הסתברות

אחד השימושים הנפוצים בהסתברות הוא בחישוב סיכויי זכייה במשחקי מזל והימורים

הסתברות היא ביטוי מספרי למידת הסבירות שמאורע מסוים יתרחש. ההסתברות של מאורע יכולה לקבל ערך מספרי שבין 0 ל-1. מאורע בלתי אפשרי הוא בעל הסתברות 0, ומאורע ודאי הוא בעל הסתברות 1. ההסתברות היא מושג יסודי במתמטיקה ומוגדרת באופן אנליטי בתורת ההסתברות. שימוש מעשי נרחב במושג ההסתברות נעשה בתחומי הסטטיסטיקה, מדעי הטבע, מדעי המחשב, מדעי החברה ומדעים אחרים.

שימושים

חוסר הוודאות של מאורע, ולכן הצורך בחישוב או הערכה של ההסתברות שלו, עשויים לנבוע משני גורמים:

1. חוסר ודאות הנובע מהאקראיות שבטבע. דוגמה לכך היא התפרקות חומר רדיואקטיבי. אין אנו יכולים לדעת באיזה אטום ספציפי ובאיזה מועד מדויק תתרחש ההתפרקות הבאה, אם כי ניתן לדעת זאת במונחים סטטיסטיים-הסתברותיים.
2. חוסר ודאות הנובע ממידע חלקי הנמצא בידינו. דוגמה לכך היא הטלת מטבע, שעשויה להסתיים באחת משתי תוצאות אפשריות, בלא שתהיה לנו דרך לחזות איזו תוצאה תצא בהטלה מסוימת, אם כי, בהינתן כל הנתונים הפיזיקליים הרלוונטיים - ניתן תאורטית לחשב את התוצאה. דוגמה נוספת היא השאלה "האם בשבוע הבא תפרוץ מלחמה?", שעליה נדרש המודיעין לענות. אף שייתכן שהאויב יודע תשובה ברורה לשאלה זו, המידע שבידי המודיעין הוא מידע חלקי, שלפיו יש לתת הערכה להסתברות של מאורע זה.

שאלה פתוחה היא האם כל הסתברות מהסוג הראשון היא למעשה הסתברות מהסוג השני, כלומר האם האקראיות שבהתפרקות אטומים רדיואקטיביים נובעת רק מחוסר ידיעה שלנו על כל הכוחות הפועלים, או שאקראיות היא חלק בלתי נפרד מהטבע, בפרט במסגרתה של מכניקת הקוונטים.

כאשר אנו מטילים מטבע, קל לומר באופן אינטואיטיבי שההסתברות שהוא ייפול על "עץ" היא 50%. בקביעה זו חסרה עדיין הגדרה פורמלית של המושג הסתברות. כאשר אנו מטילים מטבע 10 פעמים, נוכל לצפות שב-5 מקרים ייצא "עץ" וב-5 מקרים ייצא "פלי", אך ברור שאין כל ודאות בכך - ייתכן שבכל 10 ההטלות התוצאה תצא "עץ". מהי, אם כן, המשמעות של "הסתברות של 50%" בהקשר זה? התשובה של תורת ההסתברות לשאלה זו היא שההסתברות משקפת את השכיחות היחסית במספר גדל והולך של ניסיונות.

שאלות של הסתברות עולות בהקשרים שונים:

• משחקי מזל

דוגמה: מה ההסתברות שניחוש יחיד (בלוטו, בוינר וכדומה) יזכה בפרס הראשון. במיוחד מעסיקה שאלה זו את מארגן המשחק, שרוצה לתכנן את המשחק כך שירוויח בו.

• מצבי סיכון

דוגמה: מה ההסתברות שאדם המבטח את חייו ימות במהלך השנה הקרובה. התשובה לשאלה זו קובעת את גובה הפרמיה שתדרוש חברת הביטוח.

• מדעי הטבע

בפיזיקה, למשל, מבוססת התאוריה הקינטית של הגזים על הסתברות: אין לנו ידע דטרמיניסטי על התנהגותה של כל מולקולה, אלא תיאור הסתברותי של התנהגות כל המולקולות. גם בחקר הרדיואקטיביות אין לנו ידיעה ודאית על גורלו של אטום מסוים, אך יש לנו ידיעה על ההסתברות להתפרקותו.

בניתוחן של שאלות העוסקות בהסתברות עוסקת תורת ההסתברות.

מידת הסתברות

ערך מורחב – חיזוי

בלשון הדיבור, מידת ההסתברות של מאורע היא הסיכוי שהמאורע יתרחש. באופן פורמלי, מרחב הסתברות הוא שלשה $\left(\Omega ,\mathbb {F} ,P\right)$ המורכבת מ:

• $\ \Omega$ מרחב המדגם - קבוצה שאיבריה הם כל התוצאות האפשריות.
• הסיגמא-אלגברה ${\mathcal {F}}$ היא קבוצת כל המאורעות (לא בהכרח אטומיים) שנרצה להסתכל עליהם. כאן, "מאורע" היא קבוצה של אפס או יותר תוצאות, כלומר, תת-קבוצה של מרחב המדגם. מאורע "קרה" במהלך ניסוי כאשר התוצאה היא איבר בקבוצה. מכיון שאותה תוצאה יכולה להיות בכמה מאורעות, הרבה מאורעות יכולות לקרות בהינתן תוצאה יחידה. לדוגמה, כאשר זורקים שתי קוביות, קבוצת כל המאורעות עם סכום של שבע היא מאורע אחד, וכאשר סכום התוצאות הוא אי-זוגי זה מאורע אחר. אם התוצאה היא מאורע יסודי שבה בקובייה אחת יש שתיים ובקובייה השנייה חמש, אז שני המאורעות, "סכום 7" ו"סכום אי-זוגי" קרו.
• $\ P:\mathbb {F} \to [0,1]$ מידת הסתברות - זוהי פונקציה המתאימה לכל מאורע את ההסתברות שהוא יתרחש. פונקציה זו היא פונקציית מידה.

