אקראיות
אקראיות היא היעדר תבנית וסדר, או מצב של מקריות בהקשר למאורע נתון. בניסוח אחר אקראיות היא מצב כאוטי, שאינו מוּנָע או מכוון לתכלית כלשהי, נעשה או מתרחש ללא מגמה או בחירה מודעת. בעולם הדיגיטלי התפיסה של אקראיות מתייחסת לחוסר סדר או אי-עקביות של רצף סמלים או צעדים, כך שלא קיימת בהן תבנית דטרמיניסטית או היעדר קורלציה.
יישומים מדעיים מעשיים במתמטיקה כסטטיסטיקה שמים דגש על תכונת אי-הצפיות של האקראיות, גם אם קיימת "סדירות" מועטה בתוצאות התרחשויות של אירועים אי-וודאיים. למשל אם מטילים שתי קוביות וסוכמים את תוצאתן ניתן לומר שהסכום 7 יופיע בתדירות כפולה מהסכום 4. גישה זו של התייחסות לרמת הוודאות של התוצאה, משתמשת במושגים כמו "סיכויים", הסתברות ואנטרופיה. כלומר האקראיות מהווה כלי מדידה של רמת אי הוודאות. במקרה זה מבחינים בין אקראיות ל"מקריות", האחרונה אינה רלוונטית בהקשר זה.
בתחומי המתמטיקה, סטטיסטיקה ותורת ההסתברות מנסחים אקראיות באופן פורמלי. בסטטיסטיקה, משתנה מקרי הוא התאמת ערך נומרי לכל תוצאה אפשרית של מרחב ההסתברות. גישה זו פותחת את הדלת לכלים מן האנליזה המתמטית המאפשרים לחשב תוחלת או מדדים אחרים. תהליך סטוכסטי הוא תהליך שהתפתחותו תלויה ברצף של משתנים מקריים שתוצאתו אינה דטרמיניסטית - קרי קיימים מספר מצבים שונים אליהם יכולה המערכת להגיע. כמו כן אקראיות משמשת לעיתים לציון תכונה סטטיסטית מוגדרת היטב; שיטת מונטה קרלו המסתמכת על קלט אקראי, היא טכניקה חשובה בתורת החישוביות המבטאת שימוש כזה לצורך פתרון בעיה מתמטית.
מדגם הוא שיטה לבחירת קבוצה של פרטים מתוך אוכלוסייה, שבה ההסתברות לבחירה של פרטים ספציפיים מהווה מודל מייצג לכלל האוכלוסייה. למשל בקערה המכילה 100 גולות, עשר מהן אדומות זהות והיתר כחולות זהות, דגימה מייצגת תכלול גולות אדומות בהסתברות של עשירית. לא ניתן להסיק כי בכל דגימה תהיינה גולה אחת אדומה ותשע כחולות. אם כל פרט באוכלוסייה שונה מרעהו ולכולם סיכוי זהה להיבחר ניתן לומר שהדגימה אקראית.
אקראיות יכולה להכריע במקרים של תיקו בבחירות או בספורט. הקדמונים השתמשו באקראיות לצורך חיזוי, ניחוש או נבואה כדי "לגלות את רצון האל". חלק משיטות אילו נשמרו עד ימינו, ביניהן קלפי טארוט, אי צ'ינג, ניחוש בקפה וגילוי עתידות באמצעות קטעי תנ"ך שנבחרו באקראי. בעת העתיקה שימשה אקראיות לצורך חלוקה הוגנת של אדמות או נכסים. באתונה חולקו נחלות על פי הגרלה ולא בהצבעה. כמו כן משחקי הימורים, הלוטו ושעשועוני טלוויזיה מסוימים, כדוגמת גלגל המזל מכילים אלמנט חשוב של אקראיות.
