לאונרד אוילר

לאונרד אוילר
Leonhard Euler

לידה	15 באפריל 1707
פטירה	18 בספטמבר 1783 (בגיל 76)
ענף מדעי	מתמטיקה
מקום מגורים	שווייץ, גרמניה, רוסיה
הערות	נחשב לאחד המתמטיקאים הבולטים ביותר בכל הזמנים

לאונרד אוֹילֶר (בגרמנית: Leonhard Euler (מידע • עזרה)‏; 15 באפריל 1707 - 18 בספטמבר 1783) היה מתמטיקאי ופיזיקאי שווייצרי דגול, שבילה את רוב חייו ברוסיה ובגרמניה. אוילר תרם תרומה מכרעת לתחומים רבים ומגוונים במתמטיקה. הוא גם הגה רבים מהמינוחים ומסימני המתמטיקה המודרניים. כמו כן, הוא ידוע בזכות עבודותיו במכניקה, באופטיקה ובאסטרונומיה.

אוילר נחשב למתמטיקאי המוביל של המאה ה-18 ולאחד מהבולטים ביותר בכל הזמנים. הוא פרסם 886 ספרים ומאמרים בימי חייו, ונחשב לפורה יותר מאשר כל מתמטיקאי אחר בהיסטוריה. ישנם מאות מושגים במתמטיקה הנקראים על שמו. אמרה המיוחסת לפייר סימון לפלס באה לתאר את גדולתו והשפעתו של אוילר במתמטיקה: "למדו מאוילר, למדו מאוילר, הוא המאסטר של כולנו".

ביוגרפיה

שטר שווייצרי של 10 פרנקים לכבוד אוילר, המתמטיקאי השווייצרי המצליח ביותר בהיסטוריה

לאונרד אוילר נולד בבזל לפאול אוילר, כומר של הכנסייה המתוקנת, ולמרגרט ברוקר, שהייתה אף היא בת למשפחת כמרים. לאוילר היו שתי אחיות צעירות ממנו בשם אנה מריה ומריה מגדלנה. זמן קצר לאחר הולדתו היגרה משפחת אוילר מבזל לעיר ריהן, בה בילה אוילר את רוב ילדותו. פאול אוילר היה חבר של משפחת ברנולי ושל יוהאן ברנולי, שנחשב אז לאחד המתמטיקאים החשובים באירופה, ואשר השפיע רבות על אוילר הצעיר. את חינוכו המוקדם רכש אוילר בבזל, שם נשלח לגור עם סבתו. בגיל 13 נרשם ללימודי פילוסופיה באוניברסיטת בזל, וב־1723, והוא בן 16 בלבד, הוענק לו תואר שני בפילוסופיה, על תזה שהשוותה בין הפילוסופיה של רנה דקארט לזו של אייזק ניוטון. באותה התקופה הוא קיבל שיעורי אחר־הצהרים במתמטיקה מיוהאן ברנולי, שעמד במהרה על כשרונו המתמטי יוצא הדופן של תלמידו החדש.

בהשפעת אביו, למד אוילר בתקופה זו תאולוגיה, יוונית ועברית, במטרה ללכת בדרכיו ולהיות כומר. לאחר שיוהאן ברנולי שכנע את פאול אוילר כי לאונרד נועד להיות מתמטיקאי דגול, התיר האב לבנו ללמוד מתמטיקה. ב־1726 השלים אוילר את עבודת הדוקטורט שלו על מהירות הקול, שכותרתה הייתה "De Sono". ב־1727 הוא נרשם לתחרות של האקדמיה הצרפתית למדעים, שעסקה באותה השנה במציאת המיקום האופטימלי של התרנים באונייה. הוא זכה במקום השני, והפסיד רק לפייר בוגה, המוכר כיום כ"אבי האדריכלות הימית". במהלך הקריירה שלו עתיד היה אוילר לזכות בפרס האקדמיה הצרפתית 12 פעמים.

סנקט פטרבורג

באותה תקופה שני בניו של יוהאן ברנולי, דניאל ברנולי וניקולס ברנולי, עבדו באקדמיה למדעים של האימפריה הרוסית, בסנקט פטרבורג. ב־1726 נפטר ניקולס מדלקת התוספתן אחרי שעברה עליו שנה ברוסיה וכאשר דניאל קיבל על עצמו את משרת אחיו בחלוקה של מתמטיקה/פיזיקה, הוא המליץ שאת המשרה שפינה בפיזיולוגיה יתפוש חברו אוילר. בנובמבר 1726, אוילר קיבל בלהיטות את ההצעה, אבל דחה את ההגעה לסנקט פטרבורג. עוד בזמן שהותו בבזל הוא ניסה, ללא הצלחה, להתמחות כפרופסור לפיזיקה באוניברסיטת בזל.

