פייר-סימון לפלס

פייר־סימון לפלס
Pierre Simon Laplace

לידה	23 במרץ 1749 בומונט-אן-אוז' , צרפת
פטירה	5 במרץ 1827 (בגיל 77) פריז, צרפת
ענף מדעי	אסטרונומיה, מתמטיקה
מקום מגורים	צרפת
תרומות עיקריות
משוואת לפלס, התמרת לפלס, לפלסיאן, שיטת הריבועים הפחותים, חקר תנועות כוכבי לכת וכוכבים.

המרקיז פייר־סימון לַפְּלָס (בצרפתית: Pierre-Simon Laplace;‏ 23 במרץ 1749 – 5 במרץ 1827) היה אסטרונום, מתמטיקאי ופיזיקאי צרפתי אשר עבודתו הייתה מרכזית להתפתחות המתמטיקה, הסטטיסטיקה, הפיזיקה והאסטרונומיה. הוא סיכם והרחיב את עבודותיהם של קודמיו בעבודתו בעלת חמשת הכרכים מכניקה שמיימית (Mécanique Céleste) (שפורסמה בשנים 1799–1825). עבודה זו תרגמה את השפה הגאומטרית של המכניקה הקלאסית (כפי שהציג אותה במקור ניוטון) לשפת החשבון האינפיניטסימלי, ובכך פתחה צוהר למחקר של היקף רחב בהרבה של בעיות. בסטטיסטיקה, הפרשנות הבייסיאנית להסתברות פותחה לראשונה בעיקר על ידי לפלס.

לפלס ניסח את משוואת לפלס, והוביל את השימוש בהתמרת לפלס אשר מופיעה בתחומים רבים של פיזיקה מתמטית, תחום שהיה לו תפקיד מוביל בעיצובו הראשוני. אופרטור הלפלסיאן, גם נקרא על שמו. לפלס פיתח את השערת הערפילית על מקורה של מערכת השמש, והיה אחד המדענים הראשונים ששיערו את קיומם של מספר מושגי מפתח באסטרונומיה מודרנית, כמו חורים שחורים ואת רעיון הקריסה הכבידתית.

בתקופתו התפרסם הרבה בזכות יישום תורתו של ניוטון בחישוב תנועת גרמי השמים במערכת השמש, על כן זכה לכינוי ניוטון הצרפתי או ניוטון של צרפת. בזכות תרומותיו הענפות, לפלס זכור כאחד המדענים הגדולים בכל הזמנים, ותואר כבעל יכולת מתמטית טבעית שעלתה על זו של רבים מהמדענים הגדולים של זמנו.

בספטמבר 1785 הוא ישב בחבר השופטים בתחרות הסיום של בית הספר הצבאי שאן דה מארס שבה השתתף נפוליאון בונפרטה.

ביוגרפיה

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

המסמכים המקוריים הנוגעים לחייו של לפלס אבדו כאשר בשנת 1925 נשרפה הטירה המשפחתית סנט־ז'וליאן דה מייוק (Saint-Julien de Mailloc), ליד ליזייה (Lisieux), ביתו של נין־נין־נינו הרוזן דה־קולבר לפלס; חלק מהמסמכים הושמד עוד קודם לכן, כאשר ביתו בארקויל שליד פריז נבזז על ידי פורצים ב־1871. לפלס נולד בנורמנדי והתחנך באקדמיה צבאית בבימונט. ב־1767 מונה לפלס לפרופסור לאסטרונומיה באקדמיה הצבאית בפריז וב־1785 נבחר לאקדמיה למדעים.

על שמו נקרא אסטרואיד 4628.

אנליזה, הסתברות ויציבות אסטרונומית

עבודתו המפורסמת המוקדמת של לפלס ב־1771 עסקה במשוואות דיפרנציאליות ובשינויים סופיים (finite differences), אך בד בבד הוא החל לחשוב על ההמשגה המתמטית והפילוסופית של מושגי יסוד בהסתברות וסטטיסטיקה. לפני בחירתו לאקדמיה הצרפתית ב־1773, הוא החל לכתוב שני מאמרים בתחומים אלו שעתידים יהיו לבסס את המוניטין שלו. הראשון, תזכיר על ההסתברות של גורמים לאירועים, פורסם בסופו של דבר ב־1774 בעוד המאמר השני, שפורסם ב־1776, פיתח עוד יותר את הגותו הסטטיסטית וגם החל את עבודתו השיטתית על מכניקה קלאסית ויציבותה של מערכת השמש. מעתה ואילך, שתי הדיסציפלינות יהיו תמיד שזורות זו בזו בתודעתו – לפלס התייחס להסתברות ככלי לתיקון ליקויים בידע האנושי. עבודתו של לפלס על הסתברות וסטטיסטיקה נידונה בהמשך הערך יחד עם עבודתו הבשלה יותר על התאוריה האנליטית של הסתברויות.

