הדיסקית של אוילר

סימולציית מחשב של דיסקית אוילר על פני בסיס מעט קעור

הדיסקית של אוילר, שהומצא בין 1987 ל-1990 על ידי ג'וזף בנדיק, הוא צעצוע חינוכי מדעי. הוא משמש להמחשה וללמידה של המערכת הדינמית של דיסק המסתובב ומתגלגל על משטח שטוח או קמור. הדיסקית הייתה נושא למספר מאמרים מדעיים בשל מאפייניה הפיזיקליים הרבים. בנדיק קרא לצעצוע על שם המתמטיקאי לאונרד אוילר .

דיסק שמסתובב על פני משטח בסופו של דבר נעצר, השלב הסופי של התנועה מלווה בצליל זמזום בתדר ההולך וגובר ככל שהזמן עובר, עד לעצירה. ככל שהדיסק מתגלגל, נקודת המגע של הדיסק עם המשטח מתארת מעגל שמתנודד במהירות זוויתית $\omega$ . אם התנועה היא ללא חיכוך, $\omega$ הוא קבוע, והתנועה נמשכת לנצח; זה מנוגד למציאות, שכן $\omega$ אינו קבוע והדיסקית לא מסתובבת לנצח. למעשה, קצב הנקיפה של ציר הסימטריה מתקרב לסינגולריות בזמן סופי שמתקבל על ידי חוק החזקה עם מעריך בקירוב − 1/3 (בהתאם לתנאים ספציפיים).

ישנן שתי אפקטים היכולים לגרום להאטת הדיסקית: חיכוך קינטי כאשר הדיסק מחליק לאורך פני השטח, וחיכוך אוויר מהתנגדות האוויר. ניסויים מראים שהחיכוך הקינטי אחראי בעיקר להתנהגות האופיינית של הדיסקית - ניסויים בוואקום מראים שהיעדר אוויר משפיע רק במעט על התנהגותה, בעוד שההתנהגות (קצב הנקיפה) תלויה באופן שיטתי במקדם החיכוך. רק בגבול שהזווית קטנה (כלומר מיד לפני שהדיסק מפסיק להסתובב), חיכוך האוויר (ספציפית, פיזור צמיג ) הוא הגורם הדומיננטי, אך לפני שלב סופי זה, החיכוך הקינטי הוא האפקט הדומיננטי.

תנועה יציבה עם מרכז הדיסק במנוחה

ניתן לתאר את ההתנהגות של דיסק מסתובב שמרכזו במנוחה כדלקמן. אל הקו ממרכז הדיסק לנקודת המגע עם המישור נקרא ציר ${\widehat {\mathbf {3} }}$ . מכיוון שמרכז הדיסק ונקודת המגע נמצאים באופן רגעי במנוחה (בהנחה שאין תנועה) ציר ${\widehat {\mathbf {3} }}$ הוא ציר הסיבוב הרגעי. המומנטום הזוויתי הוא $\mathbf {L} =kMa^{2}\omega {\widehat {\mathbf {3} }}$ מה שמתאים לכל דיסק דק בעל סימטריה מעגלית עם מסה $M$ שמסתובב; כאשר $a$ הוא הרדיוס של הדיסק, ו $\omega$ היא המהירות הזוויתית לאורך ${\widehat {\mathbf {3} }}$ . k=1/2 עבור דיסק שכל מסתו על פני המשטח, k=1/4 עבור דיסק ׳אחיד׳ (כמו דיסק אוילר, למטבע קיים ציר העובר דרך מרכזה המקיים סימטריה סיבובית).

כוח המגע $\mathbf {F}$ הוא $Mg{\widehat {\mathbf {z} }}$ כאשר $g$ הוא תאוצת הכבידה ו ${\widehat {\mathbf {z} }}$ הוא הציר האנכי פונה כלפי מעלה. המומנט סביב מרכז המסה הוא $\mathbf {N} =a{\widehat {\mathbf {3} }}\times Mg{\widehat {\mathbf {z} }}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}$ או במילים אחרות ${\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {L}$ כאשר ${\boldsymbol {\Omega }}=-{\frac {g}{ak\omega }}{\widehat {\mathbf {z} }}$ . אנו יכולים להסיק כי הן המומנטום הזוויתי $\mathbf {L}$, ונקודת מגע הדיסק עם הרצפה סובבים סביב הציר האנכי ${\widehat {\mathbf {z} }}$ בשיעור של

$$\Omega ={\frac {g}{ak\omega }}$$

(1)