בול משנת 1957 של האגודה הסובייטית לרגל יום הולדתו ה־250 של לאונרד אוילר, המתמטיקאי הדגול

אוילר הגיע לבירת רוסיה ב־17 במאי 1727, שם הוא קודם ממשרתו הקודמת במחלקת הרפואה של האקדמיה למחלקת המתמטיקה. הוא התגורר באותה דירה יחד עם דניאל ברנולי ושיתף אתו פעולה בעבודתו. אוילר למד היטב את השפה הרוסית והחליט להתיישב בסנקט פטרבורג. הוא גם לקח על עצמו עבודה נוספת כקצין רפואה בצי הרוסי.

האקדמיה בסנקט פטרבורג, שיוסדה על־ידי פיוטר הגדול, יועדה לשפר את החינוך ברוסיה ולאחות את הנתק המדעי בין רוסיה למערב אירופה. כתוצאה מכך, הפכה האקדמיה מושכת במיוחד עבור מלומדים זרים כגון אוילר: האקדמיה שלטה במשאבים פיננסיים שופעים וכללה ספרייה מקיפה שנלקחה מן הספריות הפרטיות של פטר עצמו ושל האצולה. תלמידים מעטים נרשמו לאקדמיה, כך שעומס ההוראה הופחת והאקדמיה העניקה לחברי הסגל הן את הזמן והן את החופש לשקוד על מחקר מדעי.

התורמת של האקדמיה, יקתרינה הראשונה, שהתאמצה להמשיך את מדיניות בעלה המנוח פטר, נפטרה ביום הגעתו של אוילר. האצולה הרוסית שאבה כוח רב מעלייתו של פיוטר השני בן ה־12. האצולה הייתה חשדנית מאד כלפי המדענים הזרים שהגיעו לרוסיה ולכן החליטה להפסיק את המימון ובכך גרמה נזק רב לאוילר ועמיתיו.

התנאים השתפרו במקצת לאחר מותו של פיוטר השני ב־1730 ואוילר התקדם במהירות רבה במעלה הדרגות האקדמיות והפך לפרופסור לפיזיקה ב־1731. שנתיים מאוחר יותר, דניאל ברנולי, שנפגע קשות מן הביקורת ומן העוינות שהפנו כלפיו עמיתיו בסנקט פטרבורג, שב לבזל ואוילר החליף אותו בהצלחה כראש המחלקה למתמטיקה.

ב־7 בינואר 1734, נישא אוילר לקתרינה גיסל, בת של אומן מן האקדמיה גימנזיום. הזוג הצעיר קנה בית ליד נהר נייבה. מבין 13 הצאצאים שהביאו לעולם שרדו רק 5.

ברלין

קובץ:Euler GDR stamp.jpg

בול גרמני לציון יום מותו ה־200 של אוילר. באמצע מופיעה נוסחת הפאון שלו

מודאג מהמהפכה המתמשכת ברוסיה, התלבט אוילר לגבי המשך שהייתו בסנקט פטרבורג. לבסוף הציע לו פרידריך הגדול מפרוסיה משרה באקדמיה של ברלין, אותה החליט לקבל. הוא עזב את סנקט פטרבורג ב־19 ביוני 1741 וחי את 25 השנים הבאות בברלין, בה כתב למעלה מ־380 מאמרים. בברלין הוא פרסם את שתי היצירות אשר הביאו לו את הפרסום הרב מכול: "Introductio in analysin infinitorum" (מבוא לניתוח האינסוף), חיבור קלאסי וחשוב על פונקציות ועל טריגונומטריה גבוהה שפורסם ב־1748 והניח את יסודות האנליזה המתמטית; ו־"institutiones calculi differentialis", חיבור בחשבון אינפיניטסימלי, בו פיתח את מושג הפונקציה במתמטיקה אנליטית על־ידי כך שהמשתנים היו מקושרים אחד לשני, וקידם את השימוש של כמויות זעירות ואינסופיות.

