthrie) בשנת 1850, בעת שעסק בצביעת מפה של אנגליה. הוכחה לנכונותה של ההשערה נמצאה רק כעבור 126 שנה, תוך הסתייעות במחשב.
חידת הכיתה המופרעת: המורים של כיתה מופרעת מחליטים לפצל את הכיתה לשניים, אבל כדי להיות הוגנים הם מבקשים מכל תלמיד לרשום את שמות שני חבריו הטובים ביותר על פתק, ומבטיחים שכאשר הכיתה תפוצל כל תלמיד יזכה להיות לפחות עם אחת משתי הבחירות שלו. התלמידים, שלא רוצים שהכיתה תתפצל, מתאמים מראש ביניהם מה כל תלמיד ירשום, וכאשר המורים מנסים לפצל את הכיתה הם מגלים שבכל חלוקה של התלמידים לשתי קבוצות יש לפחות תלמיד אחד שלא מקבל אף אחת מהבחירות שלו. מה הייתה האסטרטגיה של התלמידים?
למחרת המורים מבקשים מכל תלמיד לרשום את שמות שלושת חבריו הטובים, ומבטיחים שכאשר הכיתה תפוצל כל תלמיד יזכה להיות לפחות עם אחת משלוש הבחירות שלו. האם גם עכשיו התלמידים יכולים למנוע מהמורים לפצל את הכיתה?
פתרון
יש שיטות רבות למנוע את הפיצול כאשר כל תלמיד בוחר רק שני חברים. דוגמה: ניקח שלושה תלמידים שכל אחד רושם את שני האחרים. השלושה האלה חייבים להיות באותה כיתה. עתה כל אחד משאר התלמידים רושם את השמות של שניים מתוך השלישייה הזאת.
כאשר על התלמידים לרשום שלושה שמות, אין להם דרך למנוע את הפיצול של הכיתה! ההוכחה לכך היא בונוס למתקדמים, כיוון שהיא לא קלה במיוחד. ניתן למצוא אותה כאן.
עשרה שודדי ים שמים את ידם על אוצר שבו 100 מטבעות זהב. בראש עשרת השודדים עומד הקפטן ותחתיו מסודרים השאר בסדר היררכי מ-2 עד 10. הקבוצה צריכה לחלק בין חבריה את האוצר לפי הכללים הבאים:
בכל שלב, מציע הראשון בסולם הדרגות אופן חלוקה של הזהב. אם יש הסכמה של 50% או יותר מהקבוצה, היא תיושם ואם לא, הורגת הקבוצה את ראשה ושודד הים הבא בסולם הדרגות מציע את הצעתו. מה ההצעה הכדאית ביותר שאותה צריך הקפטן (הראשון מבין העשרה) להציע, בהנחה שהשודדים רציונליים, כלומר יעדיפו את ההצעה שמבטיחה להם יותר מכל הצעה סבירה אחרת?
פתרון
אל פתרון זה ניתן להגיע על ידי חשיבה מהסוף להתחלה, מהפשוט למסובך.
נתחיל בספינה שיש בה רק שודד אחד, נקרא לו ג'ק, אז ג'ק ייקח את כל המטבעות לעצמו, וההצעה שלו תתקבל.
נניח שיש עוד שודד בספינה, רוברט, שהוא רב החובל. רוברט יודע שג'ק בכל מקרה יצביע נגדו, ולכן הוא מציע לקחת את כל 100 המטבעות לעצמו, וההצעה תתקבל.
נניח שיש 3 שודדים: רב החובל היא חואניטה, ואחריה רוברט וג'ק. חואניטה צריכה שודד אחד נוסף שיצביע עבורה. היא יודעת שרוברט יצביע נגד (כי עם הריגת חואניטה, הזכות להציע את אופן החלוקה עוברת אליו), ולכן היא קונה את ההצבעה של ג'ק בכך שהיא נותנת לו מטבע זהב אחד. ג'ק יצביע עבורה כיוון שבמקרה שההצבעה לא מתקבלת וחואניטה מודחת, אז רוברט נהיה רב חובל וראינו שבמקרה הזה ג'ק לא יקבל כלום.
נניח שיש 4 שודדים: רב חובל ג'יימס, ואחריו חואניטה, רוברט וג'ק. גם ג'יימס זקוק לשודד אחד שיצביע עבורו. ג'יימס צריך לתת לרוברט מטבע אחד על מנת שיצביע עבורו, מכיוון שאחרת חואניטה תהיה רב החובל והיא לא תתן לרוברט כלום.
כך הפתרון של החידה ממשיך, רב החובל ייתן מטבע זהב אחד לכל אותם אנשים שבמקרה שההצעה לא תתקבל ורב החובל יודח, לא יקבלו דבר. כלומר כאשר יש 10 שודדים אז רב חובל (שודד מס' 1), ייתן מטבע אחד לשודדים מספר 3, 5, 7 ו-9, ויישארו לו 96 מטבעות לעצמו.
חידת בונוס: מה קורה כאשר יש יותר ממאתיים שודדים בסירה? האם השיטה הזאת עדיין עובדת?
נניח שבמקום לחלק מטמון של 100 מטבעות, השודדים צריכים לחלק מטמון המכיל 0 מטבעות. האם השודדים תמיד יצביעו נגד רב החובל? עבור אילו מספרי שודדים בסירה רב החובל יישאר בחיים?
שתי רכבות המרוחקות 200 ק"מ זו מזו יוצאות באותה שעה זו לקראת זו, במהירות של 100 קמ"ש כל אחת. מיד עם צאתן יוצא זבוב מתחילת הרכבת האחת, ועף במהירות של 150 קמ"ש לעבר הרכבת האחרת. ברגע שהוא מגיע אליה, הוא הופך את כיוון מעופו, ועף אל הרכבת שממנה יצא. כך ממשיך הזבוב במעופו בין הרכבות, עד לרגע שבו הן מתנגשות ומוחצות אותו. מה אורכו של המסלול שעבר הזבוב?
יש גם חידת בונוס!
פתרון
פתרון החידה קל למדי כאשר משתמשים בנוסחה הפשוטה של הפיזיקה הקלאסית s = vt, האומרת שבתנועה במהירות קבועה, הדרך שווה למהירות כפול הזמן. הרכבות עוברות מרחק של 200 ק"מ, כשכל אחת מהן נוסעת במהירות של 100 קמ"ש, ולכן נסיעתן נמשכת שעה אחת בדיוק. הזבוב עף במהירות של 150 קמ"ש, ולכן במשך שעה יעבור מרחק של 150 ק"מ - זהו אורך המסלול שלו.
