ישר אוילר

בגאומטריה, ישר אוילר הוא ישר מיוחד שמוגדר למשולש כלשהו. הוא קרוי על שמו של לאונרד אוילר שגילה אותו והוכיח את קיומו ב-1765.

ישר אוילר עובר במספר נקודות חשובות: מפגש התיכונים, מפגש הגבהים, מפגש האנכים האמצעיים. נוסף על כך, נמצאות עליו גם מרכז מעגל תשע הנקודות, ונקודות נוספות.

ישר אוילר מתנוון ואינו מוגדר עבור משולש שווה-צלעות, כי בו כל ארבע הנקודות מתלכדות.

הוכחות

הוכחה להימצאות מפגש הגבהים

נוכיח גם ש-3 הגבהים נפגשים בנקודה. נסמן את מפגש האנכים האמצעים ב-O ואת מפגש התיכונים ב-M.

נסמן את H כנקודה על המשך הקרן מ-M ל-O כך ש- $|MO|=2|OH|$ . נעביר תיכון מ-A שעובר דרך M, ופוגש את צלע BC בנקודה 'A. נשים לב כי $|A'M|=2|MA|$ בגלל שמפגש תיכונים חוצה תיכון ביחס 1:2. לכן, $\triangle A'OM\sim \triangle AHO$ לפי זווית משותפת ויחס של 1:2. לכן, $BC\perp A'O\|AH$ כי A'O אנך אמצעי ל-BC. אז, AH אנך ל-BC. בצורה דומה לשאר הצלעות, וכך נקבל ש-H מפגש הגבהים, ו-O, M, H על ישר ביחס 1:2.