חיבור

הדגמה של הפעולה 2+3

באריתמטיקה, חיבור היא פעולה יסודית שמשמעותה צירוף של שני אוספי פריטים לאוסף הכולל את שניהם. את החיבור מסמנים בעזרת הסימן + (פלוס). למספרים שמחברים קוראים "מחוברים" ולתוצאה קוראים "סכום". התמונה משמאל מדגימה את הביטוי 2+3=5: אם נצרף 3 צורות מלמעלה ו-2 צורות מלמטה, נקבל ביחד 5 צורות. לפעולה קוראים "פלוס" או "ועוד" לכן את הביטוי ניתן לקרוא כ"שתים ועוד שלוש" או "שתים פלוס שלוש". הדוגמה מדגימה את המשמעות היסודית של חיבור, היא חיבור מספרים טבעיים, אולם ניתן להגדיר גם חיבור מספרים שליליים, אי-רציונליים ואף מרוכבים, וכמו כן חיבור פונקציות, וקטורים, מטריצות, עוצמות ועוד.

הגדרות

חיבור מספרים טבעיים ניתן להגדיר בצורה נאיבית בעזרת לוח החיבור:

לוח החיבור
9	8	7	6	5	4	3	2	1	0	+
9	8	7	6	5	4	3	2	1	0	0
10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	1
11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	2
12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	3
13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	4
14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	5
15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	6
16	15	14	13	12	11	10	9	8	7	7
17	16	15	14	13	12	11	10	9	8	8
18	17	16	15	14	13	12	11	10	9	9

הלוח משמש לחיבור מספרים חד ספרתיים, כדי לחבר מספרי גדולים יותר יש לכתוב אותם זה מעל זה ולחבר את הטורים מימין לשמאל, וכאשר מתקבל מספר הגדול מ-9 יש להוסיף את ספרת העשרות שלו לטור הבא.

כדי להגדיר בצורה פורמלית מגדירים תוך שימוש באקסיומת העוקב של אקסיומות פאנו (לכל מספר טבעי קיים מספר עוקב ולא קיים מספר שהעוקב שלו 0), שאותן מקיימים המספרים הטבעיים. אם $\!\,S(a)$ הוא הסימון לעוקב של $\!\,a$, אז החיבור מוגדר ברקורסיה כך:

• $\!\,a+0=a$.
• $\!\,\left(a+S(b)\right)=S(a+b)$.
• לדוגמה, $\!\,(4+2)=S(4+1)=S\left(S(4+0)\right)=S(S(4))=S(5)=6$

מכאן ניתן להוכיח מספר תכונות מעניינות באינדוקציה (ראו להלן).

מערכות מספרים אחרות

מספרים שלמים

בבנייה פורמלית של המספרים השלמים, מגדירים יחס שקילות על $\mathbb {N\times N}$, כך ש- $(a,b)\sim (c,d)\Leftrightarrow a+d=b+c$. תחת הגדרה זו, כל מספר שלם הוא מחלקת שקילות של זוג סדור כלשהו. מגדירים $[(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)]$.

במילים אחרות, $(a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d)$ כאשר $a,b,c,d$ מספרים טבעיים.

מספרים רציונליים

בבנייה פורמלית של המספרים הרציונליים, מגדירים יחס שקילות על $\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})$, כך ש- $(a,b)\sim (c,d)\Leftrightarrow ad=bc$. תחת הגדרה זו, כל מספר רציונלי הוא מחלקת שקילות של זוג סדור כלשהו. מגדירים $[(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)]$.

במילים אחרות, חיבור מספרים רציונליים מוגדר בצורה הבאה:

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}$

מספרים ממשיים

בבניית המספרים הממשיים, מגדירים יחס שקילות על קבוצת סדרות קושי של מספרים רציונליים, כך ש- $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\exists N\in \mathbb {N} ,\forall n>N,|x_{n}-y_{n}|<\varepsilon$. תחת הגדרה זו, כל מספר ממשי הוא מחלקת שקילות של סדרה כלשהי. מגדירים: $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}+y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$.

מספרים מרוכבים

חיבור של מספרים מרוכבים מוגדר בצורה הבאה:

$\ (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$

עוצמות

הסכום $\kappa +\lambda$ כאשר $\kappa ,\lambda$ עוצמות מוגדר כך:
בוחרים קבוצות A, B זרות המקיימות $\ |A|=\kappa$, $\ |B|=\lambda$

העוצמה $\ \kappa +\lambda$ מוגדרת כעוצמת האיחוד $\ |A\cup B|$.

וקטורים

חיבור של וקטורים הוא חיבור של הקואורדינטות שלהם. כדי לחבר את ההצגה הגאומטרית, משתמשים בכלל המקבילית המגדיר כי ${\vec {AB}}+{\vec {BC}}={\vec {AC}}$.

סוגריים

כאשר יש לנו תרגיל עם סוגריים, כאשר מופיע הסימן + לפני הסוגריים, ניתן "לפתוח" את הסוגריים, או במילים אחרות להוריד או להעלים אותם. משום שפעולת החיבור לפני סוגריים לא תשנה את מה שיש בתוך הסוגריים ולא יהיה הבדל אם התרגיל יהיה גם ללא סוגריים, מה שמבדיל בין שאר הפעולות המתמטיות שכאשר הן נמצאות לפני סוגריים לא ניתן להעלים את הסוגריים ללא ביצוע פעולה מסוימת התלויה בסימן עצמו.

תכונות

לחיבור כמה תכונות בסיסיות:

• חילופיות: $\ a+b=b+a$
• קיבוציות: $\ (a+b)+c=a+(b+c)$
• נייטרליות של 0: $\ a+0=0+a=a$ ומכאן ש-0 הוא איבר היחידה של חיבור.