אדם שחד חידה זו למתמטיקאי ג'ון פון נוימן קיבל ממנו בִּן רגע תשובה נכונה. השואל ציין באוזני פון נוימן שיש המנסים לפתור את החידה באמצעות חישוב סכום הטור של אורכי הקטעים המרכיבים את מסלול הזבוב. "כך בדיוק עשיתי", ענה פון נוימן.
חידת בונוס: שתי מכוניות מתחילות צמודות זו לזו, ונוסעות לכיוונים הפוכים, כל אחת במהירות של 100 קמ"ש. ברגע שהן מתחילות בנסיעתן, זבוב שנמצא ביניהן מתחיל לעוף מאחת לשנייה וחזרה במהירות של 200 קמ"ש. אחרי שעה, איפה יהיה הזבוב?
פתרון
הזבוב יכול להיות בכל מקום בין שתי המכוניות. הוכחה: חישבו על המצב ההפוך בו המכוניות מרוחקות 200 ק"מ זו מזו והן נעות זו לקראת זו במהירות 100 קמ"ש כל אחת, והזבוב נע ממיקומו הנוכחי (מקום כלשהו בין המכוניות) ממכונית למכונית במהירות 200 קמ"ש, עד לפגישת המכוניות (כעבור שעה). הרצת הסרט בכוון ההפוך תראה שהזבוב יגיע אחרי שעה למיקום שבחרתם.
מולך עומדים שלושה אנשים - דובר אמת (תשובותיו הן תמיד אמת), שקרן (תשובותיו הן תמיד שקר), ועונה באקראי (לעתים תשובתו היא אמת, ולעתים היא שקר). על ידי הפניית שאלת כן/לא אחת, לאחד מבין שלושת האנשים, עליך למצוא אדם אחד שבוודאות אינו העונה באקראי. מה תהיה השאלה?
פתרון
קיימים מספר פתרונות, פתרון אחד הוא לשאול את האדם הראשון - "האם האדם השני דובר אמת יותר מהשלישי?". אם התשובה חיובית - האדם השלישי בוודאות אינו העונה באקראי, אם התשובה שלילית - האדם השני בוודאות אינו העונה באקראי.
הסבר (לקריאה רק לאחר ניסיון כושל להבין את התשובה שניתנה):
כאשר התשובה חיובית, יש שלוש אפשרויות באשר לטיבו של האדם הראשון:
הוא דובר אמת: ולכן האדם השני הוא העונה באקראי, והשלישי השקרן.
הוא שקרן: ולכן האדם השני הוא העונה באקראי, והשלישי דובר האמת.
הוא העונה באקראי: ולכן האדם השלישי הוא שקרן או דובר אמת.
אם כן, בכל המצבים האפשריים של האדם הראשון, בתשובה חיובית שלו האדם השלישי אינו העונה באקראי.
עליך להגיע לעיר הקרובה הנמצאת במרחק 700 קילומטר. ברשותך מטיל זהב השוקל 7 קילוגרם ואותו ניתן לחתוך אך ורק לקילוגרמים שלמים. הדרך היחידה להגיע אל העיר היא בעזרת נהג הגובה עבור שירותיו קילוגרם זהב לכל 100 ק"מ. אולם, הנהג דורש בתחילת כל 100 קילומטר תשלום עבור 100 הקילומטרים הבאים, ויברח אם יקבל יותר מקילוגרם אחד בבת אחת. באפשרותך לחתוך את מטיל הזהב פעמיים בלבד. כיצד תחלק את המטיל?
פתרון
חיתוך מטיל הזהב למטילים בני 1, 2 ו-4 קילוגרם. בתחילה הנהג יקבל 1 קילוגרם. לאחר 100 הקילומטרים הראשונים הקילוגרם יוחלף ל-2, לאחר עוד 100 קילומטר הנהג יקבל מטיל של קילוגרם, לאחר עוד 100 קילומטר יקבל 4 קילוגרם ויחזיר 3 וכן הלאה עד להגעה ליעד.
באופן דומה, עם מטיל זהב השוקל 15 קילוגרם וזכות לשלושה חיתוכים יוכל הנוסע להגיע למרחק של 1,500 קילומטר.
בהכללה, עם מטיל זהב השוקל קילוגרם וזכות ל- חיתוכים יוכל הנוסע להגיע למרחק של קילומטר.
אתם עומדים במרכזו של שדה תירס בלילה ללא כוכב וירח. התירס הגבוה מסתיר את כל שמימינכם ומשמאלכם. עליכם להגיע למסילת רכבת ישרה הנמצאת במרחק 10 קילומטרים מכם. בשל הראות הלקויה, רק כאשר תגיעו למסילה תדעו זאת. מצאו את המסלול הקצר ביותר אותו תצטרכו לעבור עד להגעה לפסים המיוחלים במקרה הגרוע ביותר (כלומר במקרה בו מזלכם פועל נגדכם).
פתרון
הפתרון הראשון שחושבים עליו לחידה הוא ללכת 10 ק"מ לכיוון כלשהו, ולאחר מכן להקיף את המעגל, ובמקרה זה צריך ללכת 72.83 ק"מ. ניתן לשפר פתרון זה בצורה משמעותית, והמפתח למציאת הפתרון נמצא ב-"thinking outside the box" (או ליתר דיוק, "the circle"). המסלול הקצר ביותר הוא המסלול הבא:
יוצאים להיקף המעגל בנקודה שרירותית כלשהי. (10 ק"מ)
כעת ממשיכים בקו ישר עוד כברת דרך, עד שהמרחק ממרכז המעגל הוא R×csc 60° כלומר, 11.55 ק"מ.
כעת צועדים לאורך המשיק מהנקודה הנוכחית עד שמגיעים למעגל. כלומר, עוד R×cot 60°. המרחק מתחילת הדרך - 17.32 ק"מ.
הולכים על גבי המעגל לאורך קשת בת 210°. המרחק הכולל - 53.97 ק"מ.
יוצאים מהמעגל על גבי משיק, עד אשר נתקלים בקו המקווקו (המשיק למעגל). סך הכל - 63.97 ק"מ.
מלוח שחמט הורידו את שתי הפינות הנגדיות. כיצד ניתן לכסות את הלוח לגמרי בעזרת 31 אבני דומינו, אשר כל אחת מהם מכסה שתי משבצות סמוכות?
יש גם חידת בונוס!