היסטוריה
מאז ימי קדם התעניינו בני אדם בתהליכים אקראיים כמו פּוּר או הימור. בתנ"ך מוזכרים מקרים בהם נעשה שימוש בהגרלה כדי להכריע בשתי סוגיות עיקריות, יישוב ומניעת סכסוכים ומריבות כאשר אין צורך בהתערבות אלוקית או בירור רצון האל רק במידה ויש הוכחה כי אלקים התערב בהגרלה. דוגמה מספר שופטים (כ', ט'-י') "ועתה זה הדבר אשר נעשה לגבעה: עליה בגורל ולקחנו עשרה אנשים...". בספר משלי, פרק ט"ז, פסוק ל"ג "בחיק יוטל את הגורל, ומה' כל משפטו...". שמואל הנביא (כ', כ"ד) הפיל גורל כדי לברר מי האיש שה' בחר למלוך על ישראל ובספר יונה הפילו המלחים גורל כדי למצוא מי אשם בסערה הגדולה שפקדה אותם. לפי אחד הפירושים הם ביצעו הרבה הגרלות (שנאמר "לכו ונפילה גורלות") והם השתכנעו ברצון האל רק לאחר שיונה הנביא נפל בגורל בכל הפעמים.
ביוון העתיקה הוקצו אדמות לבעליהן באמצעות הגרלה. הימורים היו נפוצים בתרבויות שונות מאז ומתמיד, ג'ירולמו קרדאנו וגלילאו גליליי כתבו על משחקי הימורים.
הטיפול המתמטי הראשון בנושא אקראיות ככלי מדעי החל עם עבודתם של פסקל, פרמה וכריסטיאן הויגנס. הגרסה המקורית של תורת ההסתברות שפיתחו הייתה מבוססת על ההנחה שתוצאת תהליכים אקראיים היא בעלת התפלגות אחידה. הם היו הראשונים שהגדירו את המושג הסתברות סטטיסטית, מה שהתפתח לאחר מכן לאנטרופיה בתורת האינפורמציה.
בתחילת שנות השישים, פיתחו המתמטיקאים גרגורי צ'ייטין, קולמוגורוב וריי סולומונוף מושג חשוב בתורת ההסתברות "אקראיות אלגוריתמית", שבה אקראיות נמדדת באופן חישובי, כמו אקראיות רצף סיביות הנמדדת ברמת הדחיסות שלו.
אקראיות במתמטיקה
תורת ההסתברות קמה מהצורך לנסח "סיכויים" באופן מתמטי, בתחילה בהקשר של הימורים ולאחר מכן בכל תחומי העניין. סטטיסטיקה משמשת לניתוח התפלגות סטטיסטית, איסוף נתונים משורה של תצפיות אמפיריות לצורך ניתוח והסקת מסקנות. כמו כן עולה הצורך לעיתים ביצירת מספרים אקראיים כדי לדמות אירועים טבעיים, לבצע סימולציה של מציאות מורכבת לשם בדיקה וחקירה או חיקוי התנהגות לצורכי למידה, הסבר או משחק.
תורת האינפורמציה עוסקת בין היתר גם בניסוח והגדרה פורמליים של מושג האקראיות. ניתוח והגדרה של רצף אקראי בהקשר אלגוריתמי. אחד הרעיונות המרכזיים הנובע מסיבוכיות קולמוגורוב הוא שמחרוזת סיביות היא אקראית רק אם היא קצרה יותר מכל תוכנת מחשב (דטרמיניסטית) המסוגלת לייצר אותה. במילים אחרות, מחרוזת אקראית היא כזו שאינה ניתנת לדחיסה.
אקראיות בפיזיקה
תחומי מדע רבים קשורים או עושים שימוש באקראיות. ביניהם נמנים תורת הכאוס, קריפטוגרפיה, תורת המשחקים, תורת האינפורמציה, תורת ההסתברות, מכניקה קוונטית ומכניקה סטטיסטית.