יציבותה של מערכת השמש

סר אייזק ניוטון פרסם את חיבורו עקרונות מתמטיים של פילוסופיית הטבע ב־1687 ובה הוא נתן גזירה של חוקי קפלר, אשר מתארים את תנועתם של כוכבי הלכת, מחוקי התנועה שלו וחוק הכבידה העולמי. אף על פי כן, אף על פי שניוטון פיתח באופן פרטי את שיטות החשבון האינפיניטסימלי, כל עבודתו המפורסמת עשתה שימוש בצורת הסקה גאומטרית מגושמת, שאינה מתאימה לתיאור האפקטים העדינים מסדרים גבוהים יותר של משיכות כבידתיות בין כוכבי הלכת. ניוטון עצמו הטיל ספק באפשרות של פתרון מתמטי לתנועה הכללית של כוכבי הלכת, ואף הגיע למסקנה שהתערבות א-לוהית מחזורית הכרחית כדי להבטיח את היציבות של מערכת השמש. הפרכת ההשערה הזאת של התערבות א-לוהית תהפוך ליעד מרכזי בקריירה המדעית של לפלס. כיום זה מוסכם באופן כללי ששיטותיו של לפלס בעצמן, אף על פי שהן חיוניות להתפתחות התאוריה, אינן מדויקות מספיק כדי להוכיח את יציבותה של מערכת השמש, ובמקום זאת, מערכת השמש מובנת כיום כמערכת כאוטית, אף על פי שהיא יציבה למדי.

בעיה מסוימת אחת מאסטרונומיה תצפיתית הייתה האי־יציבות הנראית במערכת הפלנטרית בה מסלולו של צדק נראה מתכווץ בעוד מסלולו של שבתאי נראה מתרחב. הבעיה הותקפה על ידי לאונרד אוילר ב־1748 וז'וזף לואי לגראנז' ב־1763 אך ללא הצלחה. ב־1776, לפלס פרסם מאמר בו הוא חקר לראשונה את ההשפעות האפשריות של אתר לומינרי או של כוח כבידה שלא פועל אופן מיידי. בסופו של דבר, הוא שב למשאב האינטלקטואלי הבלתי נדלה של כבידה ניוטונית. אוילר ולגראנז' ערכו קירוב מעשי בכך שהזניחו איברים קטנים יותר במשוואות התנועה. לפלס שם לב שאף על פי שהאיברים עצמם קטנים, אם עושים אינטגרציה עליהם בזמן הם עשויים להפוך לבלתי זניחים. לפלס ערך את האנליזה המעמיקה שלו על איברים מסדרים גבוהים יותר, עד וכולל המעוקבים שבהם. באמצעות האנליזה המדויקת יותר הזאת, לפלס הסיק ששני כוכבי הלכת (צדק ושבתאי) והשמש חייבים להיות בשיווי משקל הדדי, ובכך אתחל את עבודתו על יציבותה של מערכת השמש. ג'רלד ג'יימס ויטרו תיאר את ההישג "כהתקדמות המשמעותית ביותר באסטרונומיה פיזיקלית מאז ניוטון".

ללפלס היו ידיעות נרחבות של כל תחומי המדע והוא היה דומיננטי ביותר בכל הדיונים באקדמיה הצרפתית. נדמה שלפלס החשיב את האנליזה בעיקר ככלי לגשת לבעיות פיזיקליות, זאת אף על פי שנדמה שהיכולת שבה המציא את האנליזה הנדרשת היא פנומנלית. כל עוד התוצאות שלו היו נכונות הוא גילה עניין מועט בלבד במתן הסברים לצעדים באמצעותם הוא הגיע אליהן; הוא מעולם לא הרהר לעומק באלגנטיות או בסימטריה בתהליכי הפתרון שלו, שכן הוא הסתפק בכך שהוא היה יכול לפתור (בכל אמצעי שהוא) את הבעיה הספציפית שהוא עסק בה.

