קבוע אומגה

קבוע אומגה הוא קבוע מתמטי המסומן באות היוונית אומגה, המקיים:

$ \Omega e^{\Omega }=1 $

ערכו של הקבוע הוא בקירוב

$ \Omega =0.5671432904097838729999686622\ldots $

הוא מקיים את המשוואות

$ e^{-\Omega }=\Omega \ ,\ \ln(\Omega )=-\Omega $

קבוע זה הוא הפתרון היחידי של $ (1)W $ כאשר $ W $ היא פונקציית W של למברט. שמו לקוח משמה הנוסף של פונקציה זו, פונקציית אומגה.

ניתן לבנות את קבוע אומגה בצורה איטרטיבית על ידי סדרת קירובים המתחילה ב-$ \Omega _{0} $ כלשהו ומקיימת

$ \Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}} $

הסדרה מתכנסת לקבוע אומגה כאשר $ n $ שואף לאינסוף. הגבול מתקיים כיוון שקבוע אומגה הוא נקודת שבת יציבה של הפונקציה $ e^{-x} $ .

בנייה אפקטיבית יותר היא

$ \Omega _{n+1}={\frac {1+\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{n}}}} $

כיוון שלפונקציה

$ f(x)={\frac {1+x}{1+e^{x}}} $

יש אותה נקודת שבת אבל בנקודה זאת הנגזרת שווה ל-0, ולכן הסדרה שואפת לגבול הרבה יותר מהר (מספר הספרות הנכונות בערך מוכפל בכל איטרציה).

קבוע אומגה מקיים את הזהות:

$ \Omega ={\frac {1}{\begin{aligned}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{(e^{x}-x)^{2}+\pi ^{2}}}\end{aligned}}}-1 $

תכונות

קבוע אומגה הוא מספר אי-רציונלי.

הוכחה: נניח בשלילה שהוא רציונלי, ואז קיימים $ p,q $ שלמים עבורם

$ {\frac {p}{q}}=\Omega $

ואז

$ {\begin{aligned}1={\frac {pe^{\left({\frac {p}{q}}\right)}}{q}}\\e=\left({\frac {q}{p}}\right)^{\left({\frac {q}{p}}\right)}={\sqrt[{p}]{\frac {q^{q}}{p^{q}}}}\end{aligned}} $

אבל e הוא מספר טרנסצנדנטי, ואילו הביטוי שאליו הגענו הוא שורש של פולינום בעל מקדמים רציונלים (ממעלה $ q $) כלומר אלגברי. סתירה.

קבוע אומגה הוא גם טרנסצנדטי, כיוון שאילו היה אלגברי אזי לפי משפט לינדמן-ויירשטראס $ \exp(\Omega ) $ יהיה טרנסצנדטי וכך גם $ \exp ^{-1}(\Omega )=-\Omega $ , וזאת סתירה להנחה שקבוע אומגה אלגברי.

קישורים חיצוניים

• קבוע אומגה, באתר MathWorld (באנגלית)