קבוצת החזקה

מתוך המכלול
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת הקבוצות, קבוצת החזקה של קבוצה נתונה היא קבוצת כל תתי-הקבוצות של , ומסמנים אותה .

למשל: . במסגרת תורת הקבוצות האקסיומטית, קיומה של קבוצת חזקה נובע ישירות מאקסיומת קבוצת החזקה.

משפטים קשורים

  • עבור כל קבוצה, הקבוצה הריקה מוכלת בה, וכן היא עצמה מוכלת בה, ועל כן הן איברים בקבוצת החזקה.
  • ניתן להוכיח כי עוצמת קבוצת החזקה של קבוצה סופית כלשהי שווה (2 בחזקת עוצמת ).
בשל תכונה זו עבור קבוצות סופיות, גם כאשר גודל הקבוצה הוא אינסופי, נהוג לסמן את עוצמת קבוצת החזקה של בסימון .
לכן הסימון לעוצמת קבוצת החזקה עקבי עם כללי האריתמטיקה של עוצמות (שלפיהם )
  • משפט קנטור מראה כי אי-השוויון שפשוט יחסית להוכיחו לקבוצות סופיות, נכון לכל קבוצה .

ראו גם