הדינמיקה של גאות ושפל

התאוריה הדינמית של גאות ושפל

דיאגרמה שמציגה את גזירת כוחות הגאות, מתוך ה"פרינקיפיה" (1687) של ניוטון.

בעוד ניוטון הסביר את תופעות הגאות והשפל באמצעות תיאור הכוחות שמייצרים אותן ודניאל ברנולי סיפק תיאור של התגובה הסטטית של מימי כדור הארץ לפוטנציאל הגאותי (Tidal potential), התאוריה הדינמית של גאות ושפל, שפותחה על ידי לפלס ב־1775, מתארת את התגובה האמיתית של האוקיינוס לכוחות גאות. תאוריית הגאות האוקייאנית של לפלס מתחשבת גם בחיכוך, תהודה וזמני מחזור טבעיים של בסיסי אוקיינוסים.

תאוריית שיווי המשקל של ניוטון, שהתבססה על חישוב גרדיאנט הכבידה הנגרם על ידי השמש והירח אולם הזניחה את סיבוב כדור הארץ סביב צירו, את קיומם של יבשות ואפקטים אחרים, לא יכלה להסביר את הגאות שמתרחשת בפועל באוקיינוסים.

מאחר שמדידות אישרו את התאוריה, לממצאים תצפיתיים רבים ישנו הסבר עכשיו, כמו למשל כיצד האינטראקציה של הגאות עם רכסי אוקיינוסים עמוקים ושרשראות הרי מצולה מצמיחה זרמי ערבול עמוקים שמוליכים חומרי מזון מעומק הים לפני השטח שלו. בעוד החישוב של גובה גל הגאות לפי תאוריית השיווי משקל מניב ערך של פחות מחצי מטר, התאוריה הדינמית מצליחה להסביר מדוע באזורים מסוימים נצפית גאות שמגיעה לגובה של עד 15 מטרים. תצפיות לוויין מאשרות את הדיוק של התאוריה הדינמית, וגבהי הגאות בכל רחבי העולם נמדדים כעת בדיוק של סנטימטרים ספורים. מדידות שהופקו מלוויין ה־CHAMP תואמים בקירוב מודלים המבוססים על מידע שנלקח מפרויקט ה־TOPEX. מודלים מדויקים של גבהי גאות ברחבי העולם הם הכרחיים לצורך מחקר שיטתי שכן כדי לחשב במדויק עוצמות כבידה ושינויים בגובה פני הים הכרחי לבצע תיקונים במדידות בגלל תנודתיות הנגרמת על ידי הגאות.

משוואות הגאות של לפלס

A. פוטנציאל כבידתי ירחי: האיור מתאר את מיקום הירח כבדיוק מעל קו הרוחב 30 מעלות צפון

B. איור זה מתאר את אותו הפוטנציאל מנקודת מבט שונה

ב־1776, לפלס ניסח אוסף של משוואות דיפרנציאליות חלקיות ליניאריות המתארות את זרמי הגאות כזרימה ברוטרופית של שכבה אוקיינית דו־ממדית. אפקטי קוריוליס נכללים במשוואות כמו גם אילוצים אנכיים הנגרמים מהכבידה. לפלס גזר את המשוואות האלו באמצעות פישוט המשוואות המתארות את הדינמיקה של זורמים. הן ניתנות לגזירה גם מאינטגרלי אנרגיה דרך משוואת לגראנז'.

בעבור שכבת זורם בעלת עובי ממוצע D, גובה הגאות ζ, כמו גם רכיבי המהירות האופקיים u ו־v (בכיוון הרוחבי φ והאורכי λ, בהתאמה), מקיימים את משוואות הגאות של לפלס: ${\begin{aligned}{\frac {\partial \zeta }{\partial t}}&+{\frac {1}{a\cos(\varphi )}}\left[{\frac {\partial }{\partial \lambda }}(uD)+{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\left(vD\cos(\varphi )\right)\right]=0,\\[2ex]{\frac {\partial u}{\partial t}}&-v\left(2\Omega \sin(\varphi )\right)+{\frac {1}{a\cos(\varphi )}}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left(g\zeta +U\right)=0\qquad {\text{and}}\\[2ex]{\frac {\partial v}{\partial t}}&+u\left(2\Omega \sin(\varphi )\right)+{\frac {1}{a}}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\left(g\zeta +U\right)=0,\end{aligned}}$

כאשר Ω היא התדירות הזוויתית של סיבוב כוכב הלכת, g היא תאוצת הכבידה שיוצר הכוכב על פניו, a הוא הרדיוס הפלנטרי, ו־U היא פוטנציאל הגאות הכבידתי החיצוני.