פתרון
כל אבן דומינו מכסה משבצת אחת שחורה ומשבצת אחת לבנה ולכן בסה"כ אבני הדומינו צריכות לכסות אותו מספר משבצות לבנות כשחורות. מאידך, המשבצות שנגזרו מהלוח שתיהן מאותו צבע, ולכן יש יותר משבצות מצבע אחד מאשר מהצבע האחר. לכן לא ניתן לבצע את המשימה הנדרשת.
חידת בונוס- אם נגזור מהלוח שתי משבצות, אחת שחורה ואחת לבנה, האם תמיד ניתן יהיה לפתור את החידה?
מה הדרך הקצרה ביותר לפרק חפיסת שוקולד לריבועים בודדים?
שוקולד
עבור חפיסה של 6x8 ריבועי שוקולד, בה בכל מהלך לוקחים את אחד החלקים שישנם ומפרקים אותו לשניים, מה הדרך הקצרה ביותר לפרק את החפיסה לריבועים בודדים, וכמה מהלכים דרך זאת צורכת?
פתרון
כל הדרכים לפרק את החפיסה לוקחות אותו מספר של חיתוכים! כל פירוק מגדיל באחד את מספר חתיכות השוקולד שישנן, ולכן אם מתחילים מחתיכה בודדת ומסיימים ב-6x8=48 חתיכות צריך לבצע 47 פירוקים, ולא משנה באיזה סדר!
השאירו שש שעות עוקבות על פני השעון ללא שינוי, והחליפו את מקומן של השעות הנותרות, כך שהסכום של כל זוג שעות סמוכות יהיה מספר ראשוני (יש שני פתרונות אפשריים).
פתרון
11, 12, 1, 2, 3 ו-4 הן שעות עוקבות שסכום כל זוג עוקב יתן מספר ראשוני והן הספרות שישארו במקומן. להחלפת שש השעות הנותרות יש שני פתרונות: את הספרה 5 יש להחליף ב-7 או ב-9, את הספרה 10 יש להחליף ב-6 או ב-8. בשני המקרים השעה 5 תוצב במקומה של השעה 9 והשעה 10 במקומה של השעה 6.
לוקחים שתי כוסות. בראשונה ממלאים 100 מ"ל ג'ין ובשנייה 100 מ"ל טוניק. בעזרת כפית מעבירים בדיוק מיליליטר אחד של ג'ין מהכוס הראשונה לשנייה ומערבבים. אחר כך מעבירים בדיוק את אותה הכמות, מיליליטר אחד, מהכוס השנייה בה טוניק מהול במעט ג'ין חזרה אל הכוס הראשונה ומערבבים שוב. חוזרים על צמד פעולות זה חמש פעמים.
מה גבוה יותר, אחוז הטוניק בכוס הראשונה בה היה תחילה הג'ין או אחוז הג'ין בכוס של הטוניק?
פתרון
רבים טועים תחילה לחשוב שהתשובה תלויה בכוס שממנה מתחילים להעביר וכי הדרך לפתרון היא בעזרת חישוב אחוזים מורכב. בהנחה שלאחר הפעולה בשתי הכוסות יימצא תמהיל של בדיוק 100 מ"ל ובשתיהן יחד יש עדיין 100 מ"ל ג'ין ו-100 מ"ל טוניק, הרי אחוז הטוניק בכוס הראשונה יהיה זהה לאחוז הג'ין בכוס השנייה.
שני חברים משחקים משחק על לוח עגול. כל שחקן בתורו מניח מטבע על הלוח, איפה שהוא רוצה. לאחר ההנחה אסור להזיז את המטבעות. אסור להניח מטבע אם הוא עומד על אותו קוטר של המעגל עם מטבע שהונח קודם. השחקן שאין לו מקום להניח מטבע על הלוח מפסיד. האם קיימת אסטרטגיית משחק שהשחקן הפותח יכול להבטיח בעזרתה את הניצחון?
פתרון
השחקן הראשון יניח מטבע בדיוק באמצע הלוח. בתורות הבאים, לא משנה היכן יניח השחקן השני מטבע, הראשון יניח בדיוק "ממולו", כלומר על אותו קוטר, בצד השני של העיגול במרחק זהה מהמרכז. מקום זה תמיד יהיה פנוי!
ראשית פורסים את העוגה לרוחב לשתי פרוסות המונחות זו על זו. אחר כך פורסים לרבעי עיגול באמצעות חיתוך שני קטרים מוצלבים.
במידה ומותר להזיז את החתיכות בין חיתוך אחד לאחר, אזי ישנו פתרון נוסף לחידה שבו מחלקים את העוגה ל-4 על ידי חתך מאוזן וחתך מאונך, לאחר מכן מניחים את 4 החתיכות זו על זו וחותכים אותם באמצע כך כולם מקבלים חתיכות שוות. היתרון בפתרון הזה הוא שאם לעוגה יש ציפוי קצפת אזי כולם יכולים לקבל מן הקצפת.
בחדר גדול תלויים מהתקרה ועד לרצפה שני חבלים באורך 20 מטר כל אחד, המרחק האופקי בין החבלים, ובין כל חבל לקירות החדר גדול מ-40 מטר.
ניתן לטפס באופן חופשי על חבל שמשתלשל עד לרצפה, לחתוך חבלים וליצור בהם קשרים מבלי להשפיע על אורכם ולקפוץ מגובה של עד ארבעה מטרים אל הרצפה מבלי לשבור רגל. מטרתך היא להגיע לרצפה עם שתי רגליים שלמות וחבל באורך 24 מטרים שאינו מחובר לתקרה.
פתרון
מטפסים על חבל א' עד לגובה של 8 מטרים מעל הרצפה, חותכים את החבל ויוצרים לולאה בקצהו המחובר לתקרה, משחילים את היתר באורך 8 מטרים דרך הלולאה ויורדים על החבל הכפול עד לגובה של 4 מטרים - אז אוחזים בקצהו האחד וקופצים איתו לרצפה.
קושרים את היתר אל החבל השני ומטפסים עליו עד לגובה של 16 מטרים מעל הרצפה (4 מטרים מעלינו, 24 מתחתינו) חותכים, יוצרים לולאה בחבל העליון ומשחילים את היתר דרכה - שוב יורדים על החבל הכפול לגובה של 4 מטרים מהרצפה, אוחזים רק בקצהו האחד וקופצים - הגענו לרצפה שלמים ובריאים ובידנו חבל באורך 24 מטרים!
קנגורו עומד בפני גרם מדרגות ובו 20 מדרגות. בכל צעד הקנגורו יכול לקפוץ מדרגה אחת או שתי מדרגות. בכמה דרכים שונות יכול הקנגורו לעלות את גרם המדרגות?