בנוסף, התבקש אוילר להדריך את הנסיכה של אנהלט־דסאו, אחייניתו של פרידריך. הוא כתב למעלה מ־200 מכתבים אליה, אשר מאוחר יותר קובצו לכרך רב־מכר שכותרתו "מכתבים של אוילר לגבי נושאים שונים בפילוסופית הטבע שנשלחו לנסיכת גרמניה", או בקיצור, "מכתבים לנסיכת גרמניה". הכרך ביטא את השקפותיו של אוילר על תחומים שונים בפיזיקה ובמתמטיקה, והעניק הזדמנות נדירה לצפות באישיותו ובאמונותיו הדתיות. כרך זה זכה לפופולריות רבה יותר מאשר כל אחת מעבודותיו במתמטיקה, ופורסם בכל אירופה וכן בארצות הברית. הצלחת המכתבים העידה על יכולתו של אוילר להציג נושאים מדעיים בצורה נהירה לציבור הרחב, יכולת נדירה יחסית לחוקר מדעי מסור.

על אף תרומתו העצומה של אוילר ליוקרתה של האקדמיה, הוא נאלץ לעזוב את ברלין, בעיקר בגלל עימות אישי עם פרידריך. פרידריך החשיב את אוילר לחסר תחכום בהשוואה לפילוסופים שהמלוכה הגרמנית הביאה לאקדמיה. וולטר הועסק אף הוא על־ידי המלך, ונהנה ממקום מועדף במעגל החברתי של המלך. אוילר, איש דתי פשוט ועובד מסור, היה שגרתי מאד באמונותיו, בדעותיו ובטעמיו. במובנים רבים הוא היה ההפך מוולטר. לאוילר היה ניסיון מוגבל בלבד ברטוריקה, והוא נטה לדון בדברים עליהם ידע מעט, וכך הפך את עצמו תדיר למטרה ישירה לשנינותו של וולטר. פרידריך התאכזב גם מיכולתו ההנדסית של אוילר, וכאשר ביקש ממנו לבצע חישוב הנדרש לבניית מזרקה בגני המלך, שגה אוילר בחישוביו והבנייה נכשלה בצורה מחפירה.

בעיות ראייה

דיוקן של אוילר משנת 1753. בדיוקן ניתן לראות את עינו הימנית הפגומה של אוילר.

ראייתו של אוילר הידרדרה במהלך חייו. שלוש שנים לאחר שסבל מקדחת כמעט קטלנית ב-1735, הוא כמעט והתעוור בעינו הימנית. הוא תלה את הסיבה לכך בתנאים הקשים בהם עבד בסנקט פטרבורג במחקר בקרטוגרפיה. ראייתו של אוילר בעין ימין הידרדרה כל כך במהלך שהותו בגרמניה, עד שפרידריך התייחס אליו כאל "קיקלופ". ב־1766 החל אוילר לסבול מקטרקט בעינו השמאלית, שהותיר אותו עיוור לגמרי תוך שבועות ספורים. ברם, ראייתו המשובשת לא פגמה ביכולת היצירה שלו, וב־17 שנותיו האחרונות הוא יצר כמעט מחצית מעבודתו, הישג נדיר גם בקרב פיקחים. הוא פיצה על עוורונו ביכולת חישובית יוצאת דופן ובזיכרון מצוין. לדוגמה, הוא היה מסוגל לדקלם בעל פה את האינאיס של ורגיליוס מבלי לטעות, ומאוחר יותר גם היה יכול לצטט מזכרונו את המשפט הראשון והאחרון בכל עמוד מעמודי יצירה זו. עד ראייה שהתבונן בו עובד פעם העיד: "אוילר עורך חישובים מסובכים ללא כל מאמץ ניכר, ממש כשם שאנשים אחרים נושמים או כשם שנשרים נושאים עצמם באוויר".

בחזרה לרוסיה

קברו של אוילר

המצב ברוסיה השתפר משמעותית לאחר שיקתרינה הגדולה עלתה לשלטון. ב־1766 נענה אוילר להצעתה, וחזר לאקדמיה של סנקט פטרבורג, בה התגורר למשך שארית חייו. על שהותו השנייה בסנקט פטרבורג העיבה טרגדיה; שריפה שפרצה ב־1771 בעיר החריבה את ביתו וכמעט שגרמה למותו. ב־1773 הוא איבד את אשתו, לה היה נשוי 40 שנה. אוילר הושפע קשות משתי הטרגדיות, אולם נישא מחדש שלוש שנים מאוחר יותר.

