משפט המספרים המחומשים

משפט המספרים המחומשים הוא משפט הקובע את הפיתוח לטור של המכפלה האינסופית $\prod _{k=1}^{\infty }(1-x^{k})$ .

נסמן $p_{n}={\frac {3n^{2}-n}{2}}$ את המספר המחומש המוכלל ה־$n$־י. משפט המספרים המחומשים קובע את הזהות המפתיעה:

$$\prod _{k=1}^{\infty }(1-x^{k})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}x^{p_{n}}$$

כלומר,

$(1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\cdots =1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-\cdots$

השוויון הוא שוויון בין טורי חזקות פורמליים, והוא מתכנס לכל $|x|<1$ .

התיעוד הראשון של המשפט מופיע בהתכתבות בין לאונרד אוילר לדניאל ברנולי מ-1741. אוילר נתן הוכחה מלאה למשפט במכתב לכריסטיאן גולדבך ב-1750.

השימוש העיקרי במשפט הוא להוכחת נוסחאות נסיגה לפונקציית המחלקים ולפונקציית החלוקה.

הוכחה

ההוכחה המקורית של אוילר היא דרך מניפולציות אלגבריות. נביא כאן הוכחה קומבינטורית יותר באופיה.

ראשית נגדיר מינוח שימושי. חלוקה של מספר שלם היא הצגה שלו כסכום של מספרים טבעיים. שתי חלוקות הן זהות אם ההבדל היחיד ביניהן הוא סדר המחוברים. חלוקה נבדלת היא חלוקה שבה כל המחוברים שונים זה מזה. למשל החלוקות הנבדלות של 8 הן: 1+2+5, 1+3+4, 1+7, 2+6, 3+5, 8. חלוקה נבדלת תקרא חלוקה זוגית או חלוקה אי-זוגית אם מספר המחוברים בה הוא זוגי או אי-זוגי בהתאמה (זהו אינו השימוש המקובל במינוחים אלו). נשים לב כי ל-8 יש מספר זהה של חלוקות זוגיות ואי-זוגיות. עובדה זו אינה מקרית, כפי שיוסבר בהמשך.

נגדיר את הטור הפורמלי:

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-x^{k}\right)$

מפתיחת סוגריים באגף ימין נקבל:

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=\sum _{0<k_{1}<k_{2}<\ldots <k_{m}}(-1)^{m}x^{k_{1}+k_{2}+\ldots +k_{m}}$

המקדמים של $x^{n}$ הם 1 לכל חלוקה זוגית של n ו--1 לכל חלוקה אי-זוגית של n. כלומר $a_{n}$ שווה למספר החלוקות הזוגיות של n פחות מספר החלוקות האי-זוגיות.

כדי לסיים את הוכחת המשפט נותר להראות ש-$a_{n}\neq 0$ רק כאשר n מספר מחומש, ואז הוא שווה 1 או -1 בהתאמה. לשם כך עלינו להוכיח, שלמעט במקרה המחומש, מספר החלוקות הזוגיות של מספר תמיד שווה למספר החלוקות האי-זוגיות שלו.

נגדיר פונקציה על קבוצת החלוקות הנבדלות של מספר באופן הבא: בהינתן חלוקה נבדלת, נסמן את המחובר הקטן ביותר בה ב-m. כעת:

• אם m המחוברים הגדולים ביותר הם מספרים עוקבים, חבר לכולם 1 ומחק את m מן החלוקה.
• אחרת, יש רק l המחוברים גדולים ביותר שהם עוקבים (l<m). החסר מהם 1 והוסף את l כמחובר.

קל לראות שפונקציה זו היא אינוולוציה, הפעלתה פעמיים מחזירה את החלוקה המקורית. כמו כן קל לראות שהפעלתה על חלוקה זוגית מחזירה חלוקה אי-זוגית ולהיפך. מכאן שמדובר בהתאמה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצת החלוקות הזוגיות לקבוצת החלוקות האי-זוגיות של מספר נתון והן שוות, זאת למעט מקרה קצה בו הפונקציה נכשלת. למשל במקרה של 8 הפונקציה מתאימה את הזוגות:

$$1+2+5\leftrightarrow 2+6,\ \ \ 1+3+4\leftrightarrow 3+5,\ \ \ 8\leftrightarrow 1+7$$

לכן, $a_{8}=0$.

ישנם שני מקרי קצה אפשריים שבהם הפונקציה נכשלת:

1. m בעצמו הוא אחד מ-m המחוברים העוקבים הגדולים ביותר. במקרה כזה מחברים 1 ל-m ואז מחסרים אותו ולכן לא מתקבלת חלוקה של אותו מספר. החלוקה במקרה זה היא: $m+(m+1)+\ldots +(2m-1)=p_{m}$. לכן $a_{p_{m}}=(-1)^{m}$.
2. m הוא אחד מ-l המחוברים הגדולים ביותר ו-l+1=m. במקרה כזה מחסרים מ-m 1 ומצד שני מוסיפים את l, ולכן יש שני מחוברים זהים והחלוקה אינה נבדלת. החלוקה במקרה זה היא: $m+(m+1)+\ldots +(2m-2)=p_{1-m}$. לכן $a_{p_{(1-m)}}=(-1)^{1-m}$.

כל מספר מחומש הוא מהצורה $p_{m}$ או $p_{1-m}$ ל-m שלם חיובי ולכן ההוכחה הושלמה.

נוסחת נסיגה לפונקציית החלוקה

פונקציית החלוקה $p(n)$ סופרת את מספר הדרכים השונות לחלק את המספר $n$ כסכום של טבעיים. אין נוסחה סגורה ישירה לחישוב $p(n)$.

משפט המספרים המחומשים מאפשר לחשב את $p(n)$ באמצעות נוסחת נסיגה. אוילר הוכיח שהפונקציה היוצרת של פונקציית החלוקה היא:

$$\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{1-x^{k}}}\right)$$

נסמן:

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }p(k)x^{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(-1\right)^{k}x^{p_{k}}\right)$

אזי:

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{1-x^{k}}}\right)\prod _{k=1}^{\infty }(1-x^{k})=1$

מכאן של-n חיובי $a_{n}=0$. אולם אם נחשב אותו ישירות מן ההגדרה נקבל:

$$a_{n}=\sum _{k\in \mathbb {Z} }(-1)^{k}\cdot p(n-p_{k})$$

ולאחר בידוד המחובר $(-1)^{0}\cdot p(n-p_{0})=p(n)$ והעברת אגפים מקבלים:

$$p(n)=\sum _{k\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}(-1)^{k-1}\cdot p(n-p_{k})$$

זהו סכום סופי, שכן $p(0)=1$ (סכום ריק), ולכל k שלילי $p(k)=0$.

ראו גם

• משפט החלוקה של אוילר