שבר משולב

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

שבר משולב הוא ביטוי מהצורה

$x=a_{0}+{\dfrac {1}{a_{1}+{\dfrac {1}{a_{2}+{\dfrac {1}{a_{3}+{\dfrac {1}{\cdots +{\dfrac {1}{a_{n}}}}}}}}}}}$

כאשר המספרים $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}$ הם בדרך כלל מספרים טבעיים, או ביטוי אינסופי בעל מבנה דומה.

שברים משולבים מופיעים בתחומים שונים של תורת המספרים: ניתוח אלגוריתם אוקלידס המורחב לחישוב מחלק משותף מקסימלי, פתרון משוואת פל, ובעיקר קירובים רציונליים למספרים ממשיים. למעשה, נתן להראות כי הקירובים המתקבלים על ידי שברים משולבים הם הקירובים הרציונליים הטובים ביותר. לשברים משולבים יש חשיבות רבה גם באנליזה נומרית, לצורך קירוב של קבועים ופונקציות שונות, לרבות פונקציות לא־אלמנטריות.

היסטוריה

נטען שכבר ארכימדס עשה שימוש בשיטת השברים המשולבים, במסגרת עבודתו על שיטה לחישוב פאי, שבמהלכה היה צריך לבצע קירובים רציונליים לשורשים ריבועיים של מספרים שאינם ריבועים (ראו גם "על המדידה של המעגל"). מאוחר יותר, גם אריהאבטה ולאונרדו פיבונאצ'י חקרו את השימוש בשברים משולבים. המונח "שבר משולב" נטבע ב-1653 על ידי ג'ון ואליס בחיבורו "Arithmetica infinitorum". בערך באותו זמן, המדען ההולנדי המפורסם כריסטיאן הויגנס עשה שימוש פרקטי ראשון בשברים משולבים, כשהשתמש בהם לצורך בניית מכשירים מדעיים המורכבים מגלגלי שיניים.

את הטיפול השיטתי הראשון בשברים משולבים סיפק לאונרד אוילר במאמריו De fractionibus continuis dissertatio ו- Introductio in analysin infinitorum, בהם ניתח באופן מעמיק את התכונות של שברים משולבים, הוכיח שכל מספר רציונלי ניתן להצגה כשבר משולב סופי, הוכיח את השקילות של טורים אינסופיים מסוימים עם שברים משולבים (נוסחת אוילר לשברים משולבים), ומצא הצגה של הקבוע המתמטי e כשבר משולב אינסופי, ממנה נבע כי $e$ אי־רציונלי. הוא גם עשה שימוש בהם לצורך פתרון משוואת פל. ב-1761, יוהאן היינריך למברט סיפק את ההוכחה הראשונה כי $\pi$ אי־רציונלי באמצעות הצגה של $\tan(x)$ כשבר משולב. ההוכחה שלו הייתה חריגה בנוף המתמטי של התקופה כיוון שלא רק שהפיתוח לשבר משולב נרשם נכונה לראשונה, אלא שלמברט גם נתן הוכחה של ההתכנסות שלו.

ב-1813, קרל פרידריך גאוס גזר תבנית כללית ביותר של שברים משולבים עם ערכים מרוכבים באמצעות זהות שקשרה בינם לטור ההיפרגאומטרי. גאוס גם חקר לפני כן, ב-1800, את ההתנהגות של שברים משולבים של מספרים ממשיים אקראים וניסח והוכיח מספר חוקים לגבי ההתנהגות שלהם. רק ב-1928, Kuzmin בנה מחדש את ההוכחה של גאוס.

סימונים והכללות

לשם הקיצור, מקובל לסמן את השבר המשולב המופיע במבוא $x=[a_{0};a_{1},\ldots ,a_{n}]$ . שבר כזה, בו כל המונים שווים ל-1, קרוי לפעמים שבר משולב פשוט, בעוד ששבר משולב מוכלל הוא ביטוי כללי יותר, מן הצורה

$x=a_{0}+{\dfrac {b_{1}}{a_{1}+{\dfrac {b_{2}}{a_{2}+{\dfrac {b_{3}}{a_{3}+\cdots +{\dfrac {b_{n}}{a_{n}}}}}}}}}$

שברים משולבים כאלה כותבים לפעמים $x=a_{0}+{\frac {b_{1}}{a_{1}+}}\,{\frac {b_{2}}{a_{2}+}}\,{\frac {b_{3}}{a_{3}+}}\cdots$ .

