גאומטריה דיפרנציאלית

מתוך המכלול
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

גאומטריה דיפרנציאלית היא ענף מתמטי העושה שימוש בכלים של חשבון אינפיניטסימלי כדי לבחון בעיות בגאומטריה. הענף פותח לראשונה במאות ה-18 וה-19 על בסיס התאוריה של עקומות במישור ובמרחב והתאוריה של משטחים במרחבים אוקלידים תלת-ממדיים. מאז סוף המאה ה-19 גאומטריה דיפרנציאלית עוסקת בעיקר במבנים גאומטריים על יריעות דיפרנציאליות. הגאומטריה הדיפרנציאלית קשורה במובנים רבים לענף טופולוגיה דיפרנציאלית ולהיבטים הגאומטריים של תורת המשוואות הדיפרנציאליות. גריגורי פרלמן, שהשתמש בזרימת ריצ'י כדי להוכיח את השערת פואנקרה, סיפק דוגמה אקטואלית לכוחה של הגאומטריה הדיפרנציאלית בפתירת שאלות בטופולוגיה והדגים את חשיבותן של השיטות האנלטיות.

ענפים בגאומטריה דיפרנציאלית

גאומטריה רימאנית

גאומטריה רימאנית עוסקת ביריעות רימאניות, שהן יריעות חלקות עם מטריקה רימאנית — מושג המבטא מרחק באמצעות התאמה המתאימה לכל נקודה ביריעה, תבנית בילינארית סימטרית וחיובית לחלוטין על המרחב המשיק. גאומטריה רימאנית מכלילה את הגאומטריה האוקלידית למרחבים שאינם בהכרח שטוחים, אך עדיין דומים למרחב האוקלידי בכל נקודה באופן "אינפיניטסימלי", כלומר, בדרגה הראשונה של קירוב. להרבה מושגים המבוססים על אורך, כגון אורך הקשת של עקומה, השטח של תחום במישור והנפח של גופים, יש מושגים מקבילים בגאומטריה רימאנית. גם לרעיון של נגזרת כיוונית של פונקציה מרובת משתנים יש מקבילה בגאומטריה הרימאנית – נגזרת קו-וריאנטית של טנזור. באופן כללי, טכניקות ורעיונות רבים מתחומי האנליזה והמשוואות הדיפרנציאליות הוכללו ליריעות רימאניות בהצלחה מרובה.

דיפאומורפיזם משמר מרחק בין יריעות רימאניות מכונה איזומטריה. מושג זה ניתן להגדיר גם באופן מקומי, כלומר עבור סביבה של נקודות. כל שתי עקומות רגילות הן איזומטריות זו לזו. אך עבור משטחים, לקיום איזומטריה מקומית כבר נדרשים כמה תנאים חזקים על המטריקות שלהם, כפי שהוכיח גאוס בתאורמה אגרגיום שלו: עקמומיות גאוס של הנקודות המתאימות חייבת להיות זהה. בממדים גבוהים יותר, גודל אינווריאנטי חשוב הקשור ליריעות רימאניות הוא טנזור העקמומיות של רימאן המודד עד כמה קרובה היריעה להיות שטוחה. מחלקה חשובה של יריעות רימאניות הן המרחבים הרימאניים הסימטריים, ולהם עקמומיות קבועה. הם הדבר הקרוב ביותר למישור ולמרחב ה"רגילים", בהם עוסקות הן הגאומטריה האוקלידית והן הגאומטריה הלא־אוקלידית.

גאומטריה פסאודו־רימאנית

גאומטריה פסאודו־רימאנית מהווה הכללה של הגאומטריה הרימאנית למקרה בו הטנזור המטרי אינו בהכרח חיובי לחלוטין. מקרה פרטי הוא היריעה הלורנצית, המהווה את הבסיס המתמטי לתורת היחסות הכללית.

גאומטריית פינסלר

גאומטריית פינסלר היא הענף המתמטי העוסק בחקר יריעת פינסלר – יריעה דיפרנציאלית עם מטריקת פינסלר, כלומר, פונקציה חלקה המתאימה לכל נקודה ביריעה נורמה על המרחב המשיק. מטריקת פינסלר היא מבנה הרבה יותר כללי ממטריקה רימאנית. מבנה פינסלר על יריעה הוא פונקציה המקיימת:

  1. לכל ומספר ממשי מתקיים .
  2. גזירה אינסוף פעמים ב- .
  3. מטריצת הסיאן של היא מטריצה חיובית לחלוטין.

גאומטריה סימפלקטית

גאומטריה סימפלקטית היא הענף המתמטי העוסק בחקר יריעות סימפלקטיות. יריעה כמעט-סימפלקטית היא יריעה דיפרנציאלית עם התאמה חלקה של תבנית בילינארית אנטי־סימטרית ולא־מנוונת המוגדרת על כל מרחב משיק; כלומר, דו־תבנית (תבנית דיפרנציאלית מדרגה 2) לא־מנוונת, , המכונה התבנית הסימפלקטית. יריעה סימפלקטית היא יריעה כמעט-סימפלקטית עבורה התבנית הסימפלקטית היא תבנית סגורה: .

דיפאומורפיזם בין שתי יריעות סימפלקטיות המשמר את התבנית הסימפלקטית מכונה סימפלקטומורפיזם. מכיוון שתבנית בילינארית אנטי־סימטרית ולא־מנוונת יכולה להתקיים רק על מרחב וקטורי מממד זוגי, ליריעות סימפלקטיות בהכרח יש ממד זוגי. בשני ממדים, יריעה סימפלקטית היא פשוט משטח עם אלמנט שטח, וסימפלקטומורפיזם הוא דיפאומורפיזם משמר שטח. מרחב המופע של מערכת מכנית הוא יריעה סימפלקטית והן הופיעו באופן סמוי עוד בעבודתו של לגראנז' על מכניקה אנליטית, ומאוחר יותר בניסוח של יעקבי והמילטון למכניקה הקלאסיתהמכניקה ההמילטונית.

בניגוד לגאומטריה רימאנית, שם העקמומיות מהווה אינווריאנט מקומי של יריעות רימאניות, משפט דארבּוּ מוכיח כי כל היריעות הסימפלקטיות הן איזומורפיות מקומית. אם-כן, האינווריאנטים היחידים של יריעות סימפלקטיות הם גלובליים, וטופולוגיה ותכונות טופולוגיות משחקות תפקיד חשוב בגאומטריה סימפלקטית. התוצאה המתמטית הראשונה שאפשר לייחס לגאומטריה סימפלקטית היא ככל-הנראה משפט פואנקרה-בירקהוף, שהתחיל למעשה כהשערה של פואנקרה והוכח ב-1912 על ידי בירקהוף. באופן פשטני, המשפט קובע שאם מיפוי משמר שטח של טבעת לעצמה, מעביר נקודות בגבול הפנימי של הטבעת ונקודות בגבול החיצוני של הטבעת לכיוונים נגדיים, אז קיימות לפחות שתי נקודות שבת.

גאומטריית מגע

גאומטריית מגע עוסקת ביריעות מסוימות מדרגה אי-זוגית. במובנים רבים, היא משלימה את הגאומטריה הסימפלקטית וכמוה, גאומטריית המגע התפתחה בעקבות שאלות במכניקה קלאסית.