ב־18 בספטמבר 1783, נפטר אוילר בסנקט פטרבורג משבץ מוחי ונקבר במבנה בדרום העיר. הפילוסוף והמתמטיקאי הצרפתי, המרקיז דה קונדורסה, אמר עליו:

"il cessa de calculer et de vivre... - ... הוא הפסיק לחשב ולחיות"

פועלו של אוילר

עבודתו של אוילר הקיפה כמעט כל תחום אפשרי במתמטיקה: גאומטריה, אנליזה מתמטית, תורת הגרפים, אלגברה, תורת המספרים ועוד. תרומותיו בפיזיקה עוסקות בתנועת הירח ובתחומים נוספים. לפוריותו של אוילר אין שני בתולדות המתמטיקה; רק פאול ארדש, המתמטיקאי בן המאה ה-20, הגיע לתפוקה קרובה.

סימונים

אוילר המציא סימנים מתמטיים שהפכו לנחלת הכלל. עמם נמנים: $i$ - היחידה המדומה, $e$ - בסיס הלוגריתם הטבעי, אשר אוילר הוכיח שהוא מספר אי-רציונלי (למעשה אוילר הוכיח שגם $e^{2}$ אי-רציונלי), $f(x)$ כצורת סימון לפונקציה של המשתנה $x$ (במקום לרשום את הפונקציה בצורה ישירה), הסימן $\pi$ כיחס בין היקף המעגל לקוטרו, $\Sigma$ כסכום, הסימונים המודרניים לפונקציות הטריגונומטריות, ועוד. הוא גם הגדיר את הקבוע המסומן באות $\gamma$ הקרוי קבוע אוילר-מסקרוני.

אנליזה

פיתוח החשבון האינפיניטסימלי והאנליזה היה משאת נפשם של מתמטיקאים בני המאה ה-18. בתחום זה אולי השפיע אוילר יותר מכל, ורעיונותיו הובילו להתקדמויות אדירות. אוילר הביא לעולם את רעיון ההצגה של טור חזקות אינסופי ופיתוחו, כמו התגלית:

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right)$

ב־1735 פתר אוילר את בעיית בזל והוכיח כי

$\zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

הצגה גאומטרית של נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)

פתרון בעיית בזל זיכה את אוילר בתהילה אדירה, מאחר שבעיה זו ניצבה ללא פתרון במשך זמן רב, חרף ניסיונותיהם של המתמטיקאים הדגולים שקדמו לאוילר, בהם בני משפחת ברנולי וגוטפריד וילהלם לייבניץ. במסגרת מחקרו על פונקציית זטא הכליל אוילר את הבעיה והצליח, בהישג נדיר של האנליזה המתמטית של המאה ה-18, למצוא ביטוי המתאר את הערכים של פונקציית זטא לכל מספר טבעי זוגי $\zeta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}$ . בהמשך חייו אוילר חקר רבות את פונקציית זטא, וכשניסה ללא הצלחה למצוא צורות מתמטיות סגורות לערכים המדויקים של $\zeta (2n+1)$ , הוא הגדיר פונקציות הנקראות כיום פונקציות זטא מכופלות (multiple zeta functions), וגילה מספר זהויות יפות הקושרות אותן לפונקציית זטא, למשל: $\zeta (2,1)=\zeta (3)$ .

אוילר הציג ופיתח את השימוש של פונקציה מעריכית ושל לוגריתמים בהוכחות אנליטיות. הוא גילה דרכים לתאר מגוון פונקציות לוגריתמיות כטורים אינסופיים, ובאחת מעבודותיו החשובות הצליח לשלב בין לוגריתמים לבין תורת המספרים המרוכבים. הוא הגדיר את הפונקציה המעריכית עבור מספרים מרוכבים, וגילה את הקשר בינה לבין פונקציות טריגונומטריות, המובא בנוסחה הבאה: לכל מספר ממשי $x$ , נוסחת אוילר קובעת כי: $e^{xi}=\cos(x)+i\sin(x)$ .

מקרה פרטי של נוסחה זו נקרא זהות אוילר, הקושרת חמישה קבועים מתמטיים בסיסיים מעולמות שונים: $e^{\pi i}+1=0$ . לזהות זו קרא לימים הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן "הזהות הפלאית ביותר במתמטיקה".

