פורטל:מתמטיקה
המתמטיקה מוגדרת לעתים קרובות כלמידת הדפוסים והתבניות של מבנה, שינוי ומרחב, ואפיונם. מנקודת מבט מודרנית, מתמטיקה היא השימוש בלוגיקה פורמלית לחקירת מערכות ומבנים מופשטים שהוגדרו אקסיומטית.
מוצאם של רוב המבנים הנחקרים במתמטיקה הוא ממדעי הטבע, לרוב מפיזיקה, אך מתמטיקאים מרבים להגדיר ולחקור מבנים מסיבות פנימיות לחלוטין למתמטיקה עצמה, למשל לשם ביצוע הכללה מאחדת של תחומים מתמטיים אחדים או ככלי שימושי לביצוע חישובים. יש אפוא מתמטיקאים רבים שחוקרים תחומים מסוימים מסיבות אסתטיות לחלוטין, בראיית המתמטיקה כאמנות במידת מה יותר מכמדע שימושי.
משפט קנטור הוא משפט מתמטי יסודי בתורת הקבוצות. באופן פורמלי, המשפט קובע שהעוצמה של כל קבוצה קטנה מהעוצמה של קבוצת התת-קבוצות שלה. משמעות המשפט היא שלכל קבוצה, אפילו אינסופית, יש קבוצה גדולה ממנה (במובן מדויק שיוגדר בהמשך). מסקנה מיידית היא שיש אינסוף גדלים אינסופיים השונים זה מזה, ואין אינסוף גדול ביותר.
את המשפט הגה והוכיח אבי תורת הקבוצות, גאורג קנטור, בשנת 1891. שיטת הלכסון אותה המציא כדי להוכיח את המשפט ותוצאות דומות, מנצלת את הסתירות שביסוד פרדוקס הסַפָּר ופרדוקס השקרן, ומשמשת בתחומים רבים החורגים מתורת הקבוצות.
משולש, כפי שהוא נראה במערכות גאומטריות שונות. המשולש התחתון הנו משולש המתקיים בגאומטריה האוקלידית. המשלוש האמצעי מתקיים בגאומטריה היפרבולית והעליון בגאומטריה ספירית.
לכמה מסוגי המינרלים יש מבני גביש מורכבים מאוד. כך למשל למינרלים לוסיט, אנלציט ולכמה מסוגי הגארנט יש מבנה בצורת פאון בעל 24 פאות זהות, שצורתן דלתון הקרוי איקוסיטטרהדרון. למינרל קלציט, המרכיב העיקרי בסלעי הגיר ו"האבן" אותה אנו פוגשים בתחתית הקומקום והסותמת את צינורות המים החמים, יש מבנה פשוט של מעוינון, אבל הוא מצוי בטבע גם כסקלנוהדרון, פאון בעל 12 פאות.
בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של אתרי אינטרנט הפועלים להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב.
אתר היום: Project Euler (באנגלית)
פרויקט אוילר הוא אתר חידות מתמטיות-אלגוריתמיות, הקרוי על שמו של המתמטיקאי השווייצרי בן המאה ה-18, לאונרד אוילר.
החידות באתר מתאפיינות בכך שהן מציגות לפותר בעיות להן פתרון כוח גס פשוט ומתבקש אך בלתי ישים על מחשבים בימינו (סיבוכיותו גבוהה מדי). לכן, הפותר נאלץ להפגין תובנה מתמטית למציאת שיטות יעילות יותר לפתרון הבעיה. עם פתרון כל חידה, נחשף בפני הפותר פורום בו משתפים ביניהם הפותרים השונים את השיטות בהן נעזרו לשם הפריה הדדית ולעידוד הפותרים לחשוב על שיטות נבונות יותר בהמשך.
גוטפריד וילהלם פון לייבניץ (1 ביולי 1646 בלייפציג – 14 בנובמבר 1716 בהנובר) היה איש אשכולות גרמני שכתב בעיקר בלטינית וצרפתית.
הוא התלמד בתחום המשפטים והפילוסופיה, ושירת כמשרת בשני בתי אצולה גרמניים מרכזיים. לייבניץ שיחק תפקיד מרכזי בפוליטיקה ובדיפלומטיה האירופית של תקופתו. הוא בעל מקום בולט גם בהיסטוריה של הפילוסופיה ובהיסטוריה של המתמטיקה.
לייבניץ נחשב לאחד מאבות החשבון האינפיניטסימלי אותה פיתח במקביל לניוטון ורבים מהסימנים והמושגים המשמשים היום הענף הם פרי קביעתו. כמו כן, ידוע לייבניץ בשל פיתוח הבסיס הבינארי. לייבניץ היה הראשון לראות שהמקדמים של מערכת משוואות לינאריות יכולים להתארגן במערך, שכעת נקרא מטריצה, אשר ניתן לבצע עליו פעולות עד לקבלת הפתרון של המערכת. כמו כן השתמש גם ברעיון של דטרמיננטה 50 שנה לפני גבריאל קרמר. כמו כן, תרם רבות לתחומי אלגברה בוליאנית ולוגיקה סימבולית.
מתמטיקאים הם בני אדם, אלא שהם מסתירים זאת היטב.
— עמוס נוי
בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של ספרי מתמטיקה שנועדו להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב.
ספר היום:
אינסוף - המסע שאינו נגמר, חיים שפירא, הוצאת כנרת 2010
הספר "אינסוף - המסע שאינו נגמר", שכתב חיים שפירא ב-2010, עוסק במתמטיקה ונועד להנגיש את המתמטיקה לקהל הרחב. הספר כולל סימונים מתמטיים, הוכחות (נדיר בספרי מתמטיקה פופולרית) ואף תרגילי מחשבה מתמטיים לקורא, חלקם קלים יותר וחלקם קשים מאוד. שפירא מתבל את הספר בהומור, אנקדוטות, מידע היסטורי, אמרות כנף וקריקטורות של המאייר דני קרמן, על מנת להנגיש את המתמטיקה לקהל רחב, ולהפוך את קריאת הספר לקלילה וזורמת.
