קבוע אומגה

קבוע אומגה הוא קבוע מתמטי המסומן באות היוונית אומגה, המקיים:

$\Omega e^{\Omega }=1$

ערכו של הקבוע הוא בקירוב

$\Omega =0.5671432904097838729999686622\ldots$

הוא מקיים את המשוואות

$e^{-\Omega }=\Omega \ ,\ \ln(\Omega )=-\Omega$

קבוע זה הוא הפתרון היחידי של $(1)W$ כאשר $W$ היא פונקציית W של למברט. שמו לקוח משמה הנוסף של פונקציה זו, פונקציית אומגה.

ניתן לבנות את קבוע אומגה בצורה איטרטיבית על ידי סדרת קירובים המתחילה ב-$\Omega _{0}$ כלשהו ומקיימת

$\Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}$

הסדרה מתכנסת לקבוע אומגה כאשר $n$ שואף לאינסוף. הגבול מתקיים כיוון שקבוע אומגה הוא נקודת שבת יציבה של הפונקציה $e^{-x}$ .

בנייה אפקטיבית יותר היא

$\Omega _{n+1}={\frac {1+\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{n}}}}$

כיוון שלפונקציה

$f(x)={\frac {1+x}{1+e^{x}}}$

יש אותה נקודת שבת אבל בנקודה זאת הנגזרת שווה ל-0, ולכן הסדרה שואפת לגבול הרבה יותר מהר (מספר הספרות הנכונות בערך מוכפל בכל איטרציה).

קבוע אומגה מקיים את הזהות:

$\Omega ={\frac {1}{\begin{aligned}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{(e^{x}-x)^{2}+\pi ^{2}}}\end{aligned}}}-1$

תכונות

קבוע אומגה הוא מספר אי-רציונלי.

הוכחה: נניח בשלילה שהוא רציונלי, ואז קיימים $p,q$ שלמים עבורם

${\frac {p}{q}}=\Omega$

ואז

${\begin{aligned}1={\frac {pe^{\left({\frac {p}{q}}\right)}}{q}}\\e=\left({\frac {q}{p}}\right)^{\left({\frac {q}{p}}\right)}={\sqrt[{p}]{\frac {q^{q}}{p^{q}}}}\end{aligned}}$

אבל e הוא מספר טרנסצנדנטי, ואילו הביטוי שאליו הגענו הוא שורש של פולינום בעל מקדמים רציונלים (ממעלה $q$) כלומר אלגברי. סתירה.

קבוע אומגה הוא גם טרנסצנדטי, כיוון שאילו היה אלגברי אזי לפי משפט לינדמן-ויירשטראס $\exp(\Omega )$ יהיה טרנסצנדטי וכך גם $\exp ^{-1}(\Omega )=-\Omega$ , וזאת סתירה להנחה שקבוע אומגה אלגברי.

קישורים חיצוניים

• קבוע אומגה, באתר MathWorld (באנגלית)