אוילר קידם את התורה של פונקציות טרנסצנדנטיות גבוהות על־ידי ההצגה של פונקציית בטא ושל פונקציית גמא, המהווה הרחבה של פונקציית העצרת אל שדה המספרים המרוכבים. הוא גם מצא שיטה חדשה לפתרון משוואות ממעלה רביעית. הוא מצא שיטה לחשב אינטגרל עם גבולות מרוכבים, ובכך הביא את בשורת האנליזה המרוכבת. הוא פיתח את חשבון הווריאציות יחד עם ז'וזף לואי לגראנז'. התוצאה המפורסמת הנובעת משיתוף פעולה זו ידועה כמשוואת אוילר-לגראנז'.

אוילר הוביל את השימוש בשיטות אנליטיות כדי לפתור בעיות בתורת המספרים. בעשותו זאת הניח את היסודות של תורת המספרים האנליטית. בתחום זה, אוילר יצר את התורה של טורים היפרגאומטריים, סדרת q, פונקציות היפרבוליות ושברים משולבים. לדוגמה, הוא תרם תרומה מכרעת לפתרון משוואת פל באמצעות שברים משולבים, הוכיח באופן מקורי באמצעות הטור ההרמוני כי קיימים אינסוף מספרים ראשוניים, ואף השתמש בשיטות אנליטיות כדי להגיע להבנה מסוימת של התפלגות המספרים הראשוניים. עבודתו של אוילר בתחום זה הובילה למשפט המספרים הראשוניים.

תורת המספרים

אוילר החל להתעניין בתורת המספרים בהשפעת חברו, כריסטיאן גולדבך. חלק נכבד מעבודתו המוקדמת של אוילר מבוסס על עבודתו של פייר דה פרמה. מאז פרמה ועד הופעתו של אוילר לא קם מתמטיקאי מוכשר דיו כדי להוכיח את השערותיו הבלתי מוכחות של הראשון, ושיכול היה לפרוץ דרך בהבנת הרעיונות שמאחורי המשפטים בתורת המספרים. אוילר הוכיח רבות מהשערותיו של פרמה, פיתח את רעיונותיו (הסמויים), גילה תוצאות רבות חדשות והוסיף השערות משלו. מכלול העבודות שלו העשירו רבות את התחום, והוא היה הדמות המרכזית בהתפתחות תורת המספרים במאה ה־18.

אוילר הוכיח את זהויות ניוטון, את המשפט הקטן של פרמה ואת משפט פרמה על סכום של שני ריבועים, ותרם תרומה מכרעת להוכחת משפט ארבעת הריבועים של לגראנז'. הוא המציא את פונקציית אוילר $\phi (n)$ , שהיא מספר המספרים הטבעיים הקטנים או שווים ל־$n$ שזרים לו. באמצעות תכונות הפונקציה הזו הוא הכליל את המשפט הקטן של פרמה למה שכעת ידוע בתור משפט אוילר. אוילר תרם משמעותית לתאוריה של מספרים משוכללים, אשר ריתקו מתמטיקאים עוד מאז ימי אוקלידס. אוילר ביצע התקדמות לקראת משפט המספרים הראשוניים. ב־1783, שנת מותו, הוא שיער את משפט ההדדיות הריבועית, משפט מפתח בנוגע לשאריות ריבועיות, המאפשר לקבוע את פתירותה או אי־פתירותה של כל משוואה ריבועית בחשבון מודולרי (שהתגלה אחרי זמנו של אוילר).

אוילר נעזר בשיקולים אנליטיים עמוקים כדי להשיג הבנה כיצד מתפלגים המספרים הראשוניים בקרב המספרים הטבעיים, ובכך הוא חזה את תורת המספרים האנליטית. הוא הוכיח את התבדרות סכום הערכים ההופכיים של המספרים הראשוניים. בעשותו כך, הוא חשף את הקשר העמוק בין פונקציית זטא של רימן והמספרים הראשוניים. קשר זה ידוע בתור מכפלת אוילר לפונקציית זטא של רימן.

באמצעות מניפולציות על פונקציות יוצרות, שיטה חדשנית לזמנו, הגיע לתוצאות רבות על חלוקות של מספרים. בין השאר הוכיח את משפט החלוקה של אוילר ואת משפט המספרים המחומשים.

בשנת 1772 הוכיח אוילר כי המספר 2,147,483,647 הוא מספר מרסן ראשוני. מספר זה נשאר המספר הראשוני הידוע הגדול ביותר עד שנת 1876.