על צורת כדור הארץ

במהלך השנים 1787–1784 לפלס פרסם מספר מאמרים בעלי כוח מתמטי יוצא דופן. בולט בין אלו הוא מאמר שפורסם לראשונה ב־1783, ונדפס מחדש כחלק השני של חיבורו תיאוריה על תנועתם וצורתם האליפטית של כוכבי לכת מ־1784 וכחלק מהכרך השלישי של עבודתו המונומנטלית מכניקה שמיימית. בעבודה זאת לפלס קבע באופן מושלם את המשיכה הכבידתית שמפעיל ספרואיד על חלקיק מבחוץ לו. מאמר זה זכור גם בזכות כך שהציג לראשונה את הכלי האנליטי של הרמוניות ספריות או מקדמי לפלס, וגם בשל פיתוח השימוש במה שכעת אנו קוראים לו פוטנציאל כבידתי במכניקה קלאסית.

הרמוניות ספריות

הרמוניות ספריות.

ב־1783, במאמר שנשלח לאקדמיה הצרפתית, אדריאן־מארי לז'נדר הציג את מה שנקרא כעת פונקציות לז'נדר. אם לשתי נקודות במישור יש קואורדינטות פולריות $\ \left(r,\theta \right)$ ו־$\ \left(r',\theta '\right)$, כאשר $r'\geq r$, אז באמצעות מניפולציה אלמנטרית ניתן לקבל שההופכי למרחק בין שתי הנקודות, d, ניתן לכתיבה כ:

${\frac {1}{d}}={\frac {1}{r'}}\left[1-2\cos(\theta '-\theta ){\frac {r}{r'}}+\left({\frac {r}{r'}}\right)^{2}\right]^{-{\tfrac {1}{2}}}$

את הביטוי הזה ניתן לפתח לחזקות של $(r/r')$ באמצעות משפט הבינום המוכלל של ניוטון כדי לקבל:

${\frac {1}{d}}={\frac {1}{r'}}\sum _{k=0}^{\infty }P_{k}^{0}(\cos(\theta '-\theta ))\left({\frac {r}{r'}}\right)^{k}$

סדרת הפונקציות$P_{k}^{0}(\cos \varphi )$ היא הסדרה של הפונקציות הנקראות פונקציות לז'נדר והשימושיות שלהן נובעות מהעובדה שכל פונקציה של נקודות על מעגל ניתנת לפיתוח כטור שלהן.

לפלס, עם קרדיט זעום ללז'נדר, עשה את הכללה הלא־טריוויאלית של התוצאה לשלושה ממדים והציג קבוצה כללית יותר של פונקציות, ההרמוניות הספריות או מקדמי לפלס, כאשר השימוש בשם האחרון אינו נפוץ.

תורת הפוטנציאל

המאמר המוזכר לעיל הוא חשוב גם בשל פיתוח הרעיון של פוטנציאל סקלרי. הכוח הכבידתי שפועל על גוף הוא, בשפה מודרנית, ווקטור, שלו גודל וכיוון. פונקציית פוטנציאל היא פונקציה סקלרית שמגדירה כיצד הווקטורים יתנהגו. פונקציה סקלרית היא מבחינה חישובית וקונספטואלית נוחה יותר לשימוש מאשר פונקציה ווקטורית.

אלכסיס קלרו הציע לראשונה את הרעיון ב־1743 כאשר עבד על בעיה דומה, אף על פי שהוא עשה שימוש בצורת הסקה גאומטרית־ניוטונית. לפלס תיאר את עבודתו של קלרו כשייכת "למחלקה של היצירות המתמטיות היפות ביותר". אף על פי כן, ראוס בול טוען ש"ניצני הרעיון מופיעים אצל ז'וזף לואי לגראנז', אשר השתמש בפוטנציאל במאמריו מהשנים 1773, 1777 ו־1780". המונח "פוטנציאל" עצמו הוא אודות לדניאל ברנולי, שהציג אותו בספרו מ־1738 הידרודינמיקה. עם זאת, ראוס בול טוען גם שבמונח "פונקציית פוטנציאל" לא נעשה שימוש (במובן של פונקציה V של הקואורדינטות במרחב) עד חיבורו משנת 1828 של ג'ורג' גרין מסה על היישום של ניתוח מתמטי לתאוריות החשמל והמגנטיות.