הרכיבים הסופיים של שבר משולב

את השבר האינסופי $x=a_{0}+{\frac {b_{1}}{a_{1}+}}\,{\frac {b_{2}}{a_{2}+}}\,{\frac {b_{3}}{a_{3}+}}\cdots$ אפשר לחקור בעזרת המרכיבים הסופיים שלו,$x_{k}=a_{0}+{\frac {b_{1}}{a_{1}+}}\,{\frac {b_{2}}{a_{2}+}}\,\cdots \,{\frac {+b_{k}}{a_{k}}}$ , שהם מספרים רציונליים.

הבניה של שבר משולב מן הסדרות $a_{n},b_{n}$ היא תהליך אינסופי, שמלכתחילה לא מובן מאליו שהוא מתכנס למספר כלשהו. התכונה הבסיסית ביותר של שברים משולבים היא העובדה שהתהליך מתכנס כל אימת שהסדרות המגדירות אותו חיוביות.

נגדיר סדרות נסיגה על-פי תנאי ההתחלה $p_{-1}=1,q_{-1}=0\ ;\ p_{0}=a_{0},q_{0}=1$ , ונוסחת הנסיגה $q_{n}=a_{n}q_{n-1}+b_{n}q_{n-2}\ ,\ p_{n}=a_{n}p_{n-1}+b_{n}p_{n-2}$ .

מתברר שתחת הגדרה זו, המנות ${\frac {p_{k}}{q_{k}}}$ מתארות את השלבים הסופיים בפיתוח השבר המשולב, כלומר, $x_{k}={\frac {p_{k}}{q_{k}}}$ לכל $k$ טבעי.

את נוסחת הנסיגה אפשר לכתוב בעזרת מטריצות, באופן הבא:

${\begin{pmatrix}p_{n}&q_{n}\\p_{n-1}&q_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{n}&b_{n}\\1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}p_{n-1}&q_{n-1}\\p_{n-2}&q_{n-2}\end{pmatrix}}$

מהשוואת הדטרמיננטה בשני האגפים, נובע באינדוקציה כי

${\begin{aligned}p_{k}q_{k-1}-p_{k-1}q_{k}=(-1)^{k-1}\prod _{i=1}^{k}b_{i}\end{aligned}}$

זוהי זהות חשובה ביותר, שאפשר להסיק ממנה תכונות רבות של הסדרות המעורבות. למשל, בשבר משולב פשוט מתקיים $b_{k}=1$ לכל $k$ , ואם כך הזהות קובעת שהמספרים $p_{k},q_{k}$ זרים, כך שהשבר $x_{k}$ שהם מציגים הוא שבר מצומצם.

כדי להוכיח את התכנסות התהליך, נחלק את הזהות במכפלה $q_{k}q_{k-1}$ ונקבל

$x_{k}-x_{k-1}=(-1)^{k-1}{\frac {\displaystyle \prod _{i=1}^{k}b_{i}}{q_{k}q_{k-1}}}$

כלומר

${\begin{aligned}x_{k}=x_{0}+\sum _{j=1}^{k}(-1)^{j-1}{\frac {\displaystyle \prod _{i=1}^{j}b_{i}}{q_{j}q_{j-1}}}\end{aligned}}$

מנוסחת הנסיגה, קל להיווכח כי הסדרה ${\frac {b_{1}\cdots b_{k}}{q_{k}q_{k-1}}}$ היא סדרה יורדת של מספרים חיוביים, ומשפט לייבניץ מבטיח שהטור המתחלף המגדיר את $x_{k}$ מתכנס.

למעשה, חישוב בעזרת נוסחת הנסיגה מביא לנוסחה

${\begin{aligned}p_{k}q_{k-2}-p_{k-2}q_{k}=(-1)^{k}a_{k}\prod _{i=1}^{k-1}b_{i}\end{aligned}}$

שממנה מתקבל היחס

$x_{k}-x_{k-2}=(-1)^{k}{\frac {\displaystyle a_{k}\prod \limits _{i=1}^{k-1}b_{i}}{q_{k}q_{k-2}}}$

מכאן שסדרת הקירובים הזוגיים היא סדרה עולה, וסדרת הקירובים האי־זוגיים היא סדרה יורדת. עוד אפשר להוכיח שאברי הסדרה הזוגית תמיד קטנים מאברי הסדרה היורדת.