תורת הגרפים

מפה של קניגסברג בזמנו של אוילר מציגה את מיקומם האמיתי של שבעת הגשרים ונהר פרגל

ב־1735 פתר אוילר בעיה הידועה כבעיית הגשרים של קניגסברג. פתרונו זה של אוילר הניח את היסודות לתורת הגרפים, והיה המשפט הראשון שנוסח בתחום זה. העיר קניגסברג שבפרוסיה משתרעת על שני עברי נהר הפרגוליה, ובה שני איים גדולים המחוברים אחד לשני וליבשה המרכזית באמצעות חמישה גשרים, שני גשרים נוספים עברו מעל שתי שלוחות של הנהר. הבעיה היתה לקבוע האם אדם יכול להתחיל ללכת מנקודה כלשהי בעיר ולעבור על כל גשר בדיוק פעם אחת. לצורך פתרון הבעיה אוילר חקר את תכונותיו של גרף שקיים בו מסלול כזה (אשר לימים נודע כמסלול אוילר) והוכיח שמסלול כזה קיים אם ורק אם הגרף לא מכיל אף צומת מדרגה אי־זוגית, או שהוא מכיל שני צמתים כאלה בדיוק. אם נתייחס לכל אחד מארבעת גושי היבשה בעיר כצומת ולכל גשר כקשת בין שני צמתים ניתן לראות בנקל שכל הצמתים הם מדרגה אי־זוגית ועל כן מסלול כזה לא קיים. תוצאה זו פתחה פתח לתחום מחקר בשם תורת הגרפים אשר נותר פורה עד היום.

בהקשר זה ראוי לציין את פתרונו של אוילר לחידת מסע הפרש; החידה מהווה מקרה פרטי של בעיה חשובה בתורת הגרפים - מציאת מסלול המילטוני בגרף.

אוילר גם גילה את הנוסחה V − E + F = 2, שמקשרת בין מספר הקודקודים, הצלעות, והפאות של פאון קמור, ולחלופין של גרף מישורי. הקבוע בנוסחה זו ידוע כעת כמאפיין אוילר של הגרף (או של אובייקט מתמטי אחר), והוא קשור לגנוס של האובייקט. יתרה מכך, אוילר נעזר בנוסחה הזו כדי להוכיח מחדש את התוצאה העתיקה שישנם רק 5 פאונים אפלטוניים, ובכך הדגים הוכחה מנקודת מבט שונה לחלוטין מאילו שנראו עד אז. המחקר המתמטי שנערך במאה ה-19 על הנוסחה הזו, במיוחד על־ידי קושי ואחרים, הוא מקורו של ענף המתמטיקה הקרוי טופולוגיה.

גאומטריה

אוילר לא פעל הרבה בתחום הגאומטריה. אף־על־פי־כן הוא גילה מספר משפטים ועובדות חשובות בגאומטריה, בהם: משפט אוילר לגבי מעגל חוסם ומעגל חסום במשולש, גילה את ישר אוילר ומעגל אוילר ואת תכונותיהם, ועוד. אוילר גם חקר את השאלה מהו מספר הטריאנגולציות של מצולע קמור בן $n$ צלעות, בעיה שהתעוררה במסגרת עבודתו הגאומטרית אולם קשורה קשר הדוק לקומבינטוריקה. אוילר פתר את הבעיה ומצא ביטוי מתמטי נכון לכל $n$ , ותיאר את הקשר בינו למה שכיום נקרא מספרי קטלן (משפט אוילר על חלוקת מצולעים). מחקרו המתמטי של אוילר נגע גם בגאומטריה דיפרנציאלית. אוילר חקר רבות את התאוריה של משטחים והעקמומיות של משטחים, והגיע לתוצאות ניכרות. בין השאר הכליל את הנוסחה לעקמומיות בנקודה ממישור למשטח כלשהו במרחב. תוצאות לא מפורסמות רבות של אוילר בגאומטריה דיפרנציאלית התגלו מחדש באופן בלתי־תלוי בידי גאוס.^{[דרוש מקור]}

מתמטיקה שימושית

כמה מהצלחותיו הגדולות ביותר של אוילר היו ביישום שיטות אנליטיות לפתרון בעיות שימושיות. אוילר הוכיח מספר תוצאות בנוגע למספרי ברנולי, לטורי פורייה ולדיאגרמות ון, הגדיר את מספרי אוילר, והשתמש בחשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי של ניוטון ושל לייבניץ לפתרון בעיות פיזיקליות. הוא תרם תרומות מכרעות לתחום האינטגרציה והמשוואות הדיפרנציאליות, ביניהן שיטת אוילר לפתרון משוואה דיפרנציאלית לינארית. כשהוא חקר את הבעיה של ממברנות רועדות, הוא פיתח את משוואת בסל ופתר אותה באמצעות ההצגה של פונקציית בסל. הוא הגדיר את קבוע אוילר-מסקרוני:

$\gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}+-\ln(k)\right)$

בהקשר של קבוע זה, ניסח אוילר את נוסחת אוילר-מקלורן, או נוסחת הסכום של אוילר.

