טור ההופכיים של המספרים הראשוניים

טור ההופכיים של המספרים הראשוניים הוא הסכום האינסופי של כל המספרים ההופכיים של מספרים ראשוניים. טור זה מתבדר לאינסוף. כלומר:

$\sum _{p{\text{ is prime }}}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+\cdots =\infty$

את ההתבדרות הוכיח המתמטיקאי לאונרד אוילר בשנת 1737. תוצאה זו מהווה הכללה למשפטו של אוקלידס כי קיימים אינסוף מספרים ראשוניים. התוצאה מראה שלא רק שיש אינסוף ראשוניים, במובן מסוים יש אף "הרבה" מהם. יש למשל "יותר" ראשוניים ממספרים ריבועיים, כי סכום ההופכיים של המספרים הריבועיים מתכנס לערך הסופי (ראו בעיית בזל). זאת על אף שבשני המקרים מדובר בקבוצות בנות מנייה אינסופיות (בעלות עוצמה זהה).

התבדרות הטור נחשבת מפתיעה. אמנם הטור ההרמוני $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ מתבדר, אבל לעומת זאת הטור $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$ מתכנס לכל קבוע $\ 1<s$. מתברר שגם לבחירה של s קרוב מאוד ל-1, סכום ההופכיים של כל הטבעיים בחזקת s קטן יותר מסכום ההופכיים של הראשוניים בלבד.

טור ההופכיים של הראשוניים מתבדר לאט מאוד. סכום ההופכיים של כל הראשוניים הקטנים מ-n אסימפטוטי ל-$\ \ln(\ln(n))+M$, כאשר M הוא קבוע, הנקרא קבוע מייזל-מרטנס, השווה בערך ל-0.261. כך, למשל, כדי להגיע לסכום העולה על המספר 10, יש לסכום בערך את כל ההופכיים של הראשוניים שקטנים מ-10⁹⁵⁶⁶.

הערה: במאמר זה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p} יסמן תמיד מספר ראשוני.

הוכחות

ההוכחה של אוילר

אוילר הוכיח את התבדרות הטור בדרך דומה מאוד להוכחתו שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים. הוכחתו של אוילר אינה ריגורוזית מספיק כדי להיחשב הוכחה קבילה בימינו. הוא כולל בהוכחתו מניפולציות רבות עם סכומים אינסופיים. כיום, לאחר ביסוס מדויק של תורת הטורים, ידוע כי מניפולציות שכאלו לא בהכרח עובדות. עם זאת, אוילר הצליח להגיע בהוכחתו לתוצאה מדויקת, אפילו לגבי קצב הגידול של הטור. ניתן להפוך את הוכחת אוילר להוכחה ריגורוזית אם עובדים עם הסכומים החלקיים (במקום עם הטור האינסופי), ומראים שככל שהסכומים גדלים ההפרש בין הטורים שמשווים שואף לאפס.

הוכחת אוילר מבוססת על הקשר שגילה בין הטור ההרמוני (ופונקציית זטא של רימן בכלל) למכפלת אוילר העוברת על כל הראשוניים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \prod_p \frac{1}{1-p^{-1}}} (זוהי הגרסה הלא ריגורוזית של הזהות, בה השתמש אוילר). הוכחתו מתחילה בחישוב הלוגריתם הטבעי של שני האגפים וניצול חוקי הלוגריתמים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ln \left( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\right) = \ln \left( \prod_p \frac{1}{1-p^{-1}}\right)= \sum_p \ln \left( \frac{1}{1-p^{-1}}\right) = \sum_p - \ln(1-p^{-1}) }

כעת פיתח אוילר את הלוגריתם לטור מקלורן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} = \sum_p \left( \frac{1}{p} + \frac{1}{2p^2} + \frac{1}{3p^3} + \cdots \right) &= \left( \sum_{p}\frac{1}{p} \right) + \sum_p \frac{1}{p^2} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3p} + \frac{1}{4p^2} + \cdots \right) \\ &< \left( \sum_p \frac{1}{p} \right) + \sum_p \frac{1}{p^2} \left( 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots \right) \end{align}}

נשים לב כי בטור הימני מופיע טור הנדסי מתכנס שסכומו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \tfrac1{1-\frac1p}} . נציב זאת ונקבל:

$\ =\left(\sum _{p}{\frac {1}{p}}\right)+\left(\sum _{p}{\frac {1}{p(p-1)}}\right)$

הטור הימני בוודאי מתכנס (למשל לפי מבחן ההשוואה עם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n(n-1)} = 1} ). נסמן את סכומו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ C} . קיבלנו:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ln \left( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\right) < \sum_p \frac{1}{p} + C}

ומכיוון שהטור ההרמוני גדל כמו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ln(n)} אוילר הסיק כי: ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+\cdots =\ln \ln(+\infty )$.

