שיטת אוילר

במתמטיקה ומדעי המחשב, שיטת אוילר היא פרוצדורה נומרית לפתרון משוואות דיפרנציאליות עם ערך התחלתי מסוים. זוהי השיטה הישירה והבסיסית ביותר לאינטגרציה נומרית של משוואות דיפרנציאליות ושיטת רונגה-קוטה הפשוטה ביותר. שיטת אוילר נקראת על שם לאונרד אוילר, שתיאר שיטה זו בספרו "Institutionum calculi".

שיטת אוילר היא שיטה מסדר ראשון, כלומר השגיאה המקומית לכל צעד היא פרופורציונית לריבוע גודל הצעד, והשגיאה הגלובלית (שגיאה בזמן מוגבל) פרופורציונית לגודל הצעד. שיטת אוילר משרתת לעיתים קרובות כבסיס לבניית שיטות מסובכות יותר.

תיאור גאומטרי לא פורמלי

איור של שיטת אוילר. העקום הלא ידוע הוא בכחול, והקירוב שלו באדום.

בבעיה של חישוב השטח של צורה לא מוכרת המתחילה בנקודה נתונה ומקבלת משוואה דיפרנציאלית נתונה, המשוואה הדיפרנציאלית יכולה להיחשב כנוסחה שבה שיפוע המשיק לעקומה יכול להיות מחושב בכל נקודה שעל גבי העקומה, ברגע שהשעורים של הנקודה הזו חושבו.

הרעיון בבסיס השיטה הוא שבזמן שצורת הפונקציה לא ידועה תחילה, ידועים שעורי ההתחלה שלה. אז, על ידי המשוואה הדיפרנציאלית, שיפוע המשיק לפונקציה בנקודת ההתחלה יכול להיות מחושב, וכך ניתן גם לחשב את הנקודה הבאה של הפונקציה. לפי גודל הצעד הנבחר, מהנקודה ההתחלתית הולכים צעד קטן בהתאם לשיפוע שחושב ומחשבים את מיקום הנקודה הבאה. לאורך הצעד הקטן הזה, השיפוע לא משתנה בהרבה, כך שהנקודה השנייה שחישבנו תהיה קרובה מאד לנקודה של הפונקציה האמיתית. אם נחשיב את הנקודה השנייה כנקודה ההתחלתית, נוכל לפעול לחישוב הנקודה השלישית בדיוק באותה הדרך. לאחר מספר פעמים נוכל לחשב את העקומה של כל הנקודות שחישבנו. באופן כללי, העקומה שנמצא תהיה קרובה מאד לעקומה הלא ידועה האמיתית, והשגיאה בין שתי העקומות יכולה להיות קטנה מאד אם גודל הצעד קטן מספיק ומרווח החישוב הוא אינסופי.

עיגול שגיאות

הוויכוח נכון להיום מתעלם מההשפעות של עיגול תוצאות. בצעד מספר n בשיטת אוילר, השגיאה המעוגלת היא בערך של εy_n . בהנחה שהשגיאות המעוגלות הן בערך באותו הגודל, השגיאה המעוגלת הכוללת ב-N צעדים היא בערך Nεy₀ אם הנקודות השגויות הן באותו הכוון. כיוון שמספר הצעדים הוא פרופורציוני הופכי לגודל הצעד h, השגיאה הכוללת המעוגלת היא פרופורציונית ל: ε / h. במציאות, בכל מקרה, לא ייתכן כלל שכל השגיאות המעוגלות הן באותו הכוון. אם במקום זאת, נניח שהשגיאות המעוגלות הן ערכים מעוגלים עצמאיים, אז השגיאה המעוגלת הכוללת היא פרופורציונית ל $\varepsilon /{\sqrt {h}}$ . מכאן, בהתאם לערכים הקטנים של גודל הצעד, שגיאת החיתוך תהיה קטנה, אבל ההשפעה של עיגול השגיאה תהיה גדולה. רוב ההשפעה של עיגול השגיאה יכולה להימנע אם עיגול השגיאות מפצות זו את זו בהתאם לשיטת אוילר.