במקביל $\Omega$ היא המהירות הזוויתית של נקודת המגע עם המישור. אם ציר ${\widehat {\mathbf {1} }}$ מוגדר להיות לאורך ציר הסימטריה של הדיסק ומצביע כלפי מטה, הרי ש ${\widehat {\mathbf {z} }}=-\cos \alpha {\widehat {\mathbf {1} }}-\sin \alpha {\widehat {\mathbf {3} }}$, כאשר $\alpha$ היא זווית הנטייה של הדיסק ביחס למישור האופקי. ניתן לחשוב על המהירות הזוויתית כמורכבת משני חלקים $\omega {\widehat {\mathbf {3} }}=\Omega {\widehat {\mathbf {z} }}+\omega _{\text{rel}}{\widehat {\mathbf {1} }}$, כאשר $\omega _{\text{rel}}$ היא המהירות הזוויתית של הדיסקית לאורך ציר הסימטריה שלה. על ידי הגאומטריה ניתן להסיק בקלות כי:

$${\begin{aligned}\omega &=-\Omega \sin \alpha ,\\\omega _{\text{rel}}&=\Omega \cos \alpha \\\end{aligned}}$$

הצבת $\omega =-\Omega \sin \alpha$ לתוך המשוואה ( 1 ) מביא לנו את המשוואה

$$\Omega ^{2}={\frac {g}{ak\sin \alpha }}$$

(2)

כאשר $\alpha$ מתקרב לאפס, המהירות הזוויתית $\Omega$ נהפך לגדול מאוד ושואף לאינסוף, לכן הדיסקית תשמיע צליל בתדר גבוה. עם זאת, הסיבוב על פני המטבע, שמהירותו הזוויתית היא $\Omega -\omega _{\text{rel}}=\Omega (1-\cos \alpha ),$ מתקרב לאפס. המהירות הזוויתית הכוללת $\omega =-{\sqrt {\frac {g\sin \alpha }{ak}}}$ גם נעלמת כמו סך האנרגיה:

$$E=Mga\sin \alpha +{\tfrac {1}{2}}kMa^{2}\omega ^{2}=Mga\sin \alpha +{\tfrac {1}{2}}Mka^{2}{\frac {g\sin \alpha }{ak}}={\tfrac {3}{2}}Mga\sin \alpha$$

כאשר $\alpha$ מתקרב לאפס, תוך שימוש במשוואה המשוואה (2).

ג $\alpha$ שואף לאפס הדיסק כולו במגע עם השולחן ונהייה אופקי. כאשר שומעים צליל בתדר ${\frac {\Omega }{2\pi }}$, שנהפך לגבוה יותר באופן משמעותי, והוא ${\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {g}{ak}}}{\sqrt {\frac {1}{\sin \alpha }}}$, ככל שקצב הסיבוב מואט,$2{\sqrt {\frac {g}{ak}}}{\frac {(\sin {\frac {\alpha }{2}})^{2}}{\sqrt {\sin \alpha }}}$ זהו סך המהירות הזוויתית, עד שהקול נפסק בפתאומיות.

אשליית הריחוף

כאשר דיסקית סימטרית מעגלית שוקעת, הפרשי הגבהים בין נקודה קבועה על המשטח התומך לבין הדיסקית הנעה מעל ומתנדנדת בתדירות גוברת, בסנכרון עם זווית ציר הסיבוב (לא אנכית).

אשליית הריחוף נוצרת כאשר קצה הדיסק מחזיר אור כאשר הוא מוטה מעט מעלה מעל פני המשטח התומך, ונמצאת בצל כאשר הוא מוטל במגע. הצל אינו נתפס, וההשתקפויות החוזרות במהירות מהקצה שמעל המשטח התומך נתפסות כריחוף יציב. ראה התמדה של הראייה .

ניתן לשפר את אשליית הריחוף על ידי אופטימיזציה של העקומה של הקצה התחתון כך שקו הצללים יישאר גבוה כשהדיסק מתאזן. מראה יכולה לשפר עוד יותר את האפקט על ידי הסתרת משטח התמיכה ועל ידי כך הצגת הפרדה של ממש בין משטח הדיסק שנע ותמונת המראה.

דוגמה באמצעות מטבע עשר אגורות

מטבע עשר אגורות נקי, מסתובב על מראת יד שטוחה, במבט מהצד קרוב למשטח המראה, מדגים את התופעה לכמה שניות.

כאשר המטבע מואר על ידי מקור נקודתי מעליו קרוב לזמן שקיעתו. שפת המטבע מוארת כאשר ציר הסיבוב רחוק מהצופה, ובצל כאשר ציר הסיבוב הוא לכיוון הצופה. הרטט הגובר מטשטש מספיק את הרכסים והעמקים מכדי להראות סיבוב. מה שיוצר תמונה של ריחוף.

קישורים חיצוניים

• אתר האינטרנט הרשמי של הדיסקית של אוילר

מדיה וקבצים בנושא הדיסקית של אוילר בוויקישיתוף

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

הדיסקית של אוילר40259686Q10862754