במינוח מודרני, אוילר הראה שטור ההופכיים של הראשוניים מתבדר וש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sum_{p\le n} \frac{1}{p} = \ln(\ln(n))+O(1) } , שכן ההפרש חסום על ידי טור מתכנס.

ההוכחה של ארדש

המתמטיקאי פאול ארדש הציג הוכחה אלמנטרית ברובה להתבדרות הטור. ההוכחה מסתמכת ישירות על תכונות הראשוניים, ולא על מניפולציות אנליטיות.

נסמן ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p_i} את הראשוני ה-i. נניח בשלילה כי טור ההופכיים מתכנס. כלומר החל מאיזשהו ראשוני זנב הטור קטן כרצוננו. נבחר מספר שלם k כך שמתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sum_{i=k+1}^\infty {1\over p_i} < {1\over 2}} , ובפרט לכל N טבעי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sum_{i=k+1}^\infty {N\over p_i} < {N\over 2}} .

ובזאת מסתיים החלק האנליטי בהוכחה. נכנה את הראשוניים $\ p_{1},\ldots ,p_{k}$ ראשוניים קטנים, ואילו השאר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p_{k+1}, p_{k+2}\ldots} , יהיו הראשוניים הגדולים. נסמן ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ N_b} את מספרם של המספרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n\le N} שמתחלקים בגורם ראשוני גדול, ונסמן ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ N_s} את מספרם של המספרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n\le N} שמתחלקים רק בראשוניים קטנים. ברור כי $\ N_{b}+N_{s}=N$. נגיע לסתירה בכך שנראה של-N גדול מספיק שוויון זה לא מתקיים.

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p_i} מחלק בדיוק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \lfloor \tfrac N{p_i}\rfloor} מספרים (לפשר הסימון ראו פונקציית הערך השלם) בטווח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n\le N} (זהו מספר כפולותיו בטווח). לכן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ N_b \le \sum_{i=k+1}^\infty {\left\lfloor \frac{N}{p_i} \right\rfloor} < {N\over 2}}

נטפל עתה ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ N_s} . כל $\ n\leq N$ שיש לו רק מחלקים ראשוניים קטנים נרשום בצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n = r\cdot m^2} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ r} הוא מספר חסר ריבועים (אינו מתחלק באף מספר ריבועי מלבד 1). כל מספר חסר ריבועים הוא מכפלה של ראשוניים שונים, וישנן בדיוק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2^k} דרכים שונות להכפיל את הראשוניים הקטנים זה בזה. לכן יש לכל היותר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2^k} ערכי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ r} שונים. כמו כן, $\ m\leq {\sqrt {n}}\leq {\sqrt {N}}$ ולכן ישנם לכל היותר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sqrt N} ערכים שונים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ m} . כל שילוב של ערך של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ r} וערך של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ m} נותן את אחד מהערכים האפשריים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n} שכל גורמיו ראשוניים קטנים, ובסך הכל נקבל את החסם: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ N_s \le 2^k\sqrt N } .

כל מה שהושג עד כה תקף לכל $\ N$. נבחר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ N=2^{2k+2}} . נקבל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ N_s \le 2^k\sqrt N = 2^{2k+1} = \tfrac N2} . ומכאן נובעת הסתירה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ N_b+N_s < \tfrac N2 + \tfrac N2 = N}

ולכן הטור לא יכול להתכנס ובהכרח מתבדר.

חסם תחתון לסכומים החלקיים

נמצא חסם תחתון על קצב הגידול של הטור. ראשית נבחן את המכפלה הסופית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \prod_{p \le n}{\biggl(1+\frac{1}{p}\biggr)}} . אם נפתח סוגריים נקבל סכום של כל המספרים מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac1{p_1p_2\cdots p_r}} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p_1,\ldots, p_r} מספרים ראשוניים שונים כלשהם הקטנים מ-n. כלומר סכום ההופכיים של המספרים חסרי ריבועים שגורמיהם הראשוניים קטנים מ-n. אם נכפיל את ביטוי זה ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sum_{k=1}^n{\frac{1}{k^2}}} נקבל את סכום כל המכפלות האפשריות של חסרי ריבועים, עם גורמים ראשוניים קטנים מ-n, עם ריבועים שקטנים מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n^2} . בפרט בסכום יופיעו כל המספרים הקטנים מ-n (כל מספר הוא מכפלה של חסר ריבועים בריבוע). קיבלנו את האי-שוויון:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sum_{i=1}^n{\frac{1}{i}} \le \prod_{p \le n}{\biggl(1+\frac{1}{p}\biggr)}\sum_{k=1}^n{\frac{1}{k^2}}}

