מהירות הקול

מהירות הקול היא המהירות שבה נעים גלי הקול בתווך. מהירות הקול תלויה במקדם הקשיחות של חומר התווך ובצפיפות שלו. בתנאים מסוימים מושפעת מהירות הקול גם מהטמפרטורה והלחץ.

בדרך כלל, משתמשים במונח "מהירות הקול" כשמתכוונים למהירות הקול באוויר, שהיא 343 מטר לשנייה או 1234.8 קמ"ש, בטמפרטורה של 20 מעלות צלזיוס באוויר יבש. לעומת זאת, בברזל, מהירות הקול היא אלפי מטרים בשנייה ובמים מהירות הקול גבוהה פי 4.3 ממהירות הקול באוויר.

בואקום ותווך בין-כוכבי בו הצפיפות החומר נמוכה מאוד, גלי הקול אינם יכולים להתקדם.

חישוב מהירות הקול

באופן כללי מהירות הקול ניתנת בנוסחה:

c={\sqrt {\frac {C}{\rho }}}

$C$ מסמל מקדם הקשיחות של החומר ואילו $\rho$ מסמל את צפיפות החומר.

ניתן להציג את מהירות הקול באופן מפורט יותר כ:

c_{\mathrm {ideal} }={\sqrt {\gamma \cdot {p \over \rho }}}={\sqrt {\gamma \cdot R\cdot T \over M}}={\sqrt {\gamma \cdot k\cdot T \over m}}

כאשר:

p הוא הלחץ

$R$ הוא קבוע הגזים האוניברסלי המחולק למסה המולרית של האוויר.
$k$ הוא קבוע בולצמן.
$\gamma$ (בשימושים מסוימים מסומן גם $\kappa$ ) הוא היחס בין החום הסגולי בלחץ קבוע לחום הסגולי בנפח קבוע (1.402 לאוויר).
$T$ היא הטמפרטורה (בקלווין).
$M$ המסה המולרית.
$m$ המסה של מולקולה יחידה.

לציון מהירותם של עצמים כמו מטוסים או חלליות הנעים במהירות על-קולית (מהירות הגבוהה ממהירות הקול) נהוג להשתמש במספר מאך, שהוא היחס בין מהירות העצם בתווך, לבין מהירות הקול באותו תווך. מאך 1 שווה למהירות הקול, מאך 2 הוא פי 2 ממהירות הקול וכן הלאה.

ב-14 באוקטובר 2012 שבר פליקס באומגרטנר את מהירות הקול בצניחה חופשית. באומגרטנר קבע את שיא המהירות בצניחה חופשית, 373 מטר לשנייה שהם 1,342.8 קמ"ש, או 1.24 מאך.^[1]

נוסחה פרקטית לחישוב מהירות הקול באוויר

נוסחה לחישוב מהירות הקול באוויר על פי הטמפרטורה:

c_{\mathrm {air} }=(331{.}5+0{.}6\cdot \vartheta )\ \mathrm {m/s}

כאשר $\vartheta$ (תטה) מייצגת את הטמפרטורה בצלזיוס, ו- $c$ מייצג את מהירות הקול באוויר. מכיוון שמהירות הקול באוויר תלויה בלחץ האוויר היא תלויה בטמפרטורה ובגובה מעל פני הים, דבר שלא בא לידי ביטוי בנוסחא הפשוטה.

פיתוח הנוסחה למהירות הקול בתווך גזי

ההנחות על תכונות התווך הגזי לגביו המושג של "מהירות הקול" תקף הן: המושג של מהירות הקול בתווך אלסטי כלשהו תקף כל עוד אורך הגל של הקול גדול באופן משמעותי מהמהלך החופשי הממוצע של חלקיקי הגז הנושא את גל הקול. אחרת, רעידות (תנודות בלחץ ובצפיפות של הגז) בתווך הגזי לא יצליחו להתקדם בתוכו באופן אפקטיבי, שכן חלקיקי הגז ינועו בקו ישר במהלך זמן מחזור אחד של הגל, בגלל המהלך החופשי הארוך של החלקיקים, שמונע העברת תנע בין חלקיקי הגז ולכן מונע התקדמות במרחב של הפרמטרים המאפיינים את הגל. כיוון שקול הוא למעשה גל דחיסה בתווך (אלמנטי הגז נעים במהירויות שונות וכך דוחסים אחד את השני), חוסר יכולת של אלמנטי הגז להעביר תנע אחד לשני מונע התקדמות של הגל בתווך, והופך לפעפוע בלבד כאשר התנאי הזה לא מתקיים. לפיכך המושג של מהירות הקול מאבד מישימותו עבור תדרים גבוהים במיוחד של גל הקול או לחלופין בתנאים של תווך דליל במיוחד, כמו זה שמתקיים באטמוספירה העליונה.

