קבוע אומגה

קבוע אומגה הוא קבוע מתמטי המסומן באות היוונית אומגה, המקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega\,e^{\Omega}=1\,}

ערכו של הקבוע הוא בקירוב ...0.5671432904097838729999686622 . הוא מקיים את המשוואות

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{-\Omega}=\Omega\,} וכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln \Omega = - \Omega\,} .

עבור אינטואיציה גרפית נסתכל על הגרפים של הפונקציות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^x} ו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{x}} . בנקודת החיתוך שלהם ערכה של קואורדינטה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} הוא קבוע אומגה.

קבוע זה הוא הפתרון היחידי של (1)W כאשר W היא פונקציית W של למברט. שמו לקוח משמה הנוסף של פונקציה זו, פונקציית אומגה.

ניתן לבנות את קבוע אומגה בצורה איטרטיבית על ידי סדרת קירובים שמתחילה ב-Ω₀ כלשהו ומקיימת

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega_{n+1}=e^{-\Omega_n}\,}

הסדרה מתכנסת לקבוע אומגה כאשר n שואף לאינסוף. הגבול מתקיים כיוון שקבוע אומגה הוא נקודת שבת יציבה של הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{-x} } .

בנייה אפקטיבית יותר היא

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega_{n+1} = \frac{1+\Omega_n}{1+e^{\Omega_n}}}

כיוון שלפונקציה

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = \frac{1+x}{1+e^x}}

יש אותה נקודת שבת אבל בנקודה זאת הנגזרת שווה ל-0, ולכן הסדרה שואפת לגבול הרבה יותר מהר (מספר הספרות הנכונות בערך מוכפל בכל איטרציה).

קבוע אומגה מקיים את הזהות:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega=\frac{1}{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{{\rm{d}}x}{(e^x-x)^2+\pi^2}}-1 \,}

תכונות

קבוע אומגה הוא אי-רציונלי. הוכחה: נניח בשלילה שהוא רציונלי, ואז קיימים p ו-q שלמים כך ש-

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{p}{q} = \Omega }

ואז

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 = \frac{p e^{\left( \frac{p}{q} \right)}}{q}}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e = \left( \frac{q}{p} \right)^{\left( \frac{q}{p} \right)} = \sqrt[p]{\frac{q^q}{p^q}} }

אבל e הוא מספר טרנסצנדנטי, ואילו הביטוי שאליו הגענו הוא שורש של פולינום בעל מקדמים רציונלים (ממעלה q) כלומר אלגברי. סתירה.

קבוע אומגה הוא גם טרנסצנדטי. כיוון שאילו הוא היה אלגברי אז לפי משפט לינדמן-ויירשטראס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp(\Omega)} יהיה טרנסצנדטי וכך גם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp^{-1}(\Omega)=-\Omega} , וזאת סתירה להנחה שקבוע אומגה אלגברי.

קישורים חיצוניים

• קבוע אומגה, באתר MathWorld (באנגלית)
• סדרת הספרות העשרוניות של קבוע אומגה באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

קבוע אומגה39096821Q2291098