לפלס יישם את שפת הקלקולוס לפונקציית הפוטנציאל והראה שהוא תמיד מקיים את המשוואה הדיפרנציאלית:

$\nabla ^{2}V={\partial ^{2}V \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}V \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}V \over \partial z^{2}}=0$

תוצאה אנלוגית עבור פוטנציאל המהירות של זורם נגזרה מספר שנים קודם לכן על ידי לאונרד אוילר.

עבודת ההמשך של לפלס על משיכה כבידתית הייתה מבוססת על התוצאה הזאת. הגודל $\nabla ^{2}V$ זכה לשם הריכוז של V וערכו בנקודה מעיד על ההבדל בין ערכו של V שם לערך הממוצע שלו בסביבה של הנקודה. משוואת לפלס, מקרה פרטי של משוואת פואסון, מופיעה רבות בפיזיקה מתמטית. מושג הפוטנציאל מופיע במכניקת הזורמים, אלקטרומגנטיות, ותחומים אחרים. ראוס בול שיער שניתן לפרש את הופעת מושג הפוטנציאל "כסימן החיצוני" של אחת מהצורות האפריוריות בתאוריית התפיסה של קאנט.

ההרמוניות הספריות התבררו כקריטיות להשגת פתרונות מעשיים למשוואת לפלס. משוואות לפלס בקואורדינטות כדוריות, כמו אלו שמשמשות למיפוי השמיים, ניתנות לפישוט, באמצעות שיטת הפרדת המשתנים, לחלק רדיאלי, התלוי רק במרחק מהנקודה המרכזית, וחלק זוויתי או כדורי. הפתרון לחלק הכדורי של המשוואה ניתן אז לביטוי כטור של ההרמוניות הספריות של לפלס.

אי שוויונות פלנטריים וירחיים

אי שוויון צדק־שבתאי

מסלוליהם של צדק ושבתאי הפגינו אנומליות שתעתעו באסטרונומים לאורך מאות שנים. בכתביו, ניוטון נתן הסבר איכותי בלבד לגורם העיקרי לאנומליות האלה (ואילו הסבר כמותי גס בלבד), והוא ההשפעה הכבידתית ההדדית של שני כוכבי הלכת זה על זה. כדי לבחון את ההשערה שלו, ניוטון שאל את האסטרונום ג'ון פלמסטיד אם נצפתה האטה של שבתאי כשהוא חולף על פני צדק. פלמסטיד המופתע השיב שאכן נצפה אפקט כזה, ואפקט ההאטה הזה תאם בקירוב את החישובים שניוטון סיפק. אולם חישוביו של ניוטון יכלו לתאר בקירוב את תנועות שני הכוכבים לתקופה קצרה למדי (תקופת החליפה) ולא סיפקו שיטה כללית לגשת לבעיה שהציגה מערכת צדק־שבתאי. כאן נכנסת לתמונה תרומתו של לפלס.

לפלס הציג מאמר על אי שוויונות פלנטריים בשלושה חלקים, בשנים 1784, 1785, ו־1786. אלו עסקו בעיקר עם הזיהוי וההסבר של הפרטורבציות הידועות כעת כ"אי שוויון צדק־שבתאי". לפלס פתר בעיה ותיקה על מחקר וחיזוי התנועות של הכוכבים האלה. הוא הראה משיקולים כלליים, ראשית, שהמשיכה ההדדית בין שני הכוכבים לעולם לא תוכל לגרום לשינויים גדולים באקסצנטריות או בנטייה המסלולית של המסלולים שלהם; וחשוב מכך, שחריגות במערכת צדק־שבתאי קורות בגלל הקרבה של התנועות הממוצעות של צדק ושבתאי לתנועות בעלות מידה משותפת.

