זהות אוילר

מתוך המכלול
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באנליזה מתמטית, זהות אוילר, הקרויה על שמו של המתמטיקאי השווייצרי הידוע לאונרד אוילר, היא השוויון הבא:

כל אברי הזהות הם מספרים קבועים:

יופי מתמטי

זהות אוילר נחשבת בעיני רבים כזהות יוצאת דופן בשל יופיה המתמטי, הנובע מהפעולות הבסיסיות שהיא משלבת בתוכה (חיבור, כפל והעלאה בחזקה) ומהקבועים המתמטיים הבסיסיים שהיא מקשרת ביניהם:

עדות ליופי שרבים מייחסים לזהות ניתן לראות בכך שבמשאל קוראים שערך כתב העת "Physics World" בין קוראיו היא הגיעה למקום הראשון, יחד עם משוואות מקסוול.[1]

הוכחה

ניתן להוכיח את הזהות על־ידי הצבת בנוסחת אוילר:

הכללות

מנוסחת אוילר נובע ששורשי היחידה מסדר הם המספרים מהצורה לכל . סכום שורשי היחידה הוא תמיד 0:

טענה זו ניתן להוכיח בדרכים רבות, למשל דרך ההבחנה שסכום שורשי היחידה הוא המקדם של בפולינום:

הצבה של בסכום נותנת את זהות אוילר.

את נוסחת אוילר ניתן להכליל גם לקווטרניונים, אז מקבלים זהות אוילר מוכללת:

לכל ממשיים המקיימים .

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. גרדיאן‏, ובמקום השמיני: 2=1+1, באתר וואלה! NEWS‏, 11 באוקטובר 2004