פתרון
בצעד הראשון יכול הקנגורו לעלות מדרגה אחת או שתיים. כלומר, מספר האפשרויות לאחר מכן הוא מספר האפשרויות לעלות 19 מדרגות (שנותרו) ועוד מספר האפשרויות לעלות 18 מדרגות. באופן דומה אם A(n) מייצג את מספר הדרכים לטפס סולם בעל n שלבים אז מתקיימת נוסחת הנסיגה: A(n)=A(n-1)+A(n-2) שהיא בדיוק נוסחת הנסיגה של סדרת פיבונאצ'י. ולכן A(n)=1,2,3,5,8... מכאן שמספר האפשרויות לטפס 20 מדרגות הוא המספר ה-20 בסדרה שהינו 10,946.
ארבעה רצים עומדים בארבע פינות ריבוע שאורך צלעו 100 מטרים, ברגע מסוים מתחילים כל ארבעת הרצים לרוץ, כך שרץ 1 רודף אחרי רץ 2, רץ 2 רודף אחרי רץ 3, רץ 3 רודף אחרי רץ 4 ורץ 4 רודף אחרי רץ 1. כל אחד מהרצים רץ במהירות של 5 מטרים לשנייה, ובכיוון המדויק של הרץ אחריו הוא רודף. האם הרצים יפגשו? היכן ומתי?
פתרון
תבנית הריבוע שהרצים נמצאים בה בתחילת ריצתם נשמרת בכל משך הריצה, אך הריבוע מסתובב ומתכווץ תוך כדי הריצה.
לפיכך, בכל רגע נתון כל רודף ובורח רצים בכיוונים מאונכים, כלומר ריצתו של הרץ הבורח אינה משפיעה על המרחק שלו מן הרודף - הזמן שלו זקוק הרודף כדי לתפוס את הבורח זהה לזמן שהיה נחוץ למשימה זו לוּ הבורח היה עומד במקומו ללא תנועה. כיוון שהמרחק הראשוני בין כל שני רצים הוא 100 מטרים, והרץ הרודף מצמצם את המרחק ב-5 מטרים בכל שנייה, הרצים יפגשו לאחר 20 שניות. כיוון שמסלוליהם של כל הרצים זהים קל להראות שנקודת המפגש תהיה במרכז הריבוע. המסלול שעובר כל רץ הוא ספירלה לוגריתמית שאורכה 100 מטרים.
חידה זו, שבה ארבע חיפושיות רודפות זו אחר זו, הופיעה במדורו של מרטין גרדנר בגיליון נובמבר 1957 של הירחון סיינטיפיק אמריקן, ולאחר מכן נכללה בלקט מדוריו Mathematicl Puzzles and Diversions. בגיליון יולי 1965 של כתב העת, שבו עסק גרדנר באופ ארט, הופיע תרשים המתבסס על מסלולן של החיפושיות, ומהווה יצירת אופ ארט.
חידת בונוס: כמה סיבובים יבצע כל אחד מן הרצים סביב נקודת המפגש בטרם יגיע אליה?
תחדיש הוא מילה חדשה שנוספה לשפה. המילה "תחדיש" היא תחדיש בעצמה, ולעומתה המילה "סוס" איננה סוס בעצמה. כדי לתת שם לתופעה שאותה מייצגת כאן המילה "סוס", ניצור תחדיש: "שידחת" היא מילה שאינה מתארת את עצמה. המילה "סוס" היא שידחת, ואילו המילה "תחדיש" איננה שידחת. וכעת לבעיה: האם המילה "שידחת" היא שידחת?
פתרון
לפנינו שתי אפשרויות: "שידחת" היא שידחת, או שאיננה כזו. נבדוק את שתי האפשרויות:
אם "שידחת" היא שידחת (כשם ש"תחדיש" היא תחדיש), הרי, לפי הגדרת "שידחת", אינה מתארת את עצמה, כלומר אינה שידחת. הגענו לסתירה.
אם "שידחת" איננה שידחת (כשם ש"סוס" איננה סוס) הרי היא מתארת את עצמה, כלומר היא שידחת. הגענו לסתירה.
באמצעות 4 מופעים של הספרה4 והסימונים המתמטיים המקובלים, ניתן להגיע לכל אחד מהמספרים השלמים 0 עד 100. בחלק מהמספרים קל מאד לעשות זאת, בדרכים אחדות, ובמספרים אחרים כלל לא קל להגיע לדרך היחידה האפשרית.
דוגמה: אל המספר 0 ניתן להגיע בדרכים רבות, שבהן נכתב הביטוי, למשל:
ניתן להגיע אל המספר 0 גם בדרכים מורכבות יותר, למשל
נסו להגיע לכל אחד מהמספרים 0 עד 100. אם הדרך שלכם חדשה, הוסיפו אותה לפתרון.
הערה טכנית: בדף זה ישנן תמונות רבות. יש לחכות לסיום טעינת כל התמונות לפני הלחיצה על "הצגה" שמציג את הפתרונות.
חידת בונוס:
גם ליחס הזהב, שהוא , ניתן להגיע באמצעות 4 מופעים של הספרה 4 והסימונים המתמטיים המקובלים. התוכלו לגלות?
פתרון
*
חידת בונוס נוספת:
גם אל , שהוא היחס הקבוע בין היקף המעגל לקוטרו, ואל קירובו, , ניתן להגיע באמצעות 4 מופעים של הספרה 4 (מותר להשתמש בפונקציות בסיסיות). התוכלו לגלות?
אני עומד להטיל שתי קוביות משחק שגרתיות, שעל כל אחת מהן מופיעים המספרים 1 עד 6. ניחוש נכון של סכום שני המספרים שיראו הקוביות יזכה אותך בפרס. מה הניחוש שיבטיח לך את סיכויי הזכייה הגבוהים ביותר?
פתרון
בהנחה שקוביות משחק כשרות, ההסתברות של כל קובייה ליפול על כל אחת מהפאות שלה היא זהה בדיוק ושווה ל־1/6. כאשר לכל קובייה 6 תוצאות אפשריות, סך־הכל קיימות 36 תוצאות שונות, כאשר הסכום נע בין 2 ל־12:
סכום
מספר תוצאות
התוצאות
2
1
1+1
3
2
1+2, 2+1
4
3
1+3, 2+2, 3+1
5
4
1+4, 2+3, 3+2, 4+1
6
5
1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1
7
6
1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1
8
5
2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2
9
4
3+6, 4+5, 5+4, 6+3
10
3
4+6, 5+5, 6+4
11
2
5+6, 6+5
12
1
6+6
מתוך טבלת התוצאות, קל להבחין שהסכום השכיח ביותר הוא 7. סכום זה מתקבל ב־6 מתוך 36 התוצאות, כלומר סיכויי הזכייה בבחירתו 1/6, יותר מאשר בכל בחירה אחרת.
