משפט אוילר (גאומטריה דיפרנציאלית)

בענף המתמטי של גאומטריה דיפרנציאלית, משפט אוילר הוא תוצאה על העקמומיות של עקומים על משטח. המשפט מראה כי קיימים כיוונים ראשיים (principle directions) בהם המשטח מתעקל במידה מרבית ובמידה מזערית, וקובע את הקשר המתמטי בין ערכי העקמומיות הראשיים (principle curvatures) - אותם ערכים מקסימליים ומינימליים של העקמומיות - לעקמומיות של המשטח בכיוון שרירותי. המשפט נקרא על שם לאונרד אוילר שהוכיח אותו ב-1760.

בניסוח מתמטי, יהי M משטח במרחב אוקלידי תלת ממדי, ותהי p נקודה על M. מישור נורמלי דרך הנקודה p הוא מישור העובר דרך p ומכיל את הווקטור הנורמל למשטח M בנקודה. דרך כל ווקטור יחידה משיק ל-M ב- p עובר מישור נורמלי P_X אשר חותך עקום מ-M. לעקום הזה יש עקמומיות מסוימת κ_X כאשר מסתכלים עליו כעקום במישור P_X. בהינתן שלא כל ה-κ_X שווים, יש ווקטור יחידה מסוים X₁ עבורו k₁ = κ_X1 הוא מרבי, ויש ווקטור יחידה מסוים X₂ עבורו k₂ = κ_X2 הוא מזערי. משפט אוילר מאשר שהכיוונים X₁ ו-X₂ ניצבים זה לזה, ויותר מכך, שאם X הוא כיוון אחר על המישור המשיק למשטח, שיוצר זווית θ עם X₁, אז:

$\kappa _{X}=k_{1}\cos ^{2}\theta +k_{2}\sin ^{2}\theta .\,$,

בפרט, כאשר מציבים $\theta =0,\pi /2$ מקבלים את ערכי העקמומיות הראשיים; כלומר הם אכן ניצבים זה לזה.

אינטואיציה והוכחת המשפט

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

ערכי העקמומיות הראשיים של משטח בסביבת נקודת אוכף שלו. באיור מוצגים המישור המשיק ושני מישורים נורמלים המתאימים לכיוונים הראשיים של המשטח בנקודת האוכף.

אוילר גילה את המשפט שלו דרך התבוננות "מושכלת" בקירובים של ההתנהגות המקומית של משטחים $z=f(x,y)$. ראשית יש להבחין שערכי העקמומיות לא תלויים בבחירת מערכת הקואורדינטות, לכן נציב את הראשית שלה בנקודה (x,y) ונמקם אותה כך שמישור xy יתלכד עם המישור המשיק למשטח בנקודה (x,y). קיבלנו משטח שמתאפס ב-(0,0) ושכל נגזרותיו הראשונות מתאפסות גם הן באותה נקודה. כיוון שעקמומיות היא גודל מסדר שני, הגיוני לנסות לקרב את המשטח באמצעות משטחים ממעלה שנייה; המבנה המקומי של משטח יכול להיות אליפטי, פרבולואידי, או היפרבולי. המקרה הפרבולואידי מתרחש על פני כדור (העקמומיות בכל כיוון זהה), האליפטי באליפסואיד וההיפרבולי כאשר מדובר במשטח בסביבת נקודת אוכף שלו. אם נחתוך מהמשטח עקומים על ידי העברת מישורים מקבילים למישור xy שקרובים לו באופן אינפיניטסימלי (מישורים מהצורה $z=h$), נקבל אליפסה, מעגל או שני ענפים היפרבוליים (במקרה ההיפרבולי העקום אינו סגור משום שבנקודת אוכף חלקים שונים של המשטח נמצאים בצדדים שונים של המישור המשיק).

דרך פורמלית לראות את כל האמור לעיל, היא דרך פיתוח טיילור לסדר שני של הפונקציה: $z=h=f(x,y)={\frac {1}{2!}}f_{xx}x^{2}+f_{xy}xy+{\frac {1}{2!}}f_{yy}y^{2}$. קיבלנו ביטוי מהצורה $h=ax^{2}+bxy+cy^{2}$ (תבנית ריבועית) שאותו ניתן להביא לצורתו הקנונית המוכרת $\alpha x'^{2}+\beta y'^{2}$ באמצעות הצבות לינאריות מתאימות $x'=\alpha _{1}x+\beta _{1}y,y'=\alpha _{2}x+\beta _{2}y$. הכיוונים הראשיים של המשטח, אותם כיוונים בהם ערך העקמומיות מקסימלי ומינימלי, הם למעשה כיווני הצירים של חתך החרוט (הבאה לצורה הקנונית שקולה למיקום ציר ה-x וציר ה-y על הכיוונים הראשיים של המשטח). הערך המרבי של העקמומיות הוא בכיוון הציר המשני שלו ואילו הערך המזערי בכיוון הציר הראשי. כעת יש לזהות את המקדמים בצורה הקנונית כערכי העקמומיות הראשיות $k_{1}$ ו-$k_{2}$ - המקדמים הללו הם הנגזרות הכיווניות מסדר שני בכל אחד מהכיוונים הראשיים. השלב האחרון בהוכחה הוא קבלת השוויון: $h={\frac {1}{2}}k_{X}(x^{2}+y^{2})={\frac {1}{2}}k_{1}x^{2}+{\frac {1}{2}}k_{2}y^{2}$, כאשר $k_{X}$ הוא העקמומיות בכיוון שרירותי. כאשר מבחינים כי $cos^{2}\theta =x^{2}/(x^{2}+y^{2})$ (כנ"ל לגבי סינוס הזווית) מקבלים את התוצאה של אוילר: $\kappa _{X}=k_{1}\cos ^{2}\theta +k_{2}\sin ^{2}\theta \,$.

הפרוצדורות בהן אוילר השתמש לקבלת המשפט שקולות לפרוצדורות המודרניות הנעזרות במטריצת ההסיאן.

דוגמאות

• על פני כדור, הצורה הריבועית של הנוסחה של אוילר עקבית עם העובדה שהעקמומיות בכל כיוון זהה ושווה לעקמומיות של מעגל גדול. מתקיים $k_{1}=k_{2}={\frac {1}{R}}$ ואכן: $k_{n}=k_{1}cos^{2}\theta +k_{2}sin^{2}\theta =k_{1}\cdot (cos^{2}\theta +sin^{2}\theta )=k_{1}={\frac {1}{R}}$.
• על פני גליל העקמומיות בכיוון אחד היא $k_{1}={\frac {1}{r}}$ (כאשר r רדיוס הבסיס) והעקמומיות בכיוון הניצב היא 0, לכן העקמומיות בכיוון שרירותי מקיימת: $k_{n}=k_{1}cos^{2}\theta$.