נשתמש בחסם התחתון הידוע של הטור ההרמוני:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ln(n+1) = \int_1^{n+1}\frac{dx}x =\sum_{i=1}^n\underbrace{\int_i^{i+1}\frac{dx}x}_{{}<1/i} <\sum_{i=1}^n{\frac{1}{i}}}

כמו כן נציב את פתרון בעיית בזל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sum_{k=1}^\infty{\frac{1}{k^2}} = \frac{\pi^2}6} , ונקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ln(n+1) < \sum_{i=1}^n{\frac{1}{i}} \le \frac{\pi^2}6\prod_{p \le n}{\biggl(1+\frac{1}{p}\biggr)}}

נשתמש בחסם הידוע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 1+x < \exp(x)} , לכל x חיובי (נובע מההגדרה של פונקציית האקספוננט כטור) ובחוקי חזקות:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ln(n+1) <\frac{\pi^2}6\prod_{p \le n}{\biggl(1+\frac{1}{p}\biggr)} < \frac{\pi^2}6\prod_{p \le n}{\exp\biggl(\frac{1}{p}\biggr)} = \frac{\pi^2}6\exp\biggl(\sum_{p \le n}{\frac{1}{p}}\biggr)}

ניקח את הלוגריתם הטבעי של שני האגפים ונעביר אגף:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ln \ln(n+1) - \ln\frac{\pi^2}6 < \sum_{p \le n}{\frac{1}{p}}}

ההתבדרות של אגף שמאל גוררת את ההתבדרות של אגף ימין ולכן זוהי הוכחה נוספת להתבדרות הטור. כמו כן זהו חסם הדוק למדי. למעשה מתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \lim_{n \to \infty } \biggl( \sum_{p \leq n} \frac{1}{p} - \ln(\ln(n)) \biggr)= M}

M נקרא קבוע מייזל-מרטנס והוא שווה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ M = \gamma + \sum_{p} \left[ \ln\! \left( 1 - \frac{1}{p} \right) + \frac{1}{p} \right] \approx 0.261497\ldots} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \gamma} הוא קבוע אוילר-מסקרוני.

הוכחה באמצעות סדרה הנדסית אינסופית והסדרה ההרמונית

נניח בשלילה כי טור ההופכיים מתכנס. נבחר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} כך שמתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{i\ge n+1}\frac{1}{p_i}<1} . נסמן סכום זה ב-$x$.

כעת נתבונן בטור ההנדסי המתכנס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x+x^2+x^3+\cdots} .

הטור ההנדסי מכיל את טור ההופכיים של כל השלמים החיוביים הגדולים מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} שבפירוק שלהם לגורמים ראשוניים מופיעים רק ראשוניים מהקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{p_{n+1},p_{n+2},\dots\}} .

נתבונן בטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{i\ge 1}\frac{1}{1+i(p_1p_2\cdots p_n)}} . זהו תת-טור משום שהמספר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1+i(p_1p_2\cdots p_n)} לא מתחלק באף הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_j} עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j\le n} .

לעומת זאת, על פי מבחן ההשוואה הגבולי, הטור האחרון מתבדר על פי השוואה לטור ההרמוני. אכן מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{i\to\infty}\frac{1+i(p_1p_2\cdots p_n)}{i}=p_1p_2\cdots p_n} .

לפיכך, מצאנו תת-טור מתבדר של טור המתכנס במקור. מכיוון שכל הרכיבים חיוביים, קיבלנו סתירה.

בעיות קשורות

ממשפט דיריכלה נובע שהטור מתבדר אפילו אם סוכמים רק את ההופכיים של ראשוניים בסדרה חשבונית כלשהי (בהנחה שיש בסדרה ראשוניים, כלומר האיבר הראשון והפרש הסדרה זרים זה לזה).

משפט ברון קובע כי, בניגוד לטור ההופכיים של הראשוניים, טור ההופכיים של הראשוניים התאומים בלבד כן מתכנס. סכומו קרוי קבוע ברון. לא ידוע אם ישנם אינסוף ראשוניים תאומים (זוהי השערת המספרים הראשוניים התאומים), ולכן לא ידוע אם טור זה סופי או אינסופי.

ראו גם

• משפט גולדבך-אוילר

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

30965768טור ההופכיים של המספרים הראשוניים