5 חצים נורים על מטרה שצורתה משולש שווה-צלעות, שאורך צלעו 1 מטר. הראו שיש לפחות שני חצים שהמרחק ביניהם קטן או שווה לחצי מטר.
פתרון
מחלקים את המשולש לארבעה משולשים שווי צלעות שאורך הצלע של כל אחד מהם חצי מטר. כיוון שיש ארבעה משולשים וחמישה חצים לפחות שני חיצים נמצאים באותו משולש - ולכן המרחק ביניהם בהכרח קטן או שווה לחצי מטר.
שני חברים רוצים להעביר כסף מאחד לשני, באמצעות שירות חבילות, אך לרוע המזל השירות מורכב מעבריינים רבים. שירות החבילות יעביר תמיד את החבילה, אך אם יש באפשרותו הוא יגנוב את תכולתה. לכן כל אחד מהחברים הצטייד במפתחות ומנעולים, כך שיוכל לנעול את החבילות שהוא שולח, באופן ששירות החבילות לא יוכל לפתוח את החבילה בדרך, אבל לרוע המזל גם החבר השני לא יוכל לפתוח את החבילה, משום שלאף אחד מהם אין מפתח לאחד מהמנעולים של רעהו. האם אפשר למצוא דרך שבה החברים יוכלו בכל זאת לשלוח כסף אחד לשני?
פתרון
הפתרון לחידה נקרא "אלגוריתם שלושת המעברים של שמיר" (Shamir's three-pass protocol) על שם ממציאו, עדי שמיר.
החבר הראשון שם את הכסף בחבילה, נועל אותה באחד המנעולים שלו. החבר השני איננו יכול לפתוח את החבילה אך הוא נועל את החבילה במנעול נוסף ושולח חזרה אל החבר הראשון. החבר הראשון פותח את המנעול שלו, שולח חזרה, החבר השני יכול עתה להסיר את המנעול שלו ולפתוח את החבילה.
שמיר הוא אחד משלושת הממציאים של שיטת ההצפנה RSA, שיטת הצפנה במפתח ציבורי. פיתוחה של שיטת הצפנה זו ואחרות שאבה השראה מחידות מסוג זה.
במרתף היין של המלך נמצאות 1,000 חביות. מתנקש החדיר רעל קטלני לאחת החביות - די בטיפה אחת מהרעל כדי להרוג את הקורבן בתוך 24 שעות. למלך יש 24 שעות בלבד לגלות את החבית המורעלת - ולשם כך הוא יכול לצוות על המשרתים שלו לשתות מהיין, ולבדוק מה מצבם כעבור יום - מהו המספר המינימלי של משרתים להם זקוק המלך על מנת לגלות את החבית המורעלת?
פתרון
10 משרתים. ניתן לייצג כל חבית באמצעות מספר בינארי בן 10 ספרות (יש 1,024 אפשרויות למספרים באורך זה). עשרת המשרתים מסתדרים בשורה, כך שכל משרת מייצג ספרה בינארית - כל משרת שותה מכל החביות שהוא משתתף בייצוג הבינארי שלהן. למשל - מחבית מספר 1 (ייצוג בינארי 0000000001) ישתה רק המשרת הראשון, ואילו מחבית מספר 341 (0101010101) ישתו המשרתים שמספרם 1,3,5,7,9. כעבור 24 שעות יבדוק המלך מי מהמשרתים נפגע מן הרעל - והחבית המורעלת היא זו שמספרה הבינארי מיוצג על ידי הספרות של המשרתים שנפגעו.
קוביה הונגרית ניתן לסובב בשלל דרכים. כל סיבוב קרוי תנועה. כל רצף תנועות, בין קצר של תנועה אחת או שתיים, ובין ארוך של מאות יחזיר את הקוביה למצבה הראשוני - בתנאי שיבוצע מספר מספיק של פעמים.
מדוע?
האם כלל זה יהיה נכון עבור כל צעצוע הונגרי (כגון קוביית 10x10, פירמידה הונגרית, תריסריון הונגרי וכו')?
הוכח שבכל רגע נתון ישנה נקודה על כדור-הארץ שבה הטמפרטורה והלחץ זהים בדיוק לנקודה שממול לה על-פני כדור הארץ (ההנחה היא שהטמפרטורה והלחץ מוגדרות ורציפות בכל מקום על פני כדור-הארץ).
פתרון
א. ראשית נראה כי יש נקודה בה הטמפרטורה זהה לטמפרטורה בנקודה שמולה: נשווה את הטמפרטורה בנקודה מסוימת על קו אורך מסוים (נקודת המקור) עם הטמפרטורה בנקודה שמולה (נקודת התמונה). אם הטמפרטורות שוות - סיימנו. אחרת, בה"כ, בנקודת המקור חם יותר מאשר בנקודת התמונה. נלך מנקודת המקור לאורך קו האורך, ונשווה כל הזמן את הטמפרטורה לטמפרטורה בנקודה שמולה. מכיוון שהפרש הטמפרטורות הוא פונקציה רציפה המקבלת ערך חיובי בנקודת המקור וערך שלילי אחרי חצי היקף של כדור הארץ, יש נקודה בה הפונקציה מתאפסת, כלומר הטמפרטורה בשתי הנקודה הנגדיות שווה.
ב. כעת דרוש טיפול עדין (ולא טריוויאלי) כדי להראות כי יש קו רציף כך שלכל נקודה עליו, גם הנקודה הנגדית לה נמצאת עליו, וכך שבכל נקודה עליו הטמפרטורה זהה לטמפרטורה בנקודה הנגדית.
ג. עכשיו נשווה את הלחצים לאורך הקו הנ"ל, ובדומה לשלב הראשון אפשר להראות כי יש נקודה על הקו הנ"ל בה הלחץ זהה ללחץ בנקודה הנגדית, וזוהי הנקודה בה הטמפרטורה והלחץ זהים לטמפרטורה וללחץ בנקודה הנגדית.
בסיפור "הרופא וגרושתו" שם ש"י עגנון בפי הרופא, המספר, את המילים: "יתר על כן כפלתי לה חיבתי. דבר זה למעלה מן ההגיון, שהרי כל חיבתי כבר ניתנה לה". בהנחה שהחיבה היא גודל מדיד, מה הייתה מידת חיבתו של הרופא?