הספר מחולק לשלושה חלקים וכל חלק הוא בנושא אחר במתמטיקה. נושאי הספר הם:
- "מבוא למחשבה", ובו מספר חידות מתמטיות ובעיות פתורות הבאות להדגים את החשיבה המתמטית ולגרות את הקורא לפתור את חלקן בעצמו.
- תורת המספרים, ובו סוקר שפירא משפטים מוכחים ובעיות פתוחות בתורת המספרים, החל מפיתגורס, עבור בסדרת פיבונאצ'י וכלה במשפט האחרון של פרמה. חלק זה כולל לצד אנקדוטות, מידע היסטורי, ציטוטים והומור גם הוכחות מתמטיות ותרגילי מחשבה לקורא, חלקם קשים.
- תורת הקבוצות הנאיבית ובפרט עוצמות אינסופיות ופרקטלים. חלק זה נפתח עם הפרדוקסים של זנון וגרסאות נוספות של פרדוקסים אלה, אך מרכז החלק הוא ואריאציה עם הומור על המלון של הילברט ובו הוכחות שקבוצות המספרים הטבעיים החיוביים ממש, הטבעיים זוגיים, השלמים והרציונליים בנות מנייה ואילו הממשיים לא. גם בחלק זה משבץ שפירא הומור ותרגילי מחשבה לקורא.
לרשותכם שני פתילי השהיה, שכל אחד מהם בוער במשך שעה בדיוק. הפתילים אינם בוערים בקצב קבוע, ולכן אם נחתוך את הפתיל לשניים, שני החצאים לאו דווקא יבערו במשך חצי שעה כל אחד. כיצד ניתן בעזרת שני הפתילים למדוד 3/4 שעה?
| פתרון | |
|---|---|
|
המשפט האחרון של פרמה • משפט פיתגורס • משפטי האי-שלמות של גדל • המשפט היסודי של האריתמטיקה
מיון החבורות הפשוטות • משפט ארבעת הריבועים של לגראנז' • משפט המינימקס • משפט השאריות הסיני
לרשימת המשפטים
השערת גולדבך • השערת רימן • השערת פואנקרה • השערת הראשוניים התאומים • משפט ארבעת הצבעים • P=NP
לרשימת הבעיות הפתוחות במתמטיקה
הבעיות הגאומטריות של ימי קדם הן בעיות בנייה שנוסחו על ידי היוונים הקדמונים, והעסיקו מתמטיקאים במשך מאות שנים. הבעיות הן:
- בניית קובייה שנפחה כפול מזה של קובייה נתונה
- שילוש זווית: חלוקת זווית נתונה לשלושה חלקים שווים
- בניית ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון
- בניית מצולע משוכלל בן שבע צלעות
את כל הבניות יש לבצע במסגרת כללי המשחק של הגאומטריה, כלומר באמצעות בנייה בסרגל ובמחוגה בלבד.
רק במאה התשע-עשרה הושם קץ לניסיונות לפתור בעיות בנייה אלה, כאשר הוכח בעזרת תורת גלואה שהן לא פתירות, כלומר אין דרך לבצע את הבניות הנדרשות. עד למועד זה תרמו הניסיונות לפתרון בעיות אלה להתפתחותה של הגאומטריה.
נושאים במתמטיקה
| ||
|---|---|---|
| כמות | אינסוף - מספרים (טבעיים, שלמים, רציונליים, אי-רציונליים, ממשיים, מרוכבים) - מספרים סודרים - עוצמה - תורת המידה - קבועים מתמטיים | |
| שינוי | אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - אנליזה מרוכבת - אריתמטיקה - חשבון אינפיניטסימלי - תורת הכאוס - משוואות דיפרנציאליות - אנליזה פונקציונלית | |
| מבנה | אלגברה - אנליזה מתמטית - אריתמטיקה - טופולוגיה - תורת הגרפים - תורת החבורות - תורת המספרים | |
| מרחב | אלגברה לינארית - גאומטריה - טופולוגיה - טריגונומטריה - אנליזה וקטורית - חשבון טנזורים - מרחב מחויג | |
| מתמטיקה בדידה | חישוביות - קומבינטוריקה - קריפטוגרפיה - תורת הגרפים - תורת המשחקים | |
| יסודות ושיטות | לוגיקה - פילוסופיה של המתמטיקה - תורת הקבוצות - סימון מתמטי - תורת הקטגוריות | |
| מתמטיקה יישומית | אופטימיזציה - אנליזה נומרית - הסתברות - סטטיסטיקה - מתמטיקה פיננסית | |
| עולם המתמטיקה | הוראת המתמטיקה - האיחוד המתמטי הבינלאומי - היסטוריה של המתמטיקה - מדליית פילדס - מתמטיקאים - 23 הבעיות של הילברט | |
טריגונומטריה (מיוונית trigōnon "משולש" + metron "מדידה") היא ענף במתמטיקה העוסק בקשר שבין זוויות וצלעות. את הקשרים האלו מאפיינים על ידי הפונקציות הטריגונומטריות, כאשר רוב העיסוק בתחום מתמקד באפיון תכונותיהן. הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות הן הסינוס והקוסינוס. לטריגונומטריה שימושים רבים במתמטיקה, הן בממתטיקה טהורה והן במתמטיקה שימושית, ובתחומים רבים במדעי הטבע והטכנולוגיה.
|
ערכים המחפשים עורכים  |
דיונים, ייעוץ ועזרה
|