במאה ה-19 ניסו פיזיקאים לנתח התנהגות צברים של חלקיקים תוך שימוש בכלים הסתברותיים בשל הקושי הרב בתיאור מדויק של המערכת באופן דטרמיניסטי. מה שהוביל לפיתוח ענף חשוב בתרמודינמיקה, המכניקה הסטטיסטית בשני מישורים מקבילים, מכניקה קלאסית ומכניקה קוונטית.
על פי תורה זו, אירועים מיקרוסקופיים הם אקראיים במובן שלא ניתן לחזות תוצאתם אלא רק בהסתברות מסוימת גם בהינתן כל הפרמטרים הרלוונטיים. למשל הקרינה הרדיואקטיבית הנפלטת מגרעין אטום בלתי יציב היא הסתברותית במובן שלא ניתן לדעת מתי בדיוק יתפרק חלקיק מסוים. אפשר רק לחשב את ההסתברות שאירוע כזה יתרחש בטווח זמן מוגדר. ההסבר המקובל לתופעה היה בסתירה לדעתם של מספר פיזיקאים ובראשם איינשטיין, שסברו כי המכניקה הקוונטית המושתתת על עקרונות הסתברותיים "אינה שלמה", הם האמינו כי אירועים פיזיקליים שנראים לכאורה כאקראיים חייבים להתרחש לפי תוואי דטרמיניסטי נסתר. אלברט איינשטיין צוטט פעם: "אלקים אינו משחק בקוביות עם העולם" (נילס בוהר השיב לו על כך: "איינשטיין, תפסיק לומר לאלקים מה לעשות בקוביות שלו"). הוא ניסה לערער את יסודות המכניקה הקוונטית באמצעות פרדוקס איינשטיין-פודולסקי-רוזן. שבעקבותיו התגלו גילויים חדשים שהובילו בין היתר לגילוי ההצפנה הקוונטית. הצפנה קוונטית נשענת על תופעת אי הוודאות של פוטונים היכולים להימצא במצבים שונים בו זמנית, תופעה הנקראת סופרפוזיציה (ראו: החתול של שרדינגר).
אקראיות בביולוגיה
מוטציה גנטית היא תופעה בסיסית בביולוגיה בו מבוטאת האקראיות הפיזיקלית. המוטציות משנות את מאגר גנים ויוצרות מגוון ביולוגי. תורת האבולוציה מסבירה כיצד יוצרת המוטציה האקראית מבנים שאינם אקראיים בזכות מנגנונים שונים כגון ברירה טבעית. תופעה זו מנוצלת גם לשימושים מעשיים של אקראיות, לדוגמה, אלגוריתמים גנטיים. תכונות של אורגניזמים מעוצבות במידה מסוימת גם עקב השפעת גנים אקראית. צפיפות נמשים בפניו של אדם למשל, נקבעת על ידי גנים וחשיפה לאור, אולם מיקומם המדויק נוטה להיות אקראי. אקראיות בהתנהגות בעלי חיים היא גם לעיתים כלי הישרדות. לדוגמה, חרקים מעופפים בתוואי הנראה כאקראי כדי להקשות על טורפים לנחש את מסלול מעופם.
אקראיות בתורת האינפורמציה
בתורת האינפורמציה מידע חסר משמעות או מידע "לא רלוונטי" הוא רצף של נתונים המכונים רעש. רעש ביסודו הוא מספר חוזר של הפרעות זמניות בעלי תכונה סטטיסטית אקראית. בתקשורת, אותות אקראיים הם אותות שלא ניתן לייחס להם משמעות בהקשר של מקור כלשהו. תופעה הנקראת "הילוך אקראי" או "הילוך שיכור" היא היפותזה ידועה המסבירה אירועים מסוימים כמו התנהגות מחירי מניות, כתנועה בלתי צפויה דוגמת הילוכו המתנודד של אדם שתוי או תנועתן של נמלים מגששות. תופעה השקולה במידת מה לתנועה הבראונית, תנועת חלקיקים האקראית בתרחיף, שנחקרה בתחילת המאה ה-19.