בהקשר זה מידה משותפת פירושו שהיחס בין התנועות הממוצעות של שני כוכבי הלכת הוא קרוב מאוד ללהיות שווה ליחס בין שני מספרים שלמים קטנים (דהיינו למספר רציונלי). שני זמני מחזור של מסלולו של שבתאי סביב השמש שווים לכמעט חמישה של אלו של צדק. ההבדל המתאים בין כפולות של התנועות הממוצעות (2n_J − 5n_S), מתאים לתקופה שמשכה בערך 900 שנה, והוא מופיע כמחלק קטן באינטגרציה של כוח מפריע קטן מאוד באותה תקופה. כתוצאה, הפרטורבציה הכוללת בתקופה זאת היא גדולה באופן לא פרופורציונלי, בערך 0.8 מעלות של קו אורך מסלולי בעבור שבתאי ובערך 0.3 עבור צדק (כלומר מסלוליהם מבצעים מעיין פרצסיה).

פיתוחים נוספים של המשפטים האלה על תנועה פלנטרית ניתנו במאמריו מהשנים 1788 ו־1789. בעזרת התגליות של לפלס, טבלאות של נתונים על התנועות של צדק ושבתאי יכלו סוף סוף להפוך למדויקות הרבה יותר. זה היה על הבסיס של התאוריה של לפלס שדלומבר חישב את הטבלאות האסטרונומיות שלו.

ספרים

לפלס כעת הציב לעצמו את היעד לכתוב עבודה אשר ”תציע פתרון שלם לבעיה המכנית הגדולה שמציגה מערכת השמש, ותביא את התאוריה להתאמה כה טובה עם תצפיות שלמשוואות אמפיריות לא יהיה יותר מקום בחישוב טבלאות אסטרונומיות.” התוצאה מגולמת בספרים חשיפת מערכת העולם והמכניקה שמיימית.

הראשון פורסם ב־1796 ונותן הסבר כללי של התופעות השונות, אך משמיט את כל הפרטים. ספר זה כולל סיכום של ההיסטוריה של האסטרונומיה. הסיכום הזה הבטיח למחברו את הכבוד להפוך לאחד מארבעים הנציגים של האקדמיה הצרפתית למדעים והוא מוערך כעת כאחת מיצירות המופת של הספרות הצרפתית, זאת על אף שהוא לא אמין במיוחד בתיאור התקופות המאוחרות יותר בהיסטוריה של האסטרונומיה.

לפלס פיתח את השערת הערפילית (nebular hypothesis) על היווצרותה של מערכת השמש, שהוצעה לראשונה על ידי עמנואל סוודנבורג ועמנואל קאנט, השערה שממשיכה להיות דומיננטית גם בתאוריות בנות ימינו על היווצרות המערכות הכוכביות. לפי תיאורו של לפלס את ההשערה, מערכת השמש התפתחה מענן של מסה של גז לוהט הסובב סביב ציר דרך מרכז המסה שלו. כשהוא התקרר, המסה שלו התכווצה, וטבעות של חומר בקעו מהשפה החיצונית שלו. הטבעות האלו בתורן גם התקררו, עד שבסופו של דבר התעבו ויצרו את כוכבי הלכת, בעוד שהשמש מייצגת את הליבה של המרכזית של הערפילית שעדיין נשארה. על בסיס ההשקפה הזאת, לפלס חזה שהכוכבים הרחוקים יותר יהיו עתיקים יותר מאשר אלו שסמוכים יותר לשמש.

כפי שהוזכר מקודם, הרעיון של השערת הערפילית תואר בקווים כללים על ידי עמנואל קאנט ב־1755, אשר הציע גם "מצבורים מטאוריים" וחיכוך גאות (tidal friction) כגורמים שעשויים היו להשפיע על עיצובה של מערכת השמש. קרוב מאוד לוודאי שלפלס היה מודע לאלו, אבל לא זקף קרדיט לעבודתו של קודמו.

