פונקציית בטא

קווי מתאר של פונקציית בטא

פונקציית בטא היא פונקציה של שני מספרים מרוכבים המוגדרת על ידי האינטגרל

$\mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt$

כאשר החלקים הממשיים מקיימים ${\text{Re}}(x),{\text{Re}}(y)>0$ .

הפונקציה נחקרה לראשונה על ידי לאונרד אוילר ואדריאן-מארי לז'נדר ושמה ניתן לה על ידי ז'אק בינֶה. פונקציית בטא מגדירה את פונקציית צפיפות ההסתברות של התפלגות בטא והיא משרעת הפיזור הראשונה שהתגלתה בתורת המיתרים, על ידי הפיזיקאי גבריאל ונציאנו.

מאפיינים

פונקציית בטא היא פונקציה סימטרית:

$\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x)$

היא קשורה באופן הדוק לפונקציית גמא:

$\mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}$

הגדרות אינטגרליות נוספות לפונקציה:

${\begin{aligned}\mathrm {B} (x,y)&=2\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(\theta )^{2x-1}\cos(\theta )^{2y-1}d\theta \\&=\int \limits _{0}^{\infty }{\dfrac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}dt\end{aligned}}$

זהויות נוספות:

${\begin{aligned}\mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1}\\\mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\frac {\pi }{x\sin(\pi y)}}\end{aligned}}$

בדומה להרחבת פונקציית העצרת לערכים מרוכבים בעזרת פונקציית גמא, ניתן להרחיב מקדמים בינומיים בעזרת פונקציית בטא:

${\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}$

קישורים חיצוניים

• פונקציית בטא באתר Wolfram Mathworld