אקראיות לעומת אי-צפיות
בעבר היו שהאמינו בטענה פילוסופית שכל החלטה או מחשבה היא תוצאה דטרמיניסטית של רצף אירועים קודמים ולמעשה לא קיים מושג אקראיות כלל ביקום, אלא רק אי-צפיות. לפי טענה זו מאחר שרק תוצאה אחת אפשרית בכל אירוע נתון, אין דבר כזה אירוע בעל הסתברות, כלומר לגבי כל אירוע ייתכן רק אמת או שקר, אין מצב ביניים.
על אף שאקראיות היא תכונה אובייקטיבית, לעיתים מה שנראה כאקראי לעינו של אחד עשוי להראות רחוק מאקראי לעינו של אחר. הדוגמה הטובה ביותר היא הצפנה. מחרוזת סיביות של טקסט מוצפן כלשהו נראית כאקראית לכל דבר למתבונן מהצד, אולם אינה אקראית מנקודת ראותו של בעל מפתח ההצפנה המתאים. לדידו לאחר פענוחה מקבלת המחרוזת 'האקראית' משמעות ברורה. בהקשר זה המחרוזת אינה אקראית אלא "בלתי צפויה". למעשה אחד ההיבטים החשובים של תכונת האקראיות הוא שקשה מאד לקבוע האם מחרוזת סיביות היא אקראית אמיתית. תמיד קיים חשש שהמחרוזת אינה אלא חלק מתבנית מסוימת שניתן להבחין בה באמצעות מידע נסתר כלשהו כמו מפתח הצפנה למשל. זהו אחד המניעים לגילויים חדשים במתמטיקה שהתגלו כתוצאה מסקרנות ורצון להבין תופעות בלתי מוסברות.
ערכים מתמטיים ידועים כמו ערכו של פאי מקיימים תכונות הנראות לעין כאקראיות, אולם ברור שכיוון שנוצרו באופן דטרמיניסטי הם אינם אקראיים. על כן נקראים "אקראיים מדומים" (פסבדו-אקראיים). למתבונן מהצד שאינו מכיר את המערכת הם נראים כאקראיים. רצף פסבדו-אקראי, נקרא בלתי צפוי בהקשר זה.
מערכות כאוטיות הן בלתי צפויות עקב התלות העדינה בתנאים התחלתיים רבים. שאלת היותם בלתי צפויים מהיבט של חישוביות היא נושא פתוח. יש הסבורים כי קיים קשר בין אקראיות לבין אי-צפיות חישובית.
תופעות אקראיות כשלעצמן אינן אקראיות לגמרי, במובן שניתן לחזות או להעריך את סיכויי התרחשותן. ניתן לחשב את תוחלת חייהם של אטומים על אף שהתפרקותם אקראית. או למשל על אף שלא ניתן לנחש צד מטבע בהטלה בודדת, אפשר להעריך באופן סטטיסטי כי לאחר מספר רב של הטלות כמחצית מהם יהיו עץ. מקצת אירועים מאקרוסקופיים ניתנים לחיזוי מדויק על אף שברמה מיקרוסקופית הם בלתי צפויים.
אקראיות בהקשר דתי
אפשר לראות באקראיות מעין בחירה חופשית. כלומר אם אדם מסוגל לבצע החלטות לפי רצונו החופשי ואינו נשלט בידי צו עליון הרי שהחלטתו תהיה בלתי צפויה לעיני המתבונן. לפי הפילוסופיה הדתית המאמינה באל אחד וכי כל צעד ושעל בו צפוי ומכוון בידי ההשגחה העליונה, הרי שהאקראיות היחידה האמיתית שאפשר לייחס למקור כלשהו בטבע היא החלטות של בני אדם. היצורים התבוניים היחידים שמסוגלים לבצע החלטות לפי שיגיונות לבם ולא לפי צו טבעי כלשהו. אחרים סבורים כי אין אקראיות בהחלטות של בני אדם אלא פשוט בשל מורכבותם הרבה, קשה לצפות את התנהגותם.