אחד מתחומי העניין מעט יוצאי הדופן של אוילר היה היישום של רעיונות מתמטיים במוזיקה. ב־1739 הוא פרסם את "Tentamen novae theoriae musicae", וקיווה להפוך את המוזיקה לחלק מן המתמטיקה. עבודתו זו לא זכתה להכרה רבה, ותוארה כמתמטית מדי בשביל מוזיקאים ומוזיקלית מדי בשביל מתמטיקאים.

פיזיקה ואסטרונומיה

אוילר ערך עבודות חשובות רבות במכניקת הזורמים, בתורת התנודות, באקוסטיקה, בבליסטיקה, בתורת הטורבינות, בתורת בניית האוניות ובתחומי פיזיקה אחרים. מכלול העבודות שפרסם בתחומים אלה דיו להנחיל לו תהילת עולם. במכניקה, אוילר הציג בספרו "מכניקה" משנת 1735 לראשונה בהרחבה את חוקי ניוטון בצורה של משוואות דיפרנציאליות, וספרו "תאוריית התנועה של גופים קשיחים" משנת 1765 הניח את יסודות המכניקה האנליטית. בהנדסת מבנים, אוילר פיתח מודל המתאר תהליך קריסת קורות (הנקרא הנחת אוילר-ברנולי), שהפך ברבות הימים לאבן בסיס בתחום. במכניקת הזורמים, אוילר פרסם ב־1757 מערכת של משוואות הנקראות משוואות אוילר, שמהוות את הבסיס להבנת זרימה לא צמיגה. בתורת בניית האוניות, אוילר פרסם שני כרכים בנושא, בהם הרחיב את הטיפול של ניוטון בצורות בעלות התנגדות הידרודינמית מינימלית ונעזר בעקרונות וריאציוניים כללים יותר כדי לגזור את התכנון האופטימלי הידרודינמית של אוניה, וכן עסק בהיבטים נוספים של תכנון אוניות.

כדמות דומיננטית ביותר במפעל המדעי הפוסט־ניוטוני של המאה ה־18, אוילר תרם רבות לפתרון בעיות שטופלו בפרינקיפיה של ניוטון באופן לא מלא, ועבודתו הנרחבת בתחומים אלו זיכתה אותו בפרסים רבים. למשל, במקביל ובאופן בלתי תלוי בז'אן לה רון ד'אלמבר, אוילר היה הראשון שהצליח לתת הסבר כמותי מדויק לתופעת נקיפת ציר כדור הארץ ולתופעה קשורה הנקראת נוטציה. לפניו, ניוטון נתן הסבר איכותי נכון לתופעה, אולם לא הצליח לספק תאוריה מתמטית בעלת ניבוי שתואם את התצפיות. על עבודתו המעמיקה על התיאור המתמטי של גאות ושפל זכה בפרס של האקדמיה הצרפתית למדעים לשנת 1740, ובה אוילר הרחיב את הטיפול הכמותי של ניוטון בתופעה. בפרט, עבודתו סיפקה הסברים איכותיים לתופעות העיקריות הקשורות בגאות באוקיינוסים הפתוחים וליד איים.

באסטרונומיה אוילר היה הראשון שפיתח שיטה מעשית לחישוב מסלול הירח, שיטה שהיוותה התקדמות משמעותית בהשגת פתרונות מקורבים לבעיית שלושת הגופים. הוא היה חלוץ בשימוש בכלים אנליטיים לניתוח האי־רגולציות במסלול הירח (בניגוד לטיפול הגאומטרי המסורבל של ניוטון), ובמחקריו בתחום היה אחראי על גילוי קבוצה של פתרונות אפשריים לבעיית שלושת הגופים, כמו גם על גילוי נקודות לגראנז' (על שום הטיפול המתמטי הממעמיק יותר של לגראנז' בנקודות הללו, הן נקראו על שמו). הישגיו הנוספים באסטרונומיה כללו קביעה בדיוק רב של מסלוליהם של שביטים וגופים שמימיים אחרים, הבנת הטבע של שביטים, וחישוב הפרלקסה של השמש. חישוביו תרמו רבות גם לפיתוח של טבלאות קווי אורך (longitude tables) מדויקות.