הוכחה

• מספרים טבעיים: נוכיח את שתי התכונות הראשונות על מספרים טבעיים באינדוקציה. התכונה השלישית נובעת מהגדרת החיבור והחילופיות.

• חילופיות: באינדוקציה על b. כצעד ראשון נוכיח באינדוקציה על a ש$0+a=a$. עבור $a=0$ נקבל $0+0=0$, ואם נניח נכונות עבור a, נקבל $0+S(a)=S(0+a)$. על פי הנחת האינדוקציה, הביטוי בסוגריים שווה לa, לכן $S(0+a)=S(a)$ כמו שרצינו להוכיח. לכן $a+0=a=0+a$ והוכחנו את בסיס האינדוקציה. כעת נניח עבור b ש$a+b=b+a$ ונקבל $a+S(b)=S(a+b)=S(b+a)=b+S(a)$. כעת נוכיח באינדוקציה על a שהביטוי הנ"ל שווה ל$S(b)+a$. עבור $a=0$ נקבל $b+S(0)=S(b+0)=S(b)=S(b)+0$. נניח עבור a ונקבל $b+S(S(a))=S(b+S(a))=S(S(b)+a)=S(b)+S(a)$. הרכבת ההוכחות הנ"ל תתן לנו ש$a+S(b)=b+S(a)=S(b)+a$, ומעבר האינדוקציה הושלם.
• קיבוציות: באינדוקציה על c. עבור $c=0$ נקבל $a+(b+0)=a+b=(a+b)+0$. נניח עבור c ונקבל $a+(b+S(c))=a+S(b+c)=S(a+(b+c))=S((a+b)+c)=(a+b)+S(c)$.

• מספרים שלמים:

• חילופיות: $[(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)]=[(c+a,d+b)]=[(c,d)]+[(a,b)]$
• קיבוציות: ${\begin{aligned}[(a,b)]+([(c,d)]+[(e,f)])&=[(a,b)]+[(c+e,d+f)]=[(a+(c+e),b+(d+f))]=[((a+c)+e,(b+d)+f)]\\&=([(a+c,b+d)]+[(e,f)]=([(a,b)]+[(c+d)])+[(e,f)]\end{aligned}}$
• נייטרליות של אפס: $[(a,b)]+[(0,0)]=[(a+0,b+0)]=[(a,b)]$
• קיום איבר נגדי: כאן מצטרפת תכונה חדשה, והיא קיום איבר נגדי - לכל x קיים y כך ש-$x+y=0$. נראה זאת: $[(a,b)]+[(b,a)]=[(a+b,b+a)]=[(0,0)]=0$, לכן $[(a,b)]$ הוא הנגדי של $[(b,a)]$, ונסמן $[(b,a)]=-[(a,b)]$.

• מספרים רציונליים:

• חילופיות: $[(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)]=[(cb+da,db)]=[(c,d)]+[(a,b)]$
• קיבוציות: $[(a,b)]+([(c,d)]+[(e,f)])=[(a,b)]+[(cf+de,df)]=[(adf+bcf+bde,bdf)]=[(ad+bc,bd)]+[(e,f)]=([(a,b)]+[(c,d)])+[(e,f)]$
• נייטרליות של אפס: $[(a,b)]+[(0,1)]=[(a+0\cdot b,b)]=[(a,b)]$
• קיום איבר נגדי: $[(a,b)]+[(-a,b)]=[(ab-ab,b^{2})]=[(0,b^{2})]=[(0,1)]=0$

• מספרים ממשיים:

• חילופיות: $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}+y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{y_{n}+x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$
• קיבוציות: $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+([\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }])=[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{y_{n}+z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}+y_{n}+z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=([\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }])+[\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$
• נייטרליות של אפס: $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{0\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}+0\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$
• קיום איבר נגדי: $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{-x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{0\}_{n=1}^{\infty }]=0$

• מספרים מרוכבים:

• חילופיות: $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i=(c+a)+(d+b)i=(c+di)+(a+bi)$
• קיבוציות: $(a+bi)+((c+di)+(e+fi))=(a+bi)+((c+e)+(d+f)i)=(a+c+e)+(b+d+f)i=((a+bi)+(c+di))+(e+fi)$
• נייטרליות של אפס: $(a+bi)+(0+0i)=(a+0)+(b+0)i=a+bi$
• קיום איבר נגדי: $(a+bi)+(-a-bi)=(a-a)+(b-b)i=0+0i=0$

(הערה: בחלק ממערכות המספרים השתמשנו לא רק בתכונות החיבור של המערכת הקודמת, אלא גם בכמה מתכונות הכפל, עליהן ניתן לקרוא כאן)

פעולות דומות

• סכום: הסכום מייצג תהליך של חיבור של מספר עצמים. לייצוג הסכום משתמשים באות היוונית Σ (סיגמא גדולה).
• איחוד: פעולת האיחוד היא פעולה בין קבוצות אשר מצרפת את האיברים שבהן לקבוצה חדשה.
• אינטגרל: פעולת האינטגרציה היא חלוקה לחלקים קטנים (שגודלם שואף ל-0 ומספרם לאינסוף) וסיכומם.
• צירוף ליניארי הוא חיבור של וקטורים.
• קונבולוציה היא פעולה הדומה לחיבור של פונקציות או סדרות.

ראו גם

• עקרון החיבור
• ארבע פעולות החשבון
• חיבור מטריצות

קישורים חיצוניים

הוכחת תכונת החילופיות של חיבור

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

31598855חיבור