מספרים זרים
שני מספרים שלמים נקראים מספרים זרים, אם המחלק המשותף המקסימלי שלהם הוא 1, כלומר, אין אף מספר גדול מאחת שמחלק את שניהם.
על-פי המשפט היסודי של האריתמטיקה אפשר לכתוב כל מספר טבעי באופן יחיד כמכפלה של גורמים ראשוניים. שני מספרים הם זרים אם ורק אם אין ברשימת הגורמים שלהם אף ראשוני משותף; לדוגמה, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 1496 = 2^3 \cdot 11\cdot 17} זר ל- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 19695=3\cdot 5\cdot 13\cdot 101} .
דוגמאות נוספות:
- 5 ו-7 הם מספרים זרים.
- 4 ו-6 אינם זרים, מכיוון ששניהם מתחלקים ב-2.
- אם p ראשוני, אז כל מספר שאינו מתחלק ב- p בהכרח זר ל-p.
שלשה של מספרים נקראת 'שלשה זרה' (ולפעמים 'שלשה פרימיטיבית') אם אין אף מספר גדול מאחת המחלק את כולם; וכן לרביעייה, חמישייה או קבוצה גדולה יותר. אם המספרים בקבוצה זרים גם זה לזה, אומרים שהם 'זרים בזוגות'. ייתכן שבקבוצת מספרים המספרים יהיו זרים בלי להיות זרים בזוגות. למשל 6,10,15 - אין מספר גדול מאחד המחלק את שלושתם, אך כל זוג מתוכם אינו זר.
תכונות של מספרים זרים
אם קיימים מספרים שלמים a,b כך ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ an+bm=1} , אז n,m זרים, משום שכל מחלק משותף שלהם מחלק גם את אגף ימין בשוויון הזה. מאידך, מכיוון שחוג המספרים השלמים הוא תחום ראשי, לכל שני מספרים זרים n ו-m קיימים a ו- b כך ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ an+bm=1} . האלגוריתם של אוקלידס מוצא את המקדמים הללו בזמן קצר יחסית. מתכונה זו מתקבלת הוכחה קלה של משפט השאריות הסיני.
קבוצת המספרים בין 1 ל- n הזרים ל-n היא חבורה ביחס לכפל מודולו n, הנקראת חבורת אוילר של n. גודלה של חבורה זו שווה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \phi(n)} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \phi} היא פונקציית אוילר.
אם n ו- m זרים, אז הכפולה המשותפת המינימלית שלהם שווה למכפלתם nm.
עבור כל שני מספרים זרים n ו- m מתקיים שכל אחד מהם זר לכל העלאה בחזקה של האחר (לדוגמה, n זר ל-m3), וכן מתקיים שכל אחד מהם זר לסכומם n+m.
ההסתברות ששני מספרים יהיו זרים
נסמן ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_N} את ההסתברות ששני מספרים טבעיים קטנים מ-N שנבחרים באקראי (בהתפלגות אחידה בדידה) יהיו זרים. כאשר N שואף לאינסוף, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_N} שואף ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tfrac{6}{\pi^2}\approx 0.6079} . על כן ניתן לומר שההסתברות ששני מספרים טבעיים כלשהם יהיו זרים היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tfrac{6}{\pi^2}} (תיאור ההסתברות כגבול דרוש משום שאי אפשר לבחור שני מספרים טבעיים סתם, בהתפלגות אחידה).
המקור לטענה הוא בנימוק הבא: נבחר שני מספרים באופן אקראי (למען הפשטות, נוותר על הדיוק ונניח שניתן לבחור מספרים טבעיים לא חסומים באופן אחיד). המספרים זרים אם ורק אם אין ראשוני שמחלק את שניהם. הסיכוי שראשוני הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} מחלק כל אחד מהם היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tfrac{1}{p}} , ולכן הסיכוי שהוא מחלק את שניהם היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tfrac{1}{p^2}} . מכאן שהסיכוי שהוא לא מחלק את שניהם הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1-\tfrac{1}{p^2}} . לכל שני ראשוניים שונים, המאורעות הללו בלתי תלויים (מכיוון שמספר מתחלק בשני ראשוניים שונים אם ורק אם הוא מתחלק במכפלה שלהם). מכאן שההסתברות שאין ראשוני שמחלק את שני המספרים שנבחרו היא מכפלת ההסתברויות שכל ראשוני בנפרד לא מחלק את שניהם. כלומר ההסתברות היא:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \prod_p \left(1-\tfrac{1}{p^2}\right)}
כאשר המכפלה עוברת על כל הראשוניים. קיבלנו את ההופכי של מכפלת אוילר של פונקציית זטא של רימן בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s=2} , ולכן ההסתברות שווה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tfrac{1}{\zeta(2)}} . לפי הפתרון של בעיית בזל, ערך זה שווה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tfrac{6}{\pi^2}} .
הכללות
בחוגים כלליים, לטענה שאיברים a ו- b זרים יכולה להיות שתי משמעויות: או שאין איבר לא הפיך שמחלק את שניהם, או שאין אידיאל שמחלק את שניהם (ובמלים אחרות, האידיאל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle a,b\rangle} שווה לכל החוג). האפשרות השנייה תמיד חזקה מן הראשונה, ובתחומי אידיאלים ראשיים הן מתלכדות.
אומרים ששני אידיאלים (של חוג כלשהו) הם זרים (או קו-מקסימליים, או מקסימליים הדדית), אם סכומם שווה לכל החוג. זוהי תכונה מרכזית בהכללה של משפט השאריות הסיני לחוגים כלליים.
קישורים חיצוניים
| מיזמי קרן ויקימדיה |
|---|
 ערך מילוני בוויקימילון: מספרים זרים |
- מספרים זרים, באתר MathWorld (באנגלית)