פתרון
נסמן את החיבה ב-x. מדברי הרופא אנו למדים כי 2x = x . משוואה זו מתקיימת בשני מצבים:
שתי תוצאות אלה תואמות את מסקנתו של הרופא: "דבר זה למעלה מן ההגיון".
האם אפשר לצבוע כל אחת מן הנקודות בסריג בגודל 3x7, בשני צבעים - אדום וכחול - כך שאין אף מלבן שארבעת קודקודיו בעלי צבע אחיד?
פתרון
אי אפשר לצבוע את נקודות הסריג באופן כזה.
נסתכל על העמודה הימנית בסריג, יש שם 7 נקודות, ולכן לפחות 4 מהן צבועות באותו הצבע, נניח, בלי הגבלת הכלליות, שהן צבועות בכחול. נסתכל רק על הנקודות בעמודה האמצעית שהן בקו ישר לנקודה כחולה. אם יש שתי נקודות כאלה שצבען כחול, הרי שיש מלבן שכל קודקודיו בצבע כחול. אחרת, יש לפחות 3 נקודות אדומות שם. נסתכל על העמודה השמאלית ונבצע בו אותו התהליך, אם יש שם שתי נקודות כחולות אז יש מלבן שכל קודקודיו כחולים, ואם אין הרי שיש לפחות שלוש נקודות גם בעמודה השמאלית. אם יש שלוש נקודות אדומות גם בעמודה האמצעית וגם בעמודה השמאלית, אז ארבע מהן בהכרח יוצרות מלבן.
המחיר של 2 ק"ג אגסים ו-3 ק"ג אפרסקים הוא 18 ש"ח,
מה המחיר (או טווח המחירים האפשרי) של 3 ק"ג אגסים ו-4 ק"ג אפרסקים, בהנחה שהמחיר לק"ג של כל פרי אינו משתנה?
פתרון
נסמן את מחיר ק"ג אגסים ב- ואת מחיר ק"ג אפרסקים ב-. נתון בחידה:
ועלינו לגלות את ערכו של במשוואה . נכתוב משוואה זו בצורה: , נציב בה את הנתון ונקבל .
מהנתון נובע:
(המחיר המרבי של האגסים מושג כאשר האפרסקים מחולקים חינם)
(המחיר המרבי של האפרסקים מושג כאשר האגסים מחולקים חינם)
בהתאם לכך, הסכום מרבי כאשר ומזערי כאשר , ולכן , המחיר של 3 ק"ג אגסים ו-4 ק"ג אפרסקים, הוא לכל הפחות 24 ש"ח ולכל היותר 27 ש"ח.
מניחים צב קסמים בקצה אחד של מסילה באורך 10 מטרים. צב הקסמים קובע את מהירותו הרגעית להיות מרחקו הנוכחי מהקצה השני של המסילה, כך שבתחילת דרכו מהירותו היא 10 מטרים לשנייה, ובאופן כללי, כשמרחקו מקצה המסילה הוא x מטרים, מהירותו הרגעית היא x מטרים לשנייה.
מהי מהירותו הממוצעת של הצב בדרכו?
כעבור כמה זמן יגיע צב הקסמים מתחילת דרכו לאמצע המסילה?
פתרון
כדי לחשב את מהירותו הממוצעת של הצב נשתמש בנוסחה הידועה מהפיזיקה שמהירות ממוצעת שווה להעתק חלקי הזמן: . ההעתק ידוע, והוא אורך המסילה, 10 מטרים, ולכן נותר רק לחשב את הזמן שלוקח לצב לעבור מקצה אחד של המסילה, לקצה השני. נוכיח כי הזמן הזה הוא אינסוף, כלומר הצב לעולם לא יגיע לקצה המסילה. נסתכל על הצב כאשר הוא במרחק מטר מקצה המסילה, אז מהירותו שם היא 1 מטרים לשנייה, אבל היא גם יורדת ככל שהצב מתקדם, ולכן למעבר מנקודה זו עד לקצה המסילה נדרשת יותר משנייה אחת. אסתכל על הצב חצי מטר אחר כך, מהירותו שם היא 0.5 מטרים לשנייה וגם היא יורדת ככל שהצב מתקדם, ולכן גם משם עד סוף המסילה תעבור יותר משנייה אחת. אפשר להכיל את ההוכחה הזו לגבי כל נקודה ונקודה במסילה, ולכן מכל נקודה, לא משנה כמה היא קרובה לקצה המסילה, תעבור יותר משנייה אחת עד שהצב יסיים את מסלולו. מכאן נובע שהצב לעולם לא יגיע לקצה המסילה, ולכן הזמן הוא אינסופי. אם נציב את הנתונים בנוסחה, נקבל שהמהירות הממוצעת היא .
עכשיו נותר רק לחשב את הזמן שלוקח לצב להגיע מנקודת ההתחלה לאמצע המסילה.
עם יצירת הערך ה-50,000 במכלול החל ישי, קורא נלהב, לקרוא אותה מתחילתה, בסדר אלפביתי של הערכים (לפי רשימת כל הערכים). ישי קורא 30 ערכים מדי יום, ומדי יום נוספים למכלול 30 ערכים חדשים, בהתפלגות אחידה על פני כל רשימת הערכים. כמה ערכים יהיו במכלול כאשר ישי יסיים את קריאתה?
פתרון
במבט ראשון נוצר הרושם שישי לא יסיים לעולם את קריאת האנציקלופדיה, שהרי הוא קורא 30 ערכים ביום ובמקביל מתוספים 30 ערכים חדשים, כך שמספר הערכים שישי לא קרא נותר ללא שינוי. רושם זה מוטעה, מפני שככל שישי מתקדם בקריאת האנציקלופדיה (ואין ספק שהוא מתקדם, 30 ערכים מדי יום), יתחילו להתוסף ערכים חדשים גם בחלק שכבר קרא, וערכים אלה לא יפריעו להתקרבותו לסוף האנציקלופדיה. התקרבותו לסוף תהיה איטית מאוד בהתחלה, אך ככל שחולף הזמן היא תהפוך למהירה יותר.
functionreadwiki(){vartotal;// מספר הערכים הכוללvarcurrent=0;// מקומו הנוכחי של הקוראvarnewarticle;// מקומו של הערך החדשfor(total=50000;current<total;total++){newarticle=Math.floor(Math.random()*(total+1));if(newarticle<=current){current++}// הערך החדש נוסף לפני הערך שבו נמצא הקוראcurrent++}alert(total)// הצג את מספר הערכים בסיום קריאת האנציקלופדיה}
התוצאה: כאשר ישי יסיים את קריאת המכלול, יהיו בו כ-136,000 ערכים (כיוון שמעורבת כאן אקראיות, במיקומו של ערך חדש יחסית למיקומו של ישי, לא ניתן לנקוב במספר מדויק, אך הרצות אחדות של התוכנית מגלות שהתוצאות הן סביב 136,000 ערכים).
