נתון מלון דמיוני שבו אינסוף חדרים. המלון הזה הוא הצלחה מסחררת - כל החדרים בו תפוסים.
- מגיע אדם נוסף ומבקש חדר. האם ניתן להביא לו חדר פנוי?
- למחרת מגיע אוטובוס ובו אינסוף אנשים. האם ניתן לתת לכולם חדר?
- למחרת מגיעים אינסוף אוטובוסים, ובכל אחד מהם אינסוף אנשים. האם ניתן לסדר לכולם מקום?
- ומה אם מגיע אוטובוס עם כל האנשים בעלי תעודות הזהות האינסופיות שמכילות רק ספרות 0 או 1?
| פתרון
|
חידה זאת מבוססת על "המלון של הילברט" שהוא סיפור שבא להדגים את התכונות הלא אינטואיטיביות של קבוצות אינסופיות. התשובה לכל השאלות חיובית, והפתרון הוא כדלהלן:
- נבקש מכל אורח לעבור לחדר הבא: 1 יעבור ל-2, 2 ל-3, 3 ל-4 וכן הלאה. בצורה כזאת כל אורח יקבל חדר, והחדר הראשון יתפנה לאורח הנוסף.
- נבקש מכל אורח לעבור לחדר שמספרו כפול: 1 יעבור ל-2, 2 ל-4, 3 ל-6 וכן הלאה. בצורה כזאת האורחים הקודמים ישכנו רק בחדרים זוגיים, והחדרים האי-זוגיים יהיו פנויים לאורחים החדשים.
- נשכן את אנשי האוטובוס הראשון בחדרים שמספרם הוא מהצורה
 , השני בחדרים מהצורה  וכן הלאה (כאשר הבסיסים הם המספרים הראשוניים) ואת אורחי המלון המקוריים נעביר לחדרים במספרים הפריקים בעלי לפחות שני גורמים ראשוניים שונים (6, 10, 14, 15, 21 וכן הלאה). כיוון שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים, יהיה מקום לכל האורחים החדשים.
- כעת לא ניתן לשכן אותם במלון. ראו האלכסון של קנטור להוכחת עוצמת קבוצת החזקה.
|
|