הצגה של מספרים ממשיים

הדיון לעיל מראה שאם המספרים $a_{n}$ טבעיים, אז הביטוי $x=[a_{0};a_{1},\ldots ]$ הוא תמיד מספר ממשי מוגדר היטב (דהיינו, סדרת המספרים $x_{k}$ מתכנסת). מן האלגוריתם של אוקלידס (או באינדוקציה) נובע שלכל מספר רציונלי יש הצגה כשבר משולב סופי. מאידך, אפשר להוכיח שלכל מספר ממשי שאינו רציונלי קיימת הצגה (יחידה) כשבר משולב אינסופי.

את ההצגה של $x$ כשבר משולב אפשר לחשב על ידי הגדרת סדרת עזר, באופן הבא: $x_{0}'=x$ , ולכל $n\geq 0$ מגדירים $a_{n}=[x_{n}']$ (הערך השלם) $x_{n+1}'={\frac {1}{x_{n}'-a_{n}}}$ . השבר המשולב $[a_{0};a_{1},\ldots ]$ שווה במקרה זה ל-$x$ .

משפט. ההצגה של מספר ממשי כשבר משולב היא מחזורית, אם ורק אם המספר הוא שורש למשוואה ריבועית בעלת מקדמים שלמים.

למשל, השבר המשולב $x=[1;{\overline {1}}]=[1;1,1,\ldots ]$ מייצג את יחס הזהב ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ , משום שלפי ההגדרה $x=1+{\frac {1}{x}}$ . בדומה לזה, $y=[1;{\overline {3,1}}]={\frac {3+{\sqrt {21}}}{6}}$ , כי מ-$y=1+{\frac {1}{3+{\frac {1}{y}}}}$ מתקבלת המשוואה $3y^{2}-3y-1=0$ . הפיתוח של ${\sqrt {D}}$ לשבר משולב מחזורי מאפשר לפתור את משוואת פל $x^{2}-Dy^{2}=1$ .

ישנם מספרים אי־רציונליים יוצאי דופן, עבורם הייצוג כשבר משולב ידוע, למרות שאינו מחזורי. למשל, עבור הקבוע $e$ ניתן להוכיח כי $e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,\ldots ]$ . אם נתיר לחבר אפסים במכנה, נקבל את הייצוג $e=[1;0,1,1,2,1,1,4,1,1,6,1,\ldots ]$ (שכן $2=[1;0,1]$) בו החוקיות יותר ניכרת.

קירובים על ידי שברים משולבים

כידוע, כל מספר אי־רציונלי ניתן לקרב על ידי סדרת מספרים רציונליים. למשל, נוכל לקרב את $\pi$ באופן דצימלי על ידי הסדרה

${\frac {3}{1}},{\frac {31}{10}},{\frac {314}{100}},\ldots$

ניתן להתקרב למספר אי־רציונלי עד למרחק קטן כרצוננו, אולם לשם כך יהא עלינו להגדיל את המכנה בשבר המקרב. לכן מודדים את טיב הקירוב במרחק של השבר הרציונלי מן היעד, יחסית לגודל המכנה.

בניית שבר משולב נותנת טכניקה לקירוב רציונלי של מספרים אי־רציונליים. אפשר להציג את $\pi$ כשבר משולב על ידי $[3;7,15,\ldots ]$ . מתוך תחילת הייצוג נוכל לקבל את הקירוב $3+{\frac {1}{7+{\frac {1}{15}}}}={\frac {333}{106}}$ למספר $\pi$ . קירוב זה הוא בעל מכנה דומה לקירוב ${\frac {314}{100}}$ אולם מתקיים $\left|\pi -{\frac {314}{100}}\right|=0.00159$ , ואילו $\left|\pi -{\frac {333}{106}}\right|=0.000083$ , וכך הקירוב שהתקבל מתוך פיתוח השבר המשולב הוא טוב יותר.

