מספרי ברנולי

במתמטיקה, סדרת מספרי ברנולי היא סדרה של מספרים שגילה יאקוב ברנולי, ובזכות תכונותיה הבסיסיות היא מופיעה בהקשרים שונים באנליזה של פונקציות מרוכבות ובתורת המספרים. הסדרה איפשרה לברנולי לחשב את הסכום $\ 1^{10}+2^{10}+3^{10}+\dots +1000^{10}$ ב"פחות מרבע שעה" (Ars Conjectandi, 1713).

אבריה הראשונים של הסדרה הם:

\ B_{0}=1,B_{1}=-{\frac {1}{2}},B_{2}={\frac {1}{6}},B_{4}=-{\frac {1}{30}},B_{6}={\frac {1}{42}},B_{8}=-{\frac {1}{30}},B_{10}={\frac {5}{66}},B_{12}=-{\frac {691}{2730}}

, והאיברים האי-זוגיים (פרט ל-

\ B_{1}

) הם אפס.

מספרי ברנולי מופיעים כמקדמים בפיתוח טיילור של פונקציות טריגונומטריות ושל הפונקציות ההיפרבוליות המקבילות להן. אוילר גילה שמספרים אלה קשורים לערכים מיוחדים של פונקציית זטא של רימן, והם הופיעו שוב בפתרונו של קומר למשפט האחרון של פרמה, עבור ראשוניים רגולריים.

סכומים של חזקות עוקבות

הנוסחאות לסכום טור כגון:

$\ 1+2+\dots +m={\frac {1}{2}}m(m+1)$
$\ 1^{2}+2^{2}+\dots +m^{2}={\frac {1}{6}}m(m+1)(2m+1)$
$\ 1^{3}+2^{3}+\dots +m^{3}={\frac {1}{4}}m^{2}(m+1)^{2}$ (משפט ניקומאכוס),

ואחרות, היו ידועות זמן רב לפני ברנולי. ברנולי ביקש נוסחה כללית לסכום $\ S_{m}(n)=\sum _{k=1}^{n-1}k^{m}$ , שתהיה קלה לחישוב לכל m קבוע, כלומר, פולינום ממעלה m+1 במשתנה n. הוא הבחין שאפשר להציג את $\ n^{m+1}$ כטור טלסקופי, $\ n^{m+1}=\sum _{k=0}^{n-1}((k+1)^{m+1}-k^{m+1})=\sum _{i=0}^{m}{\binom {m+1}{i}}S_{i}(n)$ , והסיק מכך את נוסחת הנסיגה $\ (m+1)S_{m}(n)=n^{m+1}-\sum _{i=0}^{m-1}{\binom {m+1}{i}}S_{i}(n)$ . מנוסחה זו הסיק ברנולי את השוויון $\ S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{i=0}^{m}(-1)^{i}{\binom {m+1}{i}}B_{i}n^{m+1-i}$ , כאשר המקדמים, מספרי ברנולי $\ B_{k}$ , מוגדרים לפי נוסחת הנסיגה

\ B_{0}=1;B_{m}=-{\frac {1}{m+1}}\sum _{i=0}^{m-1}{\binom {m+1}{i}}B_{i}

.

פיתוחי טיילור

מנוסחת הנסיגה של הסדרה אפשר להסיק את השוויון החשוב $\ {\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}$ (על ידי הכפלת שני אגפי השוויון בפונקציה $\ e^{x}-1$ ). מכיוון שהפונקציה $\ {\frac {x}{e^{x}-1}}+{\frac {x}{2}}={\frac {x}{2}}\operatorname {coth} (x/2)$ זוגית (כאשר $\ \operatorname {coth}$ היא פונקציית הקוטנגנס ההיפרבולי), נובע מן השוויון כי $\ B_{n}=0$ לכל 1<n אי-זוגי. על ידי הצבה מתאימה מתקבל פיתוח לורן של הקוטנגנס: $\ \cot(x)={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {2^{2n}}{(2n)!}}B_{2n}x^{2n-1}$ .

ערכים של פונקציית זטא

מפיתוח אחר לפונקציית הקוטנגנס הסיק לאונרד אוילר את הזהות $\ \zeta (2m)=(-1)^{m+1}{\frac {1}{2}}{\frac {(2\pi )^{2m}}{(2m)!}}B_{2m}$ , כאשר $\ \zeta$ היא הפונקציה שלימים תקרא פונקציית זטא של רימן. מכאן נובע מיד כי הסימנים של $\ B_{2m}$ מתחלפים, וגם כי $\ |B_{2m}|>\left({\frac {m}{\pi e}}\right)^{2m}$ , כך שהסדרה גדלה מהר מאוד (חרף הערכים הקטנים המופיעים בתחילתה). למעשה, $B_{2m}\approx (-1)^{m+1}4{\sqrt {\pi m}}({\frac {m}{\pi e}})^{2m}$ .

ראשוניים רגולריים

בזכות הקשר שלהם לפונקציות היסודיות $\ {\frac {1}{e^{x}-1}}$ וקוטנגנס, הופיעו מספרי ברנולי מאז בנוסחאות רבות מספור. במחצית השנייה של המאה ה-19 גילה ארנסט קומר שהראשוני p הוא רגולרי אם ורק אם p אינו מחלק את המונים של $\ B_{2},B_{4},\dots ,B_{p-3}$ . מונים אלה עדיין אינם מובנים די הצורך. באשר למכנים של מספרי ברנולי - אותם קל לחשב, מכיוון ש- $\ B_{2m}\equiv -\sum _{p,\,p-1|2m}{\frac {1}{p}}{\pmod {1}}$ (משפט של Claussen ו- von Straudt, משנת 1840).