המושג בחירה חופשית הוא יסוד חשוב בדת היהודית. רבי יוסף קארו ציין כבר ש"הטבע" בגימטריה שווה ל"אלהים". כלומר בכל מה שקשור לטבע, אין אירועים אקראיים. הכל גלוי וידוע לפני לבורא עולם. תופעות טבע אינן רק פועל ידיו של אלקים אלא חלק בלתי נפרד ממנו. יוצא מן הכלל הוא בני אדם שלהם כושר החלטה וחופש בחירה לגבי מעשיהם וגורלם, לכאורה בסתירה לידיעה האלוקית האין סופית. הרמב"ם מיישב סתירה זו באופן פשוט, הוא מבחין בין ידיעת בני אדם לידיעה אלוקית. בני אדם מוגבלים בזמן ובמקום בעוד שידיעת אלקים אינה מוגבלת, אין לפניו עבר הווה או עתיד. ועל כן הבחירה החופשית אינה סותרת את האמונה כי הטבע מכוון בידי אלקים.
גם בני דתות אחרים מודעים לסתירה לכאורה בין הידיעה האלוקית לבין מושג הבחירה החופשית. תאולוגים נוצרים אחדים ניסו ליישב זאת באמצעות מושג אקראיות כבריאה אלוקית. הפילוסופיה הבודהיסטית (קארמה) אינה מאמינה באקראיות ולפי אמונתה כל אירוע המתרחש הוא תוצאה של שרשרת אירועים קודמים. מרטין לותר אבי הדת הפרוטסטנטית האמין על פי הבנתו את התנ"ך שלא קיימת אקראיות. לפי הבנתו הבחירה החופשית מוגבלת לרמה נמוכה מאד של קבלת החלטות. הנצרות דגלה בעבר בהשקפת עולם דטרמיניסטית בעיקרה ולא האמינה באקראיות או בבחירה חופשית, זו אחת הסיבות להתנגדותה לתורת אבולוציה שלפיה התפתחות של אוכלוסיות מסוימות הייתה עקב וריאציה גנטית אקראית.
דונלד קנות' מדען מחשב ופרשן של הנצרות, שחקר מספרים פסבדו-אקראיים, טוען שאלקים ברא במכוון את האקראיות כדי לאפשר בחירה חופשית מוגבלת. הוא מאמין שאלקים מעוניין שתהיה בידי בני אנוש יכולת החלטה עד לרמה מסוימת. בהתבסס על הבנתו בתחום המחשבים הקוונטיים, היא סבור שאלקים מפעיל שליטה דינאמית בעולם מבלי להפר את חוקי הפיזיקה. גם ק.ס. לואיס סופר ותאורטיקן נוצרי שחי במאה העשרים התייחס רבות לנושא הבחירה החופשית. הוא כתב שאלקים רצה שתהיה בידי בני אדם בחירה חופשית למרות הידיעה כי הדבר בהכרח יוביל לרוע וסבל, אולם החופש שווה אפילו את המחיר הזה. לדעתו עולם ללא בחירה חופשית לא מאפשר את היכולת לאהוב.
יישומים מעשיים
אקראיות במתמטיקה, פוליטיקה או דת, מנוצלת בעיקר בשל התכונה המולדת של הגינות או העדר ההטיה שבה. כמו השימוש שנעשה על ידי האתונאים באקראיות כדרך לחלוקה הוגנת של אדמות. אקראיות משמשת כיום בפוליטיקה בעיקר כדרך בחירה הוגנת של מושבעים במערכת המשפט האנגלו-סכסונית או במערכת הגיוס לצבא ארצות הברית ומדינות אחרות. כמו כן נעשה שימוש רב באקראיות בהימורים לסוגיהם באמצעות הטלת מטבע, קוביות, קלפי משחק ורולטות, הגרלות לוטו וכדומה. היכולת לייצר מספרים אקראיים באופן הוגן אף היא חלק חשוב בתעשיית ההימורים האלקטרונית השיטות ליצירת המספרים בדרך כלל מפוקחות בידי רשויות החוק. אקראיות משמשת גם למקרים בהם אין יכולת הכרעה, כמו ההחלטה באיזה צד או מי יתחיל ראשון במשחק כלשהו, או בבחירת אנשים למשימה לא רצויה. אקראיות משמשת גם לצורך סקרי דעת קהל, משאלים ומדגמים.