יהי ${\frac {p}{q}}$ שבר המתקבל משלב כלשהו בפיתוח השבר המשולב של מספר אי־רציונלי $x$ . שבר זה הוא מיטבי לקירוב, מהבחינות הבאות:

• אין שבר בעל מכנה קטן יותר המקרב את $x$ טוב יותר. כלומר, עבור, זוג מספרים טבעיים $a,b$ , המקיימים $b\leq q$ נקבל $|qx-p|\leq |bx-a|$ .
• כל שבר המקרב היטב את $x$ מופיע בשלב כלשהו בפיתוח השבר המשולב שלו. כלומר, אם ${\frac {p}{q}}$ שבר רציונלי מצומצם המקיים $\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{2q^{2}}}$ אז השבר יופיע בשלב כלשהו בפיתוח השבר המשולב של $x$ .
• בהינתן שלושה שברים משלבים רצופים בפיתוח של $x$ כשבר משולב, לפחות אחד מהם יקיים $\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}$ . לפי משפט הורוביץ (ראו קירוב דיופנטי), זהו הקירוב המיטבי שניתן להשיג עבור מספר אי־רציונלי כללי.

התנהגות כמעט תמיד

כאשר מתאימים מספר ממשי $x$ לפיתוח $x=[a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ]$ , אפשר לבחון את התנהגות הסדרה $a_{n}$ עבור ערכים שונים של $x$ .

למשל, ידוע שכמעט לכל $x$ , הסדרה אינה חסומה; ליתר דיוק, קבוצת הערכים $0<x<1$ שעבורם הסדרה חסומה היא קבוצה ממידה אפס. המתמטיקאי הרוסי אלכסנדר חינצ'ין (Александр Хинчин) הוכיח בספרו תוצאות רבות מסוג זה, העוסקות בערכים $a_{n},q_{n}$ המתקבלים מהצגת מספר ממשי שנבחר באקראי (בין היתר עשה התקדמות אל הוכחה של השערה מהיומן של גאוס). להלן כמה מן המשפטים החשובים שהוכיח חינצ'ין.

משפט. תהי $h_{n}$ סדרה כלשהי. אם הטור $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{h_{n}}}$ מתבדר, אז כמעט תמיד מתקיים אי-השוויון $a_{n}\geq h_{n}$ עבור אינסוף ערכי $n$ ; ואם הטור מתכנס, אז כמעט תמיד מתקיים אי-שוויון זה רק עבור מספר סופי של ערכי $n$ .

(למשל, כמעט לכל $x$ הסדרה ${\frac {a_{n}}{n}}$ אינה חסומה).

משפט. כמעט לכל $x$ מתקיים $\lim _{n\to \infty }{\frac {\log(q_{n})}{n}}={\frac {\pi ^{2}}{12\log(2)}}$ . בפרט, הסדרה $q_{n}$ גדלה במהירות אקספוננציאלית (למעשה, קל לראות מן ההגדרה שהסדרה גדלה מהר לפחות כמו סדרת פיבונאצ'י).

חינצ'ין חקר גם את ההתפלגות של המקדמים $a_{n}$ (עבור $x$ בעל התפלגות אחידה בקטע היחידה), והראה שלכל פונקציה $f$ שאינה גדלה מהר מדי ($f(n)<Cn^{{\frac {1}{2}}-\varepsilon }$ עבור קבוע מתאים $C$ ו-$\varepsilon >0$) ,

הערך הממוצע $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(a_{k})$ של המספרים $f(a_{n})$ שווה, בהסתברות 1

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }\log _{2}\left(1+{\frac {1}{k(k+1)}}\right)f(k)\end{aligned}}$

בפרט, שכיחות ההופעה של קבוע $N$ בסדרה היא $\log _{2}\left(1+{\frac {1}{N(N+1)}}\right)$ . תוצאה זו מכלילה את מידת גאוס, שהיא המידה על קטע היחידה האינווריאנטית להעתקה $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ .

ראו גם

• אלגוריתם אוקלידס המורחב
• משוואת פל
• קירוב דיופנטי

קישורים חיצוניים

גדי אלכסנדרוביץ', שברים משולבים, ולמה הם מגניבים, באתר "לא מדויק",