הגדרה מדויקת של מושגים אלו מתקבלת על ידי ניסוח מסודר של אקסיומות ההסתברות.
דוגמה: אם המטבע שקול (אינו מזויף, כלומר עגול לחלוטין, בעל גובה אחיד בדיוק וצפיפות המסה שלו שווה בכל חלקיו), ומוטל באופן שאין דרך לדעת מראש אם תוצאת הטלתו תהיה "עץ" או "פלי", ההנחה המקובלת היא שקיימת הסתברות שווה לכל אחת משתי התוצאות האפשריות (התוצאה שהמטבע ייפול ויעמוד על קצהו אינה מובאת בחשבון). ניתן לנבא כי במספר גדול של הטלות, מחציתן (בקירוב) יקבלו את הערך "עץ" ומחציתן (בקירוב) - את הערך "פלי". ככל שיגדל מספר ההטלות, כן תשאף התפלגותן ליחס 50:50. במהלך המאה ה-17, ובמהלך השנים בכלל, נערכו ניסויים רבים ובהם בדקו את ההסתברות בהטלת מטבע. במהלך הניסויים הטילו מטבע מאות אלפי פעמים, ונוכחו לגלות שבכל פעם התפלגות התוצאות הייתה קרובה ליחס 50:50 ובדרך כלל, ככל שגדל מספר הניסויים - כן התקרבו התוצאות ליחס זה. בעקבות ניסויים אלה התפתחה תורת ההסתברות.

בהתאם להגדרה זו של הסתברות, כאשר למרחב המדגם עוצמה אינסופית, ייתכן מאורע אפשרי שהוא בעל הסתברות 0 (למשל: ההסתברות שבבחירה אקראית של מספר בקטע [0,1] של הממשיים יתקבל מספר רציונלי). באופן דומה ייתכן שלא יתרחש מאורע בעל הסתברות 1 (למשל: ההסתברות שבבחירה אקראית של מספר בקטע [0,1] של הממשיים יתקבל מספר אי רציונלי). כאשר מרחב המדגם סופי, הסתברות 0 פירושה מאורע בלתי אפשרי, והסתברות 1 פירושה מאורע ודאי.

יחס הסתברויות

דרך נוספת לבטא את הסבירות שמאורע מסוים יתרחש, הנפוצה בעיקר בהקשרי הימורים, היא בשימוש ביחסי הסתברויות. באופן אינטואיטיבי, יחס הסתברויות (לפעמים נקרא גם כן סיכוי; באנגלית: odds) הוא הערכה למספר הפעמים שהמאורע צפוי להתרחש לעומת מספר הפעמים שהאירוע צפוי שלא להתרחש. לדוגמה, במרוץ סוסים, מנהל ההימור מעריך את הסיכוי שאחד הסוסים ינצח. אם, למשל, הוא צריך שאם המירוץ יתרחש מספר רב של פעמים, הסוס ינצח פעמיים על כל 3 פעמים שהוא יפסיד, אומרים שהסיכוי שלו לנצח הוא 2:3 (במילים: שתיים לשלוש). לעיתים, מתייחסים ליחס כאל שבר: בדוגמה לעיל, יחס ההסתברויות יכול להיות מוצג כ-²⁄₃.

באופן כללי, אם נתונה ההסתברות p להתרחשותו של מאורע כלשהו, ונניח כי p<1 ממש, אז יחס ההסתברויות o לאותו מאורע מתקבל בנוסחה:

$o={\frac {p}{1-p}}$

ובכיוון ההפוך:

$p={\frac {o}{1+o}}$

מהגדרה זו נובע שיחס ההסתברויות הוא פונקציה: ממרחב המדגם לקטע $[0,\infty )$. להלן מספר דוגמאות:

ההסתברות	יחס הסתברויות	יחס ההסתברויות כמספר רציונלי
0	0:1	0
1	1:0	$\infty$
0.5	1:1	1
13	1:2	12

אם p קטן מאד, ההסתברות ויחס ההסתברויות שואפים לאותו מספר ($o\sim p$). למשל, אם p=¹⁄₁₀₀, אז o=¹⁄₉₉ (הבדל של אחוז אחד), ואם p=¹⁄₁₀₀₀, אז o=¹⁄₉₉₉ (ההבדל של 0.1 אחוז).

שימושים

אם מנסים להעריך את ההסתברות הפוסטריורית למאורע לאחר ביצוע מבחן (כלומר, ההסתברות למאורע A בהינתן שתוצאת המבחן הייתה T), חוק בייס מאפשר לחשב את יחס ההסתברויות הפוסטריורי באמצעות יחס הנראות:

$o(A|T)={\frac {p(A|T)}{p(\neg A|T)}}={\frac {p(A)\cdot p(T|A)}{p(T)}}\cdot {\frac {p(T)}{p(\neg A)\cdot p(T|\neg A)}}={\frac {p(A)}{p(\neg A)}}\cdot {\frac {p(T|A)}{p(T|\neg A)}}=o(A)\cdot LR_{T}$

ראו גם

• תורת ההסתברות
• הסתברות מותנית
• סבירות

קישורים חיצוניים

• Probability 101 - סרטון הסבר על הסתברות, מונחים וחישובים בסיסיים