קבוצת החזקה

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בתורת הקבוצות, קבוצת החזקה של קבוצה נתונה היא קבוצת כל תת הקבוצות של , ומסמנים אותה ב- . פורמלית , ולדוגמה: . במסגרת תורת הקבוצות האקסיומטית, קיומה של קבוצת חזקה נובע ישירות מאקסיומת קבוצת החזקה.

תכונות

  • כל קבוצה מכילה את עצמה ואת הקבוצה הריקה, ועל כן שני אלו הם איברים בקבוצת החזקה.
  • ניתן להוכיח כי עוצמת קבוצת החזקה של קבוצה סופית כלשהי שווה ל- (שתיים בחזקת עוצמת ), ובניסוח מתמטי: . בשל תכונה זו עבור קבוצות סופיות, גם כאשר גודל הקבוצה הוא אינסופי, נהוג לסמן את עוצמת קבוצת החזקה של בסימון .
  • קבוצת החזקה של איזומורפית לקבוצת הפונקציות המציינות: ולכן הסימון לעוצמת קבוצת החזקה עקבי עם כללי האריתמטיקה של עוצמות (שלפיהם )
  • משפט קנטור מראה כי אי השוויון שפשוט יחסית להוכיחו לקבוצות סופיות, נכון לכל קבוצה .

ראו גם


קישורים חיצוניים