הדיון האנליטי של לפלס במערכת השמש ניתן בעבודתו מכניקה שמיימית שפורסמה בחמש כרכים. שני הכרכים הראשונים, שפורסמו ב־1799, מכיל שיטות לחישוב מסלוליהם של כוכבי הלכת, לקביעת צורותיהם, ולפתרון בעיות הקשורות בתופעות הגאות ושפל. הכרכים השלישי והרביעי, שפורסמו ב־1802 ו־1805 בהתאמה, מכילים יישומים של השיטות האלו, ומספר טבלאות אסטרונומיות. הכרך החמישי, שפורסם ב־1825, הוא בעיקר היסטורי, אך הוא נותן כנספחים את התוצאות של מחקריו המאוחרים ביותר של לפלס. המכניקה השמיימית לא רק עוסק בתרגום תורת הכבידה של ניוטון לשפת הקלקולוס, אלא שהוא מרחיב בהרבה את הטיפול בתופעות השונות שתוארו בפרינקיפיה. רק כדוגמה אחת מני רבות, לפלס בעבודתו על תופעות הגאות והשפל הציג את התאוריה הדינמית של גאות ושפל (dynamical theory of tides), שמאפשרת לחזות את התגובה הדינמית של מימי האוקיינוסים לכבידת הירח ולחזות היבטים כמותיים רבים נוספים של התופעות הקשורות, בעוד שטיפולו של ניוטון היה מוגבל להיבטים הכמותיים הבסיסיים יותר של הגאות והשפל. החקירות של לפלס שמוכלות במכניקה השמיימית הן כה נרחבות ורבות ערך, שאף על פי שהן היו תוצר של מאה שנים של מאמץ אינטלקטואלי, הן מתוארות לעיתים כאילו היו תוצאות של לפלס.

חורים שחורים

לפלס גם התקרב מאוד לרעיון קיומם של חורים שחורים. הוא הצע שייתכנו כוכבים מאסיביים שהכבידה שלהם כה חזקה שאפילו אור לא יוכל לברוח מפני השטח שלהם (ראו גם מהירות מילוט).

התאוריה האנליטית של הסתברויות

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

התמרות אינטגרליות

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

השד של לפלס

ב־1814, לפלס פרסם את מה שנודע כטיעון הראשון לקיומו של דטרמיניזם סיבתי:

אנו יכולים להחשיב את מצבו הנוכחי של היקום כתוצאה בלתי נמנעת של עברו וכסיבה של עתידו. אינטלקט אשר ברגע מסוים ידע את כל הכוחות אשר הציבו את הטבע בתנועה, ואת כל המיקומים של כל הפריטים מהם מורכב היקום, ואם האינטלקט הזה היה עוצמתי מספיק כדי להפעיל אנליזה מתאימה על המידע הזה, הוא יתמצת בנוסחה יחידה את התנועות של הגופים הגדולים ביותר ביקום כמו גם את זו של האטום הזעיר ביותר; בעבור אינטלקט כזה שום דבר לא יהיה לא־וודאי והעתיד בדיוק כמו העבר יהיה נוכח לנגד עיניו.

— פייר־סימון לפלס, חיבור פילוסופי על הסתברויות

האינטלקט הזה זכה לשם השד של לפלס (באותה הנימה כמו השד של מקסוול).

אף על פי שלפלס ידוע כראשון שהביע רעיונות כאלה על דטרמיניזם סיבתי, השקפתו דומה מאוד לזו שהוצעה על ידי בושקוביץ' בספרו תאוריית פילוסופיית הטבע משנת 1763.

הגותו ומחקריו

עבודת חייו של לפלס הייתה פיתוח אנליזות מתמטיות לתורת הכבידה של ניוטון. הוא הוכיח שתנועתם של כוכבי הלכת יציבה, והשפעתם של שביטים ואסטרואידים היא זניחה או זמנית. לפלס ניסה להסביר את התפתחות היקום באמצעות תאוריות שונות. כמתמטיקאי, זכור לפלס בעיקר בזכות התמרת לפלס ופיתוח מושג הלפלסיאן.

כמו כן נקשר לפלס לתחומי פילוסופיה וניסה להסביר את מושג הדטרמיניזם בכך שאם, תאורטית, היה בנמצא מחשב על שהיה לו את כל המידע הדרוש, היה ניתן לחשב ולחזות כל דבר שקורה בעולם באופן מדויק לחלוטין. למשל, אם אדם זורק כדור ויהיה לנו מידע מדויק על חוזק הזריקה, מהירות הרוח, שיפוע הרצפה וכדומה, אזי נוכל לחשב במדויק היכן הכדור ייעצר.