בנוסף, אוילר עשה תרומות משמעותיות לאופטיקה. הוא לא קיבל את התאוריה החלקיקית של ניוטון שהופיעה בספרו אופטיקה (ספר), שהייתה אז התאוריה המקובלת. בסדרת מאמרים שפרסם בין השנים 1740–1750 הוא פיתח את המודל הגלי של האור, שהוצע קודם על ידי כריסטיאן הויגנס, ובכך עזר להפכו למודל המקובל יותר של האור.

לוגיקה

אוילר נעזר בעקומות סגורות כדי להמחיש סיבתיות לוגית (1768). הדיאגרמות הללו נקראו מאז בשם דיאגרמות אוילר. למעשה אוילר היה הממציא האמיתי של שיטת ההצגה של סיבתיות באמצעת עקומות סגורות, ולא ג'ון ון שנודע כממציאה של דיאגרמת ון.

פילוסופיה ואמונות דתיות

אוילר וחברו דניאל ברנולי התנגדו למונדיזם של לייבניץ ולפילוסופיה של כריסטיאן וולף. אוילר התעקש שידע נמצא בחלקו בבסיס החוקים הכמותיים המדויקים, דעה אשר מונדיזם ומדע וולפאני לא היו מסוגלים לספק.

כתביו של אוילר

העמוד הראשי של ספרו של אוילר: "Methodus inveniendi lineas curvas"

אוילר חיבר מאות כתבים; הידועים ביותר שבהם הם:

• Elements of Algebra, חיבור באלגברה אלמנטרית הדן בטבע המספרים ובהקדמה מעמיקה לאלגברה, ואף מספק נוסחה לפתרון משוואות פולינומליות.
• Introductio in analysin infinitorum‏ (1748)
• שני ספרים רבי השפעה על חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: Institutiones calculi differentialis‏ (1755) ו-Institutiones calculi integralis‏ (1768–1770).
• חיבורו: Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti‏ (1744). הגרסה הלטינית תורגמה כ-" a method for finding curved lines enjoying properties of maximum or minimum, or solution of isoperimetric problems in the broadest accepted sense".

הנצחה

מלבד מאות המושגים המתמטיים והפיזיקליים הקרויים על שמו, אוילר הונצח גם במספר דרכים נוספות:

• 2002 אוילר - אסטרואיד שנתגלה ב-1973.
• מדליית אוילר - פרס הניתן כל שנה מאז 1993 על ידי "המכון לקומבינטוריקה ויישומיה" שבסיסו בקנדה.
• אוילר (שפת תכנות) - שפת תכנות שמהווה הרחבה ל-ALGOL 60.
• AMS Euler - גופן שפותח בחסות האגודה האמריקאית למתמטיקה שייעודו כתיבת טקסט מתמטי.
• אוילר (תוכנה) - תוכנה מתמטית חופשית.
• פרויקט אוילר - אתר אינטרנט המוקדש לחידות מתמטיות.
• משפטים על שם אוילר

ראו רשימת מושגים על שמו של אוילר בוויקיפדיה האנגלית.

לקריאה נוספת

• Nikolaĭ Nikolaevich Bogolyubov, G. K. Mikhaĭlov, Adolph Pavlovich Yushkevich, Euler and Modern Science, Translated by Robert Burns, Mathematical Association of America, 2007.
• Ronald Calinger, Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment, Princeton University Press, 2016.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא לאונרד אוילר בוויקישיתוף

• ביוגרפיה של לאונרד אוילר, באתר MacTutor (באנגלית)
• גנאלוגיה מתמטית של לאונרד אוילר, באתר פרויקט הגנאלוגיה במתמטיקה
• How Euler Did It - מאמרים על עבודתו של אוילר (אין גישה חופשית לקישור)
• הסבר על ה"דודל" (שרבוט גוגל) שפרסמה גוגל לציון יום הולדתו ה-306 של אוילר, באתר מנוע החיפוש "גוגל" (באנגלית), 15באפריל 2013

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0