לקבלת פתרון אנליטי נעבור מגרסה בדידה של החידה לגרסה רציפה שלה: חילזון זוחל על גומייה אידיאלית שיכולה להימתח עד אינסוף, ובאותו זמן סוס הקשור לקצה הגומייה שאליו זוחל החילזון מתקדם ומותח את הגומייה. כמה זמן יקח לחילזון, אם בכלל, להגיע לקצה השני?
תשובה: נסמן ב- את קצב הזחילה, וב- את קצב הארכת הגומייה. לאחר זמן נוסף אורך של לאורך המקורי L. לכן האורך הוא: .
אם החילזון נמצא במרחק מתחילת הגומייה הרי החלק ה- מהתוספת יהיה מאחוריו, לכן בכל רגע הוא מתרחק מההתחלה במהירות זוהי המהירות האמיתית של החילזון. ואז: או: .
נסמן ונקבל את המשוואה: שפתרונה (באמצעות וולפרם אלפא) הוא: כאשר הוא קבוע. מתוך התנאי נקבל ש: ומכאן .
נציב ונקבל שהחילזון יסיים את המסלול לאחר זמן: .
במקרה שלנו , מה שנותן לנו זמן של . נכפיל בקצב התוספת ונוסיף את האורך המקורי ונקבל: . זה בערך .
בצלחת פטרי "מניחים" חיידק אשר מכפיל את עצמו פעם בארבע דקות. כל אחד מתוצריי ההכפלה מכפיל את עצמו גם הוא פעם בארבע דקות. כעבור שעה מתמלאת צלחת הפטרי עד אפס מקום בתוצרי ההכפלה. כעת, בצלחת פטרי אחרת מניחים שני חיידקים מאותו הסוג המתרבה פעם בארבע דקות. כמה זמן ייקח לצלחת הפטרי בעלת שני החיידקים להתמלא עד אפס מקום?
פתרון
שעה פחות ארבע דקות, שהן 56 דקות. בצלחת הפטרי הראשונה היו שני חיידקים לאחר הכפלה אחת של החיידק, כלומר – אחרי ארבע דקות. לאחר מכן עברו 56 דקות עד שהצלחת התמלאה עד אפס מקום. צלחת הפטרי השנייה התחילה מהמצב בו הייתה הראשונה לאחר אותן ארבע דקות.
בנובמבר 2010 הודיע האנטר ווק, מנהל מוצר באתר YouTube, כי מדי דקה מועלים לאתר סרטוני וידאו באורך כולל של 35 שעות (מקור: אנשים ומחשבים). טוביה הוא צופה נלהב באתר YouTube, והוא נחוש בדעתו שלא להחמיץ אף סרטון שבאתר, נוכחי או עתידי (מובן שברגע נתון טוביה צופה רק בסרטון אחד). מה התנאי שיש לקיים, כדי שטוביה יצליח להגשים את רצונו?
פתרון
בתורת הקבוצות, מאפיין מובהק של קבוצה אינסופית הוא יכולתה להיות שקולה (כלומר בעלת אותה עוצמה) לתת קבוצה שלה השונה ממנה. אילו טוביה היה זוכה לחיי נצח, לכל דקה של פעילות באתר YouTube הוא יוכל לקבוע, באמצעות התאמה חד-חד ערכית, את המועד שבו יצפה בסרטונים שהועלו בה: את הסרטונים שהועלו בדקה הראשונה יראו טוביה ב-35 השעות הראשונות, את הסרטונים שהועלו בדקה השנייה יראה טוביה ב-35 השעות הבאות, וכך הלאה. לא יהיה סרטון שטוביה יאלץ לומר לגביו: "לעולם לא אספיק לראות סרטון זה". גם בשיטה זו לעולם לא יוכל טוביה להתרווח בכסאו ולומר: "זהו, ראיתי את כל הסרטונים שבאתר YouTube", משום שבכל זמן נתון ישארו סרטונים רבים שהוא טרם צפה בהם.
צפרדע יושבת על צומת (כלומר נקודה ששיעוריה הם מספרים שלמים) במישור קרטזי. בקפיצה ראשונה היא יכולה לקפוץ לכל צומת אחרת. בקפיצות הבאות היא חייבת לשמור כל הזמן על אותו וקטור (כלומר אותו כיוון ואותו אורך; למשל, אם היא קפצה מ-(3,7) ל-(10,6) אז הקפיצה הבאה תהיה ל-(17,5) ואחריה (24,4) וכן הלאה) המטרה היא לגלות היכן ממוקמת הצפרדע. המשחק הולך בצורה כזאת: בכל פעם עליך לנחש נקודה מסוימת. אם טעית, הצפרדע קופצת פעם אחת, ואחר כך אתה מנסה שוב למצוא את הנקודה, ושוב הצפרדע קופצת, וכן הלאה. נקודת ההתחלה ווקטור הקפיצה אינם ידועים. האם אפשר לגלות תמיד, במספר סופי של ניסיונות, היכן הצפרדע?
רמז
נסו לפתור קודם עבור המקרה החד-ממדי
פתרון
פתרון עבור המקרה החד-ממדי: נסמן את נקודה ההתחלה של הצפרדע ב-x, את גודל הקפיצה ב-a, ואת מספר השלב ב-t. בכל שלב, מיקום הצפרדע הוא x+ta. t ידוע, ולפיכך יש למצוא את x ואת a. כידוע, קבוצת המספרים הטבעיים וקבוצת הזוגות של מספרים שלמים הן שקולות, ועל כן נוכל "להצמיד" לכל שלב זוג (x,a) באופן שנכסה את כל הזוגות. לכן בכל תור יש לחשב את x+ta המתאים, ולנחש באותו מקום, וכיוון שההתאמה היא על, מובטח שנגיע בשלב מסוים לנקודה הנכונה.
קל להכליל את הפתרון למקרה הדו-ממדי: הפעם יש ארבעה משתנים x,y,a,b כאשר (x,y) היא נקודת ההתחלה ו-(a,b) הוא וקטור הקפיצה. כיוון שקיימת התאמה גם בין קבוצת הטבעיים לרביעיות של שלמים, הפתרון יעבוד גם פה.