מסתבר שתחת טווח שינוי לחצים קטן בהשוואה ללחץ המקומי של הגז, הגז כולו מתפקד כתווך אלסטי עם מקדם קפיצי קבוע מסוים. ניתן לדמות את הגז בו מתקדם הגל כמורכב מתאים זהים שביניהם מחיצות המקיימים אינטראקציה אחד עם השני - לכל תא יש מסה מסוימת, ואודות ללחץ הגז יש לו גם מקדם אלסטי מסוים. דימוי זה של התקדמות הגל מרמז כי מהירות הקול תלויה במסת כל אחד מהתאים, כלומר בצפיפות הגז $\rho$ , ובמקדם האלסטי k של כל תא, כלומר בלחץ שלו $P$ . כיוון שכך, מספיק לחשב את מהירות ההתקדמות של הפרעה טורית במערכת קפיצים ומסות עם מסה m וקבוע קפיץ k, ולאחר מכן נותר להעריך את מקדם הקפיציות של הגז מהפרמטרים שמאפיינים אותו (כלומר משיקולים תרמודינמיים). אם האורך הרפוי של כל קפיץ הוא L, אז מקבלים את משוואות התנועה הבאות עבור המסות:

$m{\ddot {x_{n}(t)}}=k((x_{n+1}-x_{n}-L)-(x_{n}-x_{n-1}-L))=k((x_{n+1}-x_{n})-(x_{n}-x_{n-1}))$

הביטוי $(x_{n+1}-x_{n})-(x_{n}-x_{n-1})$ הוא גרסה מבוססת שינויים סופיים של הביטוי הבא (המנוסח בשפת החשבון האינפיניטסימלי): $L^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)$ , כאשר $\psi (x,t)$ הוא למעשה ההפרש בין $x_{n}(t)$ ל- $x_{n}(0)$ . לפיכך המשוואה שנתקבלה היא למעשה המשוואה הבאה: ${\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (x,t)=(k/m)\cdot L^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)$ .

משוואה זו היא למעשה משוואת הגלים, ולפיכך מקבלים שמהירות ההתקדמות של הפרעות טוריות במערכת הקפיצים והמסות היא: $v={\sqrt {\frac {L^{2}*k}{m}}}=L\cdot {\sqrt {\frac {k}{m}}}$ .

כדי להשתמש בתוצאה זאת על מנת להסיק משהו לגבי מהירות הקול בגז, יש להעריך את מקדם הקפיציות של תא גזי בצורת תיבה בעלת שטח חתך S ואורך L. ההנחה שנניח כעת היא שהגז בתיבה נדחס ומתפשט אדיאבטית. הנחה זאת מוצדקת משום שהתהליכים המתרחשים במעבר קול מהירים ולא מאפשרים מעבר חום בדרכים סטנדרטיות כמו הולכה והסעה, כך שאין מעבר חום מהתא החוצה, וזה בהגדרה תהליך אדיאבטי. המשוואה הקושרת את הלחץ והנפח בתהליך אדיאבטי היא $PV^{\gamma }=const$ , או, בגרסה דיפרנציאלית: ${\frac {dP}{P}}=-\gamma {\frac {dV}{V}}$ שזה למעשה: ${\frac {dP}{dV}}=-\gamma {\frac {P}{V}}=-\gamma {\frac {P}{LS}}$ . הקשר בין מקדם הקפיציות k ל- ${\frac {dP}{dV}}$ הוא לפי הגדרת k למעשה $k={\frac {dP}{dV}}\cdot S^{2}$ מסת התא הגזי היא $m=\rho \cdot LS$ . התוצאה שמתקבלת למהירות הקול היא:

$c_{s}={\sqrt {\frac {L^{2}\cdot k}{m}}}={\sqrt {\frac {L^{2}\cdot \gamma {\frac {P}{LS}}\cdot S^{2}}{\rho \cdot LS}}}={\sqrt {\frac {\gamma P}{\rho }}}$ .

הערה: ההנחה בפיתוח לחישוב מהירות ההתקדמות של הפרעות טוריות שהביטוי בצורה של שינויים סופיים שווה לביטוי המנוסח בשפת החשבון האינפיניטסימלי נכונה בקירוב רק כאשר אורכי הגל גדולים בהרבה (כמה סדרי גודל) מהמרחק L בין שתי מסות, הגם שבמקרה של גז הנחה זאת חייבת להתקיים כדי שתהיה לו אלסטיות מסוימת. במוצקים המצב שונה, שכן אודות למבנה המסודר של האטומים גם גלים עם אורכי גל מסדר גודל של המרחק בין האטומים יכולים להתקדם באופן אפקטיבי, אך יש להם יחס נפיצה לא ליניארי. להסבר מורחב ראו יחס נפיצה של פונונים.