ספריו

לפלס פרסם ספרים רבים ובהם:

• הסברים על מכניקה שמיימית שפורסם ב־5 כרכים (1824), שבו ריכז לפלס את כל עבודתו בכבידה. ספר זה מכיל את הניתוח המתמטי המעמיק הראשון של יציבותה של מערכת השמש, ודן בבעיות מורכבות מאלו שטופלו בפרינקיפיה של ניוטון; למשל האם האינטראקציה הכבידתית בין צדק לשבתאי תוביל בסופו של דבר לצבירת אנרגיה על ידי שבתאי ול"בריחה" שלו ממערכת השמש? הספר מטפל בבעיית אי יציבות שתעתעה באסטרונומים בתקופה, ולפיה מסלולו של צדק נראה מתכווץ בעוד מסלולו של שבתאי נראה מתרחב. למשוואות של לפלס הייתה התחזית האופטימית לפיה מערכת השמש יציבה. ויטרו תיאר את ההישג הזה כ"התקדמות המשמעותית ביותר באסטרונומיה מאז ניוטון".
• הסברים על שיטת העולם (1796), שבו ריכז לפלס את ההיסטוריה של האסטרונומיה.

תחום נוסף שבו פרסם לפלס ספרים הוא תורת ההסתברות עליה כתב שני ספרים:

• התאוריה האנליטית של ההסתברות (1812), שפורסם בשני כרכים. הכרך הראשון מוקדש לחקר פונקציות יוצרות בתורת ההסתברות ומגוון קירובים לביטויים המתקבלים בבעיות הסתברותיות. הכרך השני דן בשיטות כיצד למצוא את ההסתברות של אירועים מורכבים, ומכיל דיון על שיטת הריבועים הפחותים, בעיית המחט של בופון והסתברות הפוכה.
• מסה על ההסתברות (1814).

תגליות והישגים אחרים של לפלס

מתמטיקה

תגליות והישגים של לפלס במתמטיקה שימושית וטהורה כוללים:

• פיתוח תורת הדטרמיננטים.
• הוכחה שלכל משוואה ממעלה זוגית חייב להיות לפחות גורם ריבועי אחד.
• שיטת לפלס לקירוב אינטגרלים.

לפלס היה מומחה בפתרון משוואות דיפרנציאליות. בין הישגיו:

• פתרון משוואה דיפרנציאלית חלקית ליניארית מסדר שני.
• הוא היה הראשון שעסק בבעיות המורכבות הקשורות במשוואות עם שינויים מעורבים, ולהוכיח שהפתרון של משוואה בהפרשים סופיים מן המעלה הראשונה והשנייה ניתן להצגה בצורה של שבר משולב.

פיזיקה

מתח פנים

בשנים 1806–1807, לפלס התבסס על עבודתו האיכותית של תומאס יאנג כדי לפתח תאוריה של נימיות ואת משוואת יאנג־לפלס.

מהירות הקול

ב־1816 לפלס היה הראשון להצביע על כך שמהירות הקול באוויר תלויה ביחס קיבולי החום. התאוריה המקורית של ניוטון הניבה ערך נמוך מדי ומכיוון שלא לקחה בחשבון את הדחיסה האדיאבטית של האוויר שתוצאתה עלייה מקומית בטמפרטורה ובלחץ.

מאמרים אחרים

• מודל כדור הארץ המתקרר – בין השנים 1817–1820 לפלס עסק בבעיה הגאולוגית של טמפרטורת כדור הארץ המתקרר, והמודל המתמטי שפיתח (במקביל ובאופן בלתי תלוי בז'וזף פורייה) עדיין משמש כיום בחיזויים של טמפרטורת כדור הארץ. בפרט, לפלס ניתח באופן מבריק את פילוג הטמפרטורה על פני כדור הארץ הקדום באמצעות אנליזה הרמונית תלת ממדית (כלומר בעזרת שימוש בהרמוניות הספריות שלו).
• ב־1809 הופיע מאמרו על שבירה כפולה.
• לבסוף, ב־1821 הופיע מאמרו על זורמים אלסטיים.

ראו גם

• התמרת לפלס
• משוואת יאנג־לפלס
• משוואת לפלס

קישורים חיצוניים

• פייר-סימון לפלס, באתר פרויקט הגנאלוגיה במתמטיקה
• פייר-סימון לפלס, באתר MacTutor (באנגלית)
• פייר-סימון לפלס, באתר "Find a Grave" (באנגלית)
• פייר-סימון לפלס, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

35168014פייר-סימון לפלס