ישנן 100 קופסאות מסודרות בשורה בחדר ובתוך כל אחת מהן פתק שבו מספר טבעי בין 1 ל-100 (אף מספר לא חוזר פעמיים). לאיש אחד ניתנת האפשרות לפתוח את כל הקופסאות ולהחליף בין הפתקים של שתיים מהקופסאות. לאיש אחר ניתן מספר בין 1 ל-100 (שלא ידוע לראשון) אותו הוא צריך למצוא על ידי פתיחת 50 קופסאות לכל היותר. באיזו אסטרטגיה כדאי להם לנקוט כדי להצליח במשימה משותפת זו?
פתרון
נתייחס לכל קופסה כמצביע לקופסה שמספרה רשום בפתק. כיוון שכל קופסה מצביעה לקופסה אחת ומוצבעת על ידי קופסה אחת, בהכרח כל קופסה היא חלק ממעגל פשוט יחיד. כיוון שיש 100 קופסאות, ניתן לוודא שלא יהיה מעגל הגדול מ-50. אם קיים אחד כזה, האדם הראשון יפצל אותו לשני מעגלים על ידי החלפת הפתקים בין שתיים מקופסאות המעגל שאורך המסלול בין כל אחת מהן לרעותה קטן או שווה 50. האדם השני יפתח את הקופסה שאת מספרה קיבל, ומספר הניסיונות שלו יהיה כגודל המעגל שמכיל את קופסה זאת.
נתון מלון דמיוני שבו אינסוף חדרים. המלון הזה הוא הצלחה מסחררת - כל החדרים בו תפוסים.
מגיע אדם נוסף ומבקש חדר. האם ניתן להביא לו חדר פנוי?
למחרת מגיע אוטובוס ובו אינסוף אנשים. האם ניתן לתת לכולם חדר?
למחרת מגיעים אינסוף אוטובוסים, ובכל אחד מהם אינסוף אנשים. האם ניתן לסדר לכולם מקום?
ומה אם מגיע אוטובוס עם כל האנשים בעלי תעודות הזהות האינסופיות שמכילות רק ספרות 0 או 1?
פתרון
חידה זאת מבוססת על "המלון של הילברט" שהוא סיפור שבא להדגים את התכונות הלא אינטואיטיביות של קבוצות אינסופיות. התשובה לכל השאלות חיובית, והפתרון הוא כדלהלן:
נבקש מכל אורח לעבור לחדר הבא: 1 יעבור ל-2, 2 ל-3, 3 ל-4 וכן הלאה. בצורה כזאת כל אורח יקבל חדר, והחדר הראשון יתפנה לאורח הנוסף.
נבקש מכל אורח לעבור לחדר שמספרו כפול: 1 יעבור ל-2, 2 ל-4, 3 ל-6 וכן הלאה. בצורה כזאת האורחים הקודמים ישכנו רק בחדרים זוגיים, והחדרים האי-זוגיים יהיו פנויים לאורחים החדשים.
נשכן את אנשי האוטובוס הראשון בחדרים שמספרם הוא מהצורה , השני בחדרים מהצורה וכן הלאה (כאשר הבסיסים הם המספרים הראשוניים) ואת אורחי המלון המקוריים נעביר לחדרים במספרים הפריקים בעלי לפחות שני גורמים ראשוניים שונים (6, 10, 14, 15, 21 וכן הלאה). כיוון שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים, יהיה מקום לכל האורחים החדשים.
.gif)
![{\displaystyle \ {\sqrt[{4}]{4}}-{\sqrt[{4}]{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5fb2d173e083ea1ad6f961c76cb79c338ad50d6)
![{\displaystyle \ {\sqrt[{4}]{4}}^{4}-4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cddc6114cce9f1a3c8f1373042e03a0c42a47dcd)
![{\displaystyle \ {\sqrt[{4}]{4}}/{\sqrt[{4}]{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22fec8e0a870663fa1480ee555e3f20bed716cf3)
![{\displaystyle \ {\sqrt[{4}]{4}}^{4}/4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9227753685420a53f77e1038924ac0c41ec486c2)
![{\displaystyle \ \log[(44-4)/4]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44f0ed8220dafc305c48538d4118250499b6b983)
![{\displaystyle \ 4-{\sqrt[{4}]{4\times 4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39851dbeb6f22622ae8efa82bdc8c940e9a8fc49)
![{\displaystyle \ {\sqrt[{4}]{4}}\times {\sqrt[{4}]{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34a84449ed8e84b78999787d6a419fc5f6dd6ea8)
![{\displaystyle \ {\frac {4}{\sqrt[{4}]{4^{\sqrt {4}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03553af7bbd7760252926f58268cfd6dbb5daa56)
![{\displaystyle \ [(4+4+4)/4]!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbd9c64db0f94757feec3b6e4a4ee9da5f5a997f)
![{\displaystyle \ [(4\times 4-4)/4]!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc6a029d59d0e9398220305de5c19bd0e3eb54aa)
![{\displaystyle \ [{\sqrt {4}}+(4/4)^{4}]!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce8550cd280e148c757b93bee1db5a0281d2507d)
![{\displaystyle \ {\sqrt[{4}]{4\times 4}}+4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cb837233542ff9c613da1cffffafc318d78fab5)
![{\displaystyle \ {\sqrt[{4}]{4}}^{4}+4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77a226046c0c6e3aef1b27963b4b3b3d20825664)
![{\displaystyle \ 4!-{\sqrt[{4}]{4\times 4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05524bbda4ae3dd4d93bf56764ec68e56602467a)
![{\displaystyle \ [4\times (4-4)+4]!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cf3e266a42c36e4b6f595cef58ad0158b6c2f34)
![{\displaystyle [\left(4-{\frac {4}{4}}\right)!-{\sqrt {4}}]!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dafcaed8d7a362ed741ecb2a4468ab515e732571)
![{\displaystyle \ 4!+{\sqrt[{4}]{4\times 4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba4d6bca5ca4713daafc1aa1e0bacfaef24fed4d)
![{\displaystyle \ 4!\times {\sqrt[{4}]{4\times 4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/069ed886bc38a6efc695d35a01f2620ad9ad86e9)
![{\displaystyle \ 4!\times {\sqrt[{4}]{4^{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23a1826b6fd579f1aac48e95116fae905dde5292)
![{\displaystyle {\sqrt[{\sqrt {4}}]{(4+{\sqrt {4}})\zeta ({\sqrt {4}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bec60b21523a170bd72f6bcf6e3cc3db2c0be915)
![{\displaystyle \left[\Gamma \left({4 \over 4+4}\right)\right]^{\sqrt {4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3968889c2e57fe8971fb2afbf7326059a039cc5c)