במתמטיקה, בעיות מסוימות ניתנות לפתרון רק באמצעות מספרים אקראיים. שיטת מונטה קרלו היא המפורסמת מבין השיטות המתמטיות שבהן משתמשים במספרים אקראיים כדי לפתור בעיות מתמטיות. כמו כן אקראיות מסייעת בבדיקת ראשוניות ובאלגוריתמים גנטיים.
יצירת אקראיות
קיימות למעשה שלוש דרכים עיקריות ליצירת אקראיות;
- אקראיות טבעית; אקראיות שמקורה בתופעות טבע ידועות כמו תנועה בראונית, התפרקות רדיואקטיבית.
- אקראיות כאוטית; אקראיות שמקורה במצב התחלתי מורכב, אקראיות זו נלמדת בתורת הכאוס והיא אקראיות הנוצרת ממקור הרגיש מאד לשינויים מינוריים במצבים התחלתיים עדינים. כדור רולטה או קוביות משחק הם דוגמה טובה לאקראיות כזו.
- אקראיות מדומה; אקראיות שנוצרת בדרך דטרמיניסטית, כגון במחשב. קיימים מחוללי מספרים אקראיים רבים המבוססים על אריתמטיקה או אוטומט תאי. התנהגות מערכת אקראית מסוג כזה ניתנת לחיזוי בהינתן הגרעין ההתחלתי והאלגוריתם. מספרים פסבדו-אקראיים ניתנים להכנה בקלות ולרוב די בהם לצורך מעשי.
השימושים הרבים באקראיות הולידו שיטות רבות ומגוונות ליצירת מספרים אקראיים. השיטות השונות נבדלות ברמת אקראיותן מבחינה סטטיסטית וקלות תפעולן. לפני התפתחות המחוללים האקראיים החישוביים, נדרשה עבודה רבה בהכנת רצפים אקראיים ארוכים במידה מספקת ובאיכות הרצויה. כיום המגוון הוא עצום, אולם לא כל אלגוריתם ליצירת מספרים אקראיים אכן עומד בדרישות מינימליות של אקראיות.
מבחני מדידת אקראיות
בדיקת אקראיות היא משימה קשה. לא ניתן להוכיח מבחינה מתמטית כי רצף כלשהו הוא אקראי באמת, אולם ניתן לבדוק אקראיות מבחינה סטטיסטית חישובית. ישנם כמה כלים מעשיים למדידת אקראיות סטטיסטית של רצפים בינאריים. כולל מדידות המבוססות על מבחני תדירות, התמרה וסיבוכיות או שילוב ביניהם. בין המבחנים הידועים נמנים אלו של קאק, פיליפס, יון, הופקינס, בת', דאי, זאמן ומרסגליה. החומר המקיף ביותר אודות אקראיות הוא של דונלד קנות' בספרו The Art of Computer Programming כרך שני.
ראו: מבחנים סטטיסטיים.
תפיסות מוטעות ושגיאות נפוצות
לעיתים עולה טענה בפי מהמרים, היות שכל המספרים בסופו של דבר יבחרו ברצף האקראי, אותם מספרים שלא הופיעו עדיין הם "הבאים בתור", במילים אחרות סיכוייהם גבוהים משל אלו שכבר הופיעו. טענה זו נכונה רק אם מדובר בבחירת מספרים ללא חזרות, כגון אם מספרים שנבחרו מוסרים מהערימה אזי הסיכויים של אלו שטרם נבחרו גדולים כמו במשחקי קלפים מסוימים. אולם כאשר מדובר במקרה הכללי של אקראיות הטענה אינה נכונה, אם מחזירים כל מספר שנבחר לערמה הרי שהסיכויים לבחירת כל מספר שווים כמו במקרה של הטלת קוביות או בכל הגרלת לוטו נפוצה. דרך נכונה להסתכל על זה היא, שתהליך אקראי כמו הטלת מטבע אינו מכיל זיכרון, כך שלתוצאות קודמות אין כל השפעה על תוצאות עתידיות. תכונה הסתברותית זו מכונה חוסר זיכרון.
תפיסה מוטעית אחרת היא האמונה שמספר מסוים הוא "מקולל" (ראו: חוק בנפורד) - אמונה טפלה שהיא כמעט היפוכה של הטענה הקודמת. לא מעט מאמינים שמספרים שהופיעו בתדירות נמוכה בעבר, נוטים להדיר רגליהם גם בעתיד. כמוה כטענה כי מספר מסוים "מבורך" שמושמעת מפי לא מעט מהמרים. מבחינה מתמטית אמונות אילו מופרכות, למעט מקרים יוצאים מן הכלל כאשר המכשיר המייצר את המספרים האקראיים נוטה לצד כלשהו. אמונות אילו לא לגמרי מופרכות כי באופן טבעי, אירועים בלתי צפויים או אי-ודאיים באופן מושלם אינם נפוצים, ותמיד קיימות הטיות מסוימות, דבר המאפשר ללמוד מהו האירוע בעל הסבירות הגבוהה ביותר שיתרחש. אולם לא ניתן להשליך לוגיקה זו על מערכות שפותחו במיוחד על מנת לבטל הטיה סטטיסטית, כמו גלגל רולטה או קוביות משחק.
מקורות
- Third Workshop on Monte Carlo Methods, Jun Liu, Professor of Statistics, Harvard University
- Municipal Elections Act (Ontario, Canada) 1996, c. 32, Sched., s. 62 (3) : "If the recount indicates that two or more candidates who cannot both or all be declared elected to an office have received the same number of votes, the clerk shall choose the successful candidate or candidates by lot."
- "Each nucleus decays spontaneously, at random, in accordance with the blind workings of chance". Q for Quantum, John Gribbin
- Breathnach, A. S. (1982). "A long-term hypopigmentary effect of thorium-X on freckled skin". British Journal of Dermatology 106 (1): 19–25. doi:10.1111/j.1365-2133.1982.tb00897.x. “The distribution of freckles seems to be entirely random, and not associated with any other obviously punctuate anatomical or physiological feature of skin.”
- Donald Knuth, "Things A Computer Scientist Rarely Talks About", Pg 185, 190-191, CSLI
- Terry Ritter, Randomness tests: a literature survey. http://www.ciphersbyritter.com/RES/RANDTEST.HTM
ראו גם
לקריאה נוספת
- Randomness by Deborah J. Bennett.Harvard University Press, 1998. מסת"ב 0-674-10745-4
- Random Measures, 4th ed. by Olav Kallenberg. Academic Press, New York, London; Akademie-Verlag, Berlin (1986). MR0854102
- The Art of Computer Programming. Vol. 2: Seminumerical Algorithms, 3rd ed. by Donald E. Knuth, Reading, MA: Addison-Wesley, 1997. מסת"ב 0-201-89684-2
- Fooled by Randomness, 2nd ed. by Nassim Nicholas Taleb. Thomson Texere, 2004. מסת"ב 1-58799-190-X
- Exploring Randomness by Gregory Chaitin. Springer-Verlag London, 2001. מסת"ב 1-85233-417-7
- Random, by Kenneth Chan, includes a "Random Scale" for grading the